招司机-快乐传真

§整數
主題1：因數與倍數
1.除法原理：設
a,bN
，則存在二整數
q,r
，使得
abqr
，其中
0rb
。
2.餘數問題：設
a,b,c,k
為正整數，且
a
除以
b
的餘數為
r
1
，
c
除以
b
的餘數為< br>r
2
，則
akc
除
以
b
的餘數與
r
1
kr
2
除以
b
的餘數相同。
※餘數：
R
a
(N)
表
Na
所得的餘數則： < br>(1)
R
a
(N
1
N
2
)R
a
(N
1
)R
a
(N
2
)

(2 )
R
a
(N
1
N
2
)R
a
( N
1
)R
a
(N
2
)

(3)
R
a
(N
k
)[R
a
(N)]
k
3.因數倍數的定義：設
a,bZ
，若
a
除以
b
可整 除，則稱
a
為
b
的倍數，
b
為
a
的因數， 記作
b|a
。
4.數倍數的性質：
(1)若
a|b
且
b0
，則
|b||a|
。
(2)若
a|b
且
b|a
，則
ab
。
(3)若
a|b
且
b|c
，則
a|c
。
(4)設
a,b,cZ
，且
a|b,a|c
，則對任意整數
m,n
，
a|(mbnc)
。
5.倍數的判別：
(1)2的倍數：末位為偶數。
(2)3的倍數：數字和為3的倍數。9的倍數：數字和為 9的倍數。
(3)4的倍數：末尾二數為4的倍數。
(4)8的倍數：末尾三數為8的倍數。
(5)5的倍數：末位為0或5。
(6)11的倍數：（奇數位數字和）-（偶數位數字和）為11的倍數。
(7)
7,11,13
：末位起；每三位為一節，【奇數節和－偶數節和】
(8)
k
個連續整數必為
k
之倍數

１

※重要範例
1.設n  N，若2n  5 | 3n  17，則所有的n值為 。 【解答】1，22
【詳解】∵ 2n  5 | 3n  17又2n  5 | 2n  5 ∴ 2n  5 | 3(2n  5)  2(3n  17)
 2n  5 | 49 ∵ n  N ∴ 2n  5  1，7，49  n  1，22， 2（不合）


隨堂練習.設a  N，且
【詳解】
3a17
 N，則a  。 【解答】2或23
2a3
3a17
 N  2a  3 | 3a  17且2a  3 | 2a  3
2a3
 2a  3 | 2 (3a  17)  3(2a  3)  2a  3 | 43 ∴ 2a  3  1或43
又a  N ∴ a  2或23


2.我國的農曆以天干（甲乙丙丁戊己庚辛壬癸），地支（子丑寅 卯辰巳午未申酉戌亥）記年，
則自民國 31年到90年（辛巳年）中，有哪些記年未曾用過？(A)甲戌 (B)丁午 (C)庚卯 (D
壬巳 (E)癸未。 【解答】(B)(C)(D)
【詳解】(1)天干有10個，地支有12個，而[10，12]  60
∴每60年一個輪迴，稱為一甲子，而民國 31年到90年正好一甲子
(2)農曆記年必須取天干中的奇數個配地支中的奇數個或取天干中的偶數個配地支中的偶數
個


隨堂練習. 16.我國農曆以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸 ），地支（子、丑、
寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）記年，其順序為甲子、乙丑、丙寅、… 。若知
西元1911年為「辛亥」年，試推算：(1)西元1966年是什麼記年？ (2)西元1866年是什麼
記年？ 【解答】(1)丙午 (2)丙寅

5510q
1
5
天干：丙
【詳解】(1) 1966  1911  55 




5512q
2
7
地支：午
∴ 1966年為丙午年

4510q
3
5
天干：丙
(2) 1911  1866  4 




4512q
4
9
地支：寅
∴ 1866年為丙寅年


２

3.桌上放有編號分別為1到200的卡片共200 張，若甲從中拿走了編號為6的倍數的卡片，
乙再從剩下的卡片中拿走編號為4的倍數的卡片，下列何者 為真？
(A)編號100的卡片在乙手上 (B)編號60的卡片在乙手上 (C)編號150的卡片還在桌上 (D)
甲拿走的卡片比乙多 (E)桌上剩下的卡片超過120張。 【解答】(A)(E)
【詳解】(A)對。100為4的倍數，所以在乙手上
(B)錯。60雖為4和6的倍數，但甲先取，故在甲手上
(C)錯。150的卡片在甲手上
(D)錯。甲拿走[
200200200
]  33張卡片，乙拿走[]  []  50  16  34張卡片
6412
200200200
]  []  [])  133  120
4612
故甲拿走之卡片比乙少
(E)對。桌上剩下卡片張數為200  ([

4.設五位數a379b為44的倍數，則數對(a，b)  。 【解答】(3，2)
【詳解】∵ a379b為44的倍數
∴ a379b為4的倍數亦是11的倍數
 4 | (90  b)且11 | (a  7  b)  (3  9)  4 | (b  2)且11 | (a  b  5)
由4 | (b  2)  b  2或6 ∴ 11 | (a  3)或11 | (a  1)
∵ 1  a  9，由11 | (a  3)  a  3，而11 | (a  1)不合，故a  3，b  2

隨堂練習.ab77為99之倍數，則序對(a，b)  。 【解答】(2，1)
【詳解】∵ 99 | 1ab77 ∴ 9 | 1ab77且11 | 1ab77
 9 | (a  b  1  7  7)且11 | (a  7)  (1  b  7)
 9 | (a  b  15)且11 | (a  b  1)  a  b  3，12且a  b  1  0
13

a< br>

ab3

a2

ab12

2


或



（不合） 

ab1

b1

ab1
b
11

2


5.設x  N，x  1，且x除135，278，395所得的餘數均相等，則x  。 【解答】13
【詳解】設共同餘數為r，則x | (135  r)，x | (278  r)，x | (395  r)
由x | (135  r)，x | (278  r)  x | (278  r)  (135  r) ∴ x | 143
x | (135  r)，x | (395  r)  x | (395  r)  (135  r) ∴ x | 260
又x | (278  r)，x | (395  r)  x | (395  r)  (278  r) ∴ x | 117
∴ x | (143，260，117) ∵ (143，260，117)  13 ∴ x | 13
∵ x > 1 ∴ x  13

３

隨堂練習.設n  N，以n除13511，13903，14589得相等的餘數，求最大正整數n。
【解答】98
【詳解】設以n除13511，13903，14589得相同的餘數為r

135 11nq
1
r



商分別為q
1
，q
2
，q
3
，則

13903nq
2
r




14589nqr

3


  得392  n(q
2
 q
1
) ∴ n | 392；  得686  n(q
3
 q
2
) ∴ n | 686
故最大整數n  (392，686)  98

6.設n為整數，試證：n為3之倍數則n
2
為3之倍數。
【證明】(1)∵ n是3之倍數
∴ 設n  3k，則n
2
 (3k)
2
 9k
2
 3(3k
2
)為3之倍數
(2)設n不是3之倍數，則n  3k  1或3k  2，k  Z
1°若n  3k  1，則n
2
 (3k  1)
2
 9k
2
 6k  1  3(3k
2
 2k)  1不是3之倍數
2°若n  3k  2，則n
2
 (3k  2)
2
 9k
2
 12k  4  3(3k
2
 4k  1)  1不是3之倍數
與假設n
2
是3之倍數矛盾，故n是3之倍數

7.設n  N且
n
2
9n1
 N，求n之值。 【解答】10或26
【詳解】令
n
2

9
n
1
 k  N，則n
2
 9n  1  k
2

 n
2
 k
2
 9n  1  0  (n  k)(n  k)  9n  1  0
 (n  k 
99819985
)(n  k )   1  0  (n  k )(n  k ) 
22422
4
 (2n  2k  9)(2n  2k  9)  85  85．1  17．5
∵ 2n  2k  9  2n  2k  9

2n2k985

2n2k917
∴

或


2n2k912n2k95


n26

n10


或

，故n  26或n  10

k21

k3


nk13

nk47
或



nk7
nk5



４

主題2：質數
1.質數：設
pN,p1
，且
p
只有1及本身兩個正因數，則稱
p
為質數。反之，若
p
有非1
與本身的正因數，則
p
稱為合數。
2.歐幾里得定理：質數的個數有無窮多個。
3.質數檢驗法：設
pN,p1
，若
p
沒有小於等於
p
的正因數，則
p
為質數。
4.算術基本定理：設
nN,n1< br>則
np
1
1
p
2
2
p
33

p
k
k
其中
p
1
,p
2
,

,p
k
為相異質數，且


1
,

2
,

,

k
N
，其表示法是唯一。則：
(1)正因數個數有
(1

1
)(1

2
)(1

k
)
個。
(2)質因數個數：
k
個。
(3)正因數的和為(
S
)：
(1p
1
p
1
p
1
1
)(1 p
2
p
2
p
2
2
)(1p
k
p
k
k
)

(

1
1) (

2
1)(

k
1)
2

2

(4)正因數的積為：
n
(5)正因數的倒數和為：
S
n
2
。
(6)不大於
n
且和
n
互 質的正整數有
n(1
111
)(1)(1)
【尤拉公式】
p
1
p
2
p
k

５

※重要範例
1.「大於1的正整數a如果找不到不大於
a
的 質因數，則a就是質數」，下列何者是質數？
(A) 177 (B) 157 (C) 221 (D) 251 (E) 261。 【解答】(B)(D)
【詳解】(A)錯。3 | 177，故177非質數
(B)對。不大於
157
之質數2，3，5，7，11均不 是157之因數，故157為質數
(C)錯。13 | 221，故221非質數
(D)對 。不大於
251
之質數2，3，5，7，11，13均不是251之因數，故251為質數
(E)錯。3 | 261，故261非質數

隨堂練習.下列選項哪一個是正確的？(A) 91為質數 (B) 197有質因數小於14 (C) 1991為合
成數 (D)合成數n的質因數必小於或等於
n
(E)大於10萬的質數多於10萬個。
【解答】(C)(E)
【詳解】(A) 91  7  13 (B) 2，3，5，7，11，13皆非197的因數
(C) 1991  11  181 (D) 667  23  29，但
667
25.8 (E)質數個數無窮多
2.設a  N，a > 1，求證：若a不是質數，則a必有一質因數p 
a
。
【證明】a  N，a  1，設a  b．c，b  1  c  1
已知a非質數，且設b 
a
 c 
a
 bc 
a
．
a
 a，矛盾
∴ 必  p，p  N，p為質因數且p 
a


3.設n是自然數，且n
4
 3n
2
 9是質數，則n  。【解答】1或2
【詳解】∵n
4
 3n
2
 9  (n
4
 6n
2
 9)  9n
2
 (n
2
 3)
2
 (3n)
2
 (n
2
 3n  3)(n
2
 3n  3)為質數
∴ n
2
 3n  3  1或n
2
 3n  3  1
 n
2
 3n  2  0或n
2
 3n  2  0  (n  1)(n  2)  0或(n  1)(n  2)  0
∴ n   1或  2或1或2 ∵ n是自然數 ∴ n  1或2

隨堂練習.設n  N，若6n
2
 19n  10為質數，求n之值 。 【解答】3
【詳解】∵ 6n
2
 19n  10  (3n  2)(2n  5)為質數
∴ 3n  2  1或2n  5  1  n  1或n  3
當n  1時，6n
2
 19n  10   3不為質數；當n  3時，6n
2
 19n  10  7為質數


６

主題3：輾轉相除法
1.公因數：設
a,b ,dZ
，且
d|a,d|b
，則
d
稱為
a,b
的 公因數。所有公因數中，最大者稱為
最大公因數(g.c.d)，記作
(a,b)
。
2.公倍數：設
a,b,lZ
，且
a|l,b|l
，則
l
稱為
a,b
的公倍數。所有正公倍數中，最小者稱為最
小公倍數(l.c.m )，記作
[a,b]
。
3.a ,b為整數，若
(a,b)d
， 則
adh
，
bdk
其中
(h,k)1
。
(a ,b)[a,b]ab
。
4.
a,b,c
為整數，若
(a,b )(b,c)(c,a)1
，則
(a,b,c)[a,b,c]abc
。
5.輾轉相除法原理：設
a,b
為自然數，
b0
，若b除a，所得 的商為q，餘數為r（即
abqr0rb
）則
(a,b)(b,r)< br>，換句話說，被除數與除數的最大公因數等於除數與餘
數的最大公因數。
6.
(a,b)1

(ab,ab)1

※二元一次方程式的整數解：
(1)
a,bZ,(a,b)d,m,nZmanbd

(2)
a,b,cZ,axbyc
有整數解
(a,b)c


xx
0
bt
,tZ
(3)
a,b,c Z,(a,b)1,axbyc
有整數解
(x
0
,y
0)



yy
0

at

a,b

t

xx
0

a
,t Z
(4)
a,b,cZ,(a,b)d1,axbyc
有整數解
(x
0
,y
0
)



a,b

yy

t
0

a


７

※重要範例
1.設a，b  Z，a與b的最大公因數以(a，b)表示。試證：若b  0，且a  bq  r，其中q，r 
Z，則(a，b)  ( b，r)。
【詳解】(1)設(a，b)  d
1
，(b，r)  d
2

(i) d
1
| d
2
∵ (a，b)  d
1
∴ d
1
| a，d
1
| b  d
1
| a  bq  r
∴ d
1
為b，r之公因數 ∵ (b，r)  d
2
∴ d
1
| d
2

(ii) d
2
| d
1
∵ (b，r)  d
2
∴ d
2
| b，d
2
| r  d
2
| bq  r  a
∴ d
2
為a，b之公因數 ∵ (a，b)  d
1
∴ d
2
| d
1

由(i)(ii)得證

2. 某校高一新生近（少於）三千人，若以36人，40人或45人編成一班，均餘19人，則高一
新生共有 人。 【解答】2899
【詳解】設新生人數為n，已知n除以36，40，45均餘19，
即(n  19)可被36，40，45均整除
得n  19  k [36，40，45]  360k，取k  8，得n  360  8  19  2899

隨堂練習.設三民高中國一學生人數在1000至1500人之間，今將學生各以5、7、1 3人分組
皆多出3人，則成功高中高一學生人數有 人。 【解答】1368
【詳解】學生人數是5，7，13的公倍數加3，[5，7，13]  455，則學生人數為455k  3
因學生人數介在1000至1500人之間，則取k  3，有455  3  3  1368人

3.設m，n  N，m，n互質，證明：m  n與mn互質。
【證明】設(m  n，mn)  d  1 ∴ d | mn，d | m  n
取d的質因數p ∴ p | mn，p | m  n ∵ p為質數 ∴ p | m或p | n
(1) p | m時 ∵ p | m  n ∴ p | (m  n)  m  n
或(2) p | n時 ∵ p | m  n ∴ p | (m  n)  n  m
∴ p為m，n之公因數 ∴ p | (m，n)  1 ∴ 矛盾（→←） ∴ Q.E.D.
【證 2】
設(m  n，mn)  d ∴ d | m  n，d | mn
∴ d | n(m  n)  mn  n
2
且d | m(m  n)  mn  m
2
∴ d為m
2
，n
2
之公因數
∴ d | (m
2
，n
2
)  1 ∴ (m  n，mn)  d  1 ∴ Q.E.D.

4.有二正整數a與b，已知a  b  437，[a，b]  2024，且a  b，則b的值為 。
【解答】253
【詳解】設d  (a，b)，則a  dh，b  dk，h  k且(h，k)  1

abd(hk)437
……
∵ (h，k)  1 ∴ (h  k，hk)  1

……

[ab]dhk2024
故d  (437，2024)  23代入，
 h  k  19，hk  88  h  8，k  11  b  dk  23  11  253

８

隨堂練習.設a，b  N，a > b，a．b  864，[a，b]  144，求a，b之值。
【解答】a  48，b  18或a  144，b  6
【詳解】設(a，b)  d，a  hd，b  kd，則(h，k)  1

∵　a．b  864　∴　hkd
2
 864 ……
，

得d  6 ∴ hk  24
∵　[a，b]  144　∴　hkd  144 ……
∵ (h，k)  1且a  b ∴ h  k  h  24，k  1或h  8，k  3

a246144

a8648
∴

或


b166b3618



ab
．
q
1
792

5.設a，b ，q
1
，q
2
，q
3
皆為正整數且滿足

b792
．
q
2
378
，則a與b之最大公因數
792378
．
q36
3

為 。 【解答】18
【詳解】由輾轉相除法原理知(a，b)  (b，792)  (792，378)  (378，36)  18


abq
1
21922
隨堂練習. 設a，b，q
1< br>，q
2
皆為正整數，且滿足

，則a，b的最大公因數
b2 1922q7566
2

為 。 【解答】194
【詳解】∵ a  bq
1
 21922 ∴ (a，b)  (b，21922)
又b  21922q
2
 7566 ∴ (b，21922)  (21922，7566)
∴ (a，b)  (b，21922)  (21922，7566)  194（利用輾轉相除法）

6.(1)利用輾轉相除法求得整數m，n使(3298，2328)  3298m  2328n，則(m，n)  。
(2)方程式的整數解(m，n)是否唯一？ 。【解答】(1) (5， 7) (2)否
【詳解】

(1) 194  (3298，2328)  970  388  2  970  (2328  970  2)  2
 970  5  2328  2  (3298  2328)  5  2328  2  3298  5  2328  ( 7)
故(m，n)  (5， 7)
(2) 3298m  2328n  (3298，2328)  194

m512t
17m  12n  1（m，n  Z），則解為

，t  Z；故(m，n)之整數解不是唯一
n717t


９

隨堂練習. (1)求2871與609的最大公因數(2871，609)  。
(2)承上題，若(2871，609)  2871m  609n，其中m，n為介於  15到15間的整數，則數對
(m，n)  。 【解答】(1) 87 (2) (3， 14)
【詳解】(1)由輾轉相除法原理可得(2871，609)  87

(2)由上題可知(2871，609)  87  435  2  174  435  2  (609  435)  3  435  2  609
 3  (2871  4  609)  2  609  2871  3  609  14  2871  3  609  ( 14)
故數對(m，n)  (3， 14)

7.如下圖，有五堆一元硬幣，其個數分別為10，6，9，3，12。現在想移動各堆中的 硬幣至相
鄰的硬幣堆中，每次移動一個硬幣，最後使每一堆中的硬幣個數相等，最少需移動
次。（提示：從個數比較多的硬幣堆中去移動）

【解答】7
【詳解】

1
每一堆個數相等時，每堆各有
(10  6  9  3  12)  8個
5
 共移(2  1  4)  7次


１０