整数的性质和应用
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整数的性质和应用
1.1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数。2.若质数p|ab,
则必有p|a
或p|b。 3.若正整数a, b 的积是质数p, 则必有a=p或b=p。
4.定理1.设a是一个大于1的正整数，则a的大于1的最小正因数p一定是质
数。
5.定理2.若p是质数，则对任一整数a, 或者p|a, 或者（p, a）=1
6.定理3.质数有无穷多个。 7. 形如4n-1(n为正整数)的质数有无穷多个。
8.
算术基本定理：任意一个大于1的整数N能分解成K个质因数的乘积，若不考虑质
因数之间
的顺序，则这种分解是唯一的，可以写成标准分解形式:
1.已知三个不同的质数a
,b,c满足babc，a,2000, 求a+b+c的值。
nn2.若n是大于2的正整数，求证：与中至多有一个是质数。 2,12，1
3.用正方
形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm规格的地
砖，恰用n块；若选用边长为ycm
规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已
知x、y、n都是正整数，且（x, y）=1.
试问这块地有多少平方米？
22224.设a,b,c,d都是自然数，且a，b,c，d，证明一定是合数。 a，b，c，d
5.若n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数。
226.设自然数n,n,79n,nnn，且有，试求与的值。 121212
7.n是不小于40的偶数，试证明：n总可以表示成两个奇合数的和。
a8.若a,b,c是1998的三个不同的质因数，且(b，c)，则的值是多少？ a,b,c
14549.四个质数的倒数之和是，则这四个质数之和是多少？ 1995
10.有四个数，一个是最小的奇质数，一个是偶质数，一个是小于30的最大质
数，另一个是
45p，3p，3仍是质数，求的值。 大于70的最小质数，求它们的和。
11.p是质数，p12.已知质数p和q满足，求的值。 3p，5q,313q，1
1.有三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最小的奇合数，另一个既不是
质
数，也不是合数，求三个数的积。
2.有三个数，一个是偶质数，一个是大于50的最小质
数，一个是100以内最
大的质数，求这三个数的和。
3.设m与n是两个大于2的质数，证明m+n是一个合数。
4.若p是一个质数，23p，3p，3仍为质数，求证：也是一个质数。
5.设P>5，证明：若P和2P+1均为质数，则4P+1为合数。
6.若P与P+3都是质数，求P除以3所得的余数。（P>3）
227.若自然数n,n,2n,2n,19n,nn,n，且，求的值。 12121212
8.有四个不同质因数的最小自然数是多少？
9.求200的正约数个数，并求它的所有质因数的和。
545410.若n,4，545，则n是质数还是合数？
11.若质数m,
n满足5m+7n=129, 求m+n的值。
12.一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个质数，我们称
它为“无暇质
数”，则所有“无暇质数”之和是多少？
13.机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两
个合数之和的
自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由
小到大数下去，求
第1992个数是多少？
14.证明有无穷多个n，使多项式2n，n，41（1）表示合数
（2）为43的倍
数。
qp15.已知正整数p
,q都是质数，且7p+q与pq+11也都是质数，试求p，q的
值。
16. 1与0交
替排列，组成下面形式的一串数：101，10101，1010101，
101010101，„请你
回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论。
17.41名运动员所穿运动衣号码是1，2，„，40，41这41个自然数，问：
（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质
数？
（2）能否使这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和
是质数？
若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由。