长亭外-九月九日忆山东兄弟古诗的意思

学校代码

分类号











学
密
号
级

1206014453
本科毕业论文(设计)






题 目

（中、英文）




















整数的若干性质及其应用
Some properties and applications of integers
作者姓名

专业名称

陈建
数学与应用数学
学科门类

数学与信息科学学

指导教师

提交论文日期
成绩评定


白鸿武

摘 要
整数的性质有很多。其在整个初等数论中是非常有研究意义的一部分。把对
整 数的研究深度剖析，细分到众多的性质研究当中。可以加深对整数性质及整数
的认识。这里着重讨论的是 数的整除特性及尾数特征、奇数与偶数、约数与倍数
及带余除法。这四个性质在整数中是我们较为常见的 、常用的，同时在整个数论
中也具有相当重要的地位。 并且在中学数学的教学中有着比较广泛的应用基 础。
文中阐述了以上性质的含义及对个别性质的证明，并通过实例讨论了整数的若干
性质涉及到 实际生活中的应用以及涉及到中学数学学习方面的应用,使我们对其
更加熟悉并能熟练的应用它解决问题 。所总结的解题方法在实际解题当中会更加
方便快捷。

关键词:
整数的性质；奇数与偶数；约数与倍数；带余除法；应用
I

Abstract
There are many properties of integers. It is a very meaningful research in the
elementary number theory. The depth analysis of the study of integer, subdivision into
the nature of many of the study, you can deepen the understanding of the nature of
integer and integer. It emphatically discusses the characteristics and features, the
number of mantissa is divisible by odd and even number, and multiple and division.
The four properties in the integer is we are more common, common, and it has a very
important position in the theory of numbers. And has a wide range of applications in
the teaching of mathematics in secondary schools. This paper expounds the above
nature of meaning and of individual nature of proof, and through example discussed
some properties of integers related to real life application and relates to the middle
school mathematics learning application, enable us to become more familiar with and
skilled in it is applied to solve the problem. The summary of the problem solving
method in the actual problem solving which will be more convenient and quick.

Keywords:
Properties of integers; Odd and even; And a few times; With
complementary division; Application
II

目 录
摘 要.... .................................................. .................................................. ....................... I
Abstract ........... .................................................. .................................................. .......... II
1 整数若干性质的由来.................... .................................................. ........................ 1
2 整数若干性质的基础知识..... .................................................. ............................... 3
2.1 整数整除的概念 .................................................. .......................................... 3
2.1.1 数的整除特性................................. .................................................. ... 3
2.1.2 数的尾数特征........................... .................................................. ......... 5
2.2 奇数与偶数的概念..................... .................................................. ................ 5
2.3 约数与倍数的概念.............. .................................................. ........................ 5
2.3.1 约数.......... .................................................. .......................................... 5
2.3.2 倍数..................................... .................................................. ............... 6
2.4 带余除法定理及其证明............. .................................................. ................. 6
3 整数若干性质在中学学习中的应用........ .................................................. ............ 7
3.1 整除特性及尾数特征的应用.............. .................................................. ....... 7
3.2 奇数与偶数的应用....................... .................................................. ............... 9
3.3 约数与倍数的应用............... .................................................. ..................... 10
3.4 带余除法的应用......... .................................................. ............................... 11
4 整数若干性质在著 名问题中的应用........................................... ......................... 11
4.1 中国剩余定理...... .................................................. ...................................... 11
4.2 辗转相除问题............................................ .................................................. 12
5 整数若干性质的总述.............................. .................................................. .......... 15
参考文献............................ .................................................. ........................................ 16
谢辞 .................................................. .................................................. .......................... 17









III

咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）
从人们对 世界有了认知起,便已经开始接触神秘而又深奥的整数世界,它总能
让人充满遐想而又望尘莫及，引起人 们不断地思考和探索，使它成为在日常生活
中我们不可缺少的好帮手.正因为它的实用性强，才使得其有 着非常广泛的应用
基础。初等数论是经过知识不断积累发展起来的一门科学,而整数的性质又在整
个数论中有着非常重要的地位.我们知道数论与整数之间的关系,这是数学家经过
大量的知识积累和时 间总结出来的，可想而知整数性质的广泛及难理解程度。显
而易见它的应用将是一个更高的台阶.但通过 学习积累，使我对整数的若干性质
有了深刻的认识。在查阅资料总结方法之后,使我轻松的解决了很多关 于整数性
质的一系列问题,使我在有关这个知识领域有了更好的了解，更多的实际应用。
1 整数若干性质的由来
人类在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力，经过漫长岁月的沉淀和不同
文明的冲击，从这种原始的“数觉”到抽象的“数”的概念逐渐形成。数概念的
形成可能与火的使用一 样古老，对于人类文明的意义也绝不亚于火的使用。随着
对数的认识，人们不断的探索，逐渐学会运用这 种方式来表达事物的属性，于是
就有了计数。最早可能是用手指计数，也就演变成了后来的五进制、十进 制。这
是中国古代所使用的方法，中国算盘的发明就是利用这个原理。而同时期的其他
文明也有 相应的发展。如：古巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十
进制等。随着人类社会不断地发展 ，接触的事物和种类越来越多，这时指头已经
不敷运用，于是又有了结绳计数和刻痕计数等的出现。中国 古代文献《周易。系
辞下》有：“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”之说。即结绳计数或结绳记事“书契”就是刻画符号。在此基础上，初等算术便在几个古老的文明地区发
展起来。由于与人们 的生产生活、日常贸易息息相关，早期数学得以迅速发展。
如：莱茵德纸草书和莫斯科纸草书所涉及的问 题及数学算法法则的运用。中国的
《孙子算经》中也有关于筹算计数法则的记载“凡算之法，先识其位。 一纵十横，
百立千僵。千十相望，万百相当。”人们所用来记年的算法也与此相当。如闰年
的计 算，若能被4整除的年份就叫做闰年，末尾为两个零的（如2000年），若
能被400整除则为闰年。 并且沿用至今。说到整数的发展，古希腊的毕达哥拉斯
学派有着辉煌的一笔。毕达哥拉斯学派基本的信条 是“万物皆数”。他们所说的
数仅指整数，分数是被看成两个整数之比的关系，但由于发现了
2
，导致了“第
一次数学危机”。直到毕达哥拉斯学派成员阿契塔斯的学生欧多克斯提出的新比< br>例理论而暂时消除。这也为后来整个数学的大发展、大繁荣奠定了基础。到了宋、
元时代，各种手 工业、商业和对外贸易都有很大发展，对数学提出了日益繁重复
1

整数的若干性质及其应用
杂的计算任务。大量的计算问题，要求计算即快又简 便。这就使数学进一步发展，
形成了十三、十四世纪我国民间数学的发展和算筹口诀化的特点。其中算法 口诀
化在由筹算演变到珠算过程中，具有很重要的地位。据历史记载，最迟在十五世
纪初期，珠 算已经在当时社会上被广泛应用。并且我们现在的算法口诀和算盘的
使用也源于此处。即使到了科技相当 发达的今天，人们对整数的运用以及其性质
的研究也不曾间断过，可以说整数的发展源于生活而用于生活 。
奇数与偶数是由古希腊先哲毕达哥拉斯提出的。学派将数分成三类：奇数,
偶数,奇偶数（ 即1）。他认为1是构成奇数和偶数的基础,同时兼备二者的性质,
虽然用现代数学看来,这是不成熟的 看法。但在当时却被奉为真理。中国古代对
此认识也相差不多。在中国文化中，一是始，也是全。这种观 点最早是由老子提
出来的，他说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”认为道是单独无偶的
“一”，是万物的本源，具有本体性的意义。“二”是最小的偶数，含有“两、
双、再”的意义。中国 人常用来表示成双成对的事物以讨个吉利的说法。“三”
在中国文化的内含有正向的（如高、大、长等） ，也有负向的（如少、小、短），
然而在中国原始数理思维发展过程中，曾存在一个无法超越的“三”， 对“三”
充满迷惑、恐惧和敬畏的原始数觉时期。这也促使了许多先贤的研究。《易经》
记载： 在数里面奇数代表阳，偶数代表阴。《道德经》里讲：万物负阴而抱阳。
古人喜欢阳而不喜欢阴，奉承天 而忘记地。而且在个位数里面，3.5.7都是质数，
只能被本身除尽，不能再次分解，在古人眼里就有 神秘的力量。而从数的顺序来
看，1是数的起源，是所有数的最低分子；5是数的正中，符合中位观；9 是代
表单数内最大、最高级同样也有特殊的含义。而3是稳固的代表，表示稳定，三
足鼎立；7 往往用于参照，恰好古代人最早认识最有用处的星星组合是北斗七星。
因此奇数与偶数对占星、历法和宗 教来说都意义重大。这就造成了其特殊地位。
由此可知，奇数与偶数的产生是源于人们对事物个数的认知 出现疑惑，从而为了
解除疑惑而总结出来的。因此，在古代关于奇数与偶数的运用非常广泛，许多传统节日的日期；房屋建造的层数；书籍的卷数；一些习俗或说法的寓意等等。
约数与倍数源于中国 古典数学著作《九章算术》里的“方田”章，该章给出
了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算 法则。其中“约分数”给出了
求分子、分母等数（中国古代数学家称最大公约数为“等数”）的“更相减 损”
法，与欧几里得《原本》卷VII中给出的方法是一致的。从远古时代的结绳记数
和刻痕计 数到满含智慧的古罗马人的罗马数字，到阿拉伯数字。数的发展过程十
分漫长，也因此使数越发完善。这 也得益于后世日益繁荣的经济发展，随着集市
的出现，人们日常的交易的增多，数只是一个表达事物属性 的工具，不足以解决
2

咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）
交易中的问题。约数与倍 数的运用就很方便的解决这些烦恼。最有利的证据就是
秤的发明与使用。完美的运用了整数的约数与倍数 这一性质。正是因为人们日常
生活的需要，所以这一性质已经完全融入了人们生活中的方方面面。 带余除法的运用由来已久，探索出了各种计算工具和计算方法。最常用的是
长除法（竖式除法）。这 是因为经过后世不断地学习积累，整数已经自成一系，
成立了数论这门科学，而带余除法在数论中有不少 用途。比如说辗转相除法的基
本步骤就是带余除法，又称欧几里得算法。是求最大公约数的算法。辗转相 除法
首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷,命题i和ii）中,而在中国则可以
追 溯至东汉出现的《九章算术》。这个思想的推广,在一定程度上也对带余除法
的推广起到作用，并将其延 伸到许多方面，例如用带余除法解多项式就是其灵活
运用的一种。带余除法的发展同样也离不开社会的发 展，随着经济贸易，天文，
航海的飞速发展，所带来的大量数学运算层出不穷，在这一背景下，包括带余 除
法在内的各种算法的发展是时代需要。
总的来说，整数的若干性质的由来都是与社会文明发 展相辅相成，这些性质
的发现及运用皆源于生活而又服务于生活。
2 整数若干性质的基础知识
2.1 整数整除的概念
设a，b是两个整数且a

0，若存在整数q，使得等式
b=aq

成立，则称a整除b或b被a整除，记作
a
b。如果
b=aq
中的q 不存在，我们就
说a不能整除b或b不能被a整除。

2.1.1 数的整除特性
（1）1与0的特性：
对于任何整数a，总有1|a.
若a

0,a为整数，则a|0.
（2）能被2整除的数的特征
若一个整数是偶数，则这个数能被2整除。
（3）能被3整除的数的特征
若一个整数的各数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）能被4整除的数的特征
3

整数的若干性质及其应用
若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）能被5整除的数的特征
若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）能被6整除的数的特征
若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）能被7整除的数的特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7
的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要
继续上述「截尾、作乘、相减、验差」的过程， 直到能清楚判断为止。
（8）能被8整除的数的特征
若一个整数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）能被9整除的数的特征
若一个整数的各数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）能被10整除的数的特征
若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
小结统一方法：
设整数a的个位数为q，判断其是否能被b整除：
令
( aq)10mqbk

kN*

（试验m是否合适，否则重复操作。 截
尾、作乘、相减、验差。）

有
ab


10k

10m1

qb



若

10m1

b
为自然数，则a能被b整除。
反证：若a能被b整除
则有
10k

10m1

qb
为正整数
因为
kN
*
,10k为正整数
所以（10m+1）qb 为自然数。
因此，以上诸特征为充要条件。
4

咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）
2.1.2 数的尾数特征
尾数通常是一个数的个位数字，有时也指末几位有效数字。尾数本质上是原数除
以10的余数，尾数特性本质上是同余的性质。
（1） 在四则运算中， 和的尾数等于尾数和的尾数 ，差的尾数等于尾数差的尾
数（当尾数被减数小于减数时，被减数往上位借1），积的尾数等于尾数积的尾数。注意尾数特性不适用于除法。
（2） 在数的n次方中，一个自然数n次方的尾数等于其尾数n次方的尾数。并
存在一定的规律。

0 1
1
1
1
1
1
1
„
2
2
4
8
6
2
4
„
3
3
9
7
1
3
9
„
4
4
6
4
6
4
6
„
5
5
5
5
5
5
5
„
6
6
6
6
6
6
6
„
7
7
9
3
1
7
9
„
8
8
4
2
6
8
4
„
9
9
1
9
1
9
1
„
1次方 0
2次方 0
3次方 0
4次方 0
5次方 0
6次方 0
„

„
2.2 奇数与偶数的概念
能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。因此，整数可以分
为奇数（2n+1）和偶数（ 2n）两大类。（n为整数）.
且有： 偶

奇=奇 奇

奇=偶 偶

偶=偶 奇

奇=奇 偶

奇=偶 偶

偶=偶
2.3 约数与倍数的概念
2.3.1 约数
整数a，b的公共约数称为a，b的公约数。不全为零的整数a，b的公 约数
中最大的一个称为a，b的最大公约数，记作

a，b

。若整 数a，b的最大公约数

a，b

=1
，则称a，b是互素的（或互 质的）。
由于任意一个非零整数约数的个数都是有限的，所以最大公约数是唯一存在
的，并且是正整数。
5

整数的若干性质及其应用
2.3.2 倍数
设< br>a
1
，
a
2
，„，
a
n
是
n

n2

个整数。如果正整数M满足
（1） M是
a
1
，
a
2
,„，
a
n
的公倍数，即
a
1
M
,
a
2
M
，„，
a
n
M
；
（2） 对
a
1
，
a
2，„，
a
n
的任意一个正公倍数H，有
HM
,则称M是
a
1
,
a
2
,„
a
n
的最小公倍数，记 作

a
1
，a
2
，...，a
n


由于任意一个整数与它的相反数都有相同的倍数，所以
...a
n
< br>=

a
2
，，...a
n


a< br>1
，a
2
，，

a
1
，


2.4 带余除法定理及其证明
设a，b是整数，且
b0
，则存在两个整数q及r使得
a=bq+r，0rb

成立，且 q和r是唯一的。（q和r分别称为a除以b所得的商和余数。）
证明：存在性 （通过对数轴的划分）作整数序列
„，-3b，-2b，-b，0，b，2b，3b，„
则a必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q使得
bqa

q+1

b

成立。令
a qb=r
，则
a=bq+r
，且
0rb
。
唯一性（反证法） 设
q
1
，
r
1
是满足
a=bq +r
，
0rb
的两个整数，则
a=bq
1
+r
1
，
0r
1
b

因而
bq
1
+r
1
=bq+r

于是
b

qq
1

=r
1
r

故
bqq
1
=r
1
r

由于r及
r
1
都是小于b的整数，所以上式右边是小于b的。如果
qq
1
， 则上
试左边
b
，这是不可能的。因此
q=q
1
，进而r=r
1
。
6

咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）
3 整数若干性质在中学学习中的应用
通过对整数若干性质初步的了解,与此同时我们更应注重对它的应用 ,利用
整数的性质解决一些常见问题.对于涉及整除、奇偶、约数与倍数、带余等方面
的问题, 我们都应首先考虑其性质方便快捷的来解决这些问题.下面我们列举一
些在中学学习中的实例加以说明。
3.1 整除特性及尾数特征的应用
例1 一个四位数分别能被15、12和10整除， 且被这三个数整除时所得的三个
商的和为1365，那么，这个四位数各数字和是多少？
A.14 B.15 C.16 D.17
通常解法：设这个四位数为x
根据题意可得
xxx
++=1365

151210
解得 x=5460
因此该四位数各数字和为
5+4+6+0=15
，故选B。
用性质解：问题要求各数字之和便是解题的关键所在，根据能被3或9整除的数
的判定方法可得，这个四 位数能被15整除，15能被3整除，则这个数一定能被
3整除。因为一个数若能被3整除，则它各数字 之和也能被3整除。选项中只有
15能被3整除，故锁定答案B。
例2 某工厂去年有员 工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数
比去年增加5%，员工总数比去年增加三人。 问今年男员工有多少人？
A.329 B.350 C.371 D.504
通常解法：设去年男员工有x人，女员工有y人。


x+y=830


16%x+1+5%y=830+3



解得 x=350，
所以今年男员工有
350

16%

= 329
人。
用性质解：由题中“今年男员工人数比去年减少6%”可知，
男员工人数是去年的1-6%=94%，人的数量必定是整数，
故将选项代入发现只有329除以94%是整数，锁定答案A。
7

整数的若干性质及其应用
例3 一个农场里养有牛和羊，羊的数量占二者 总数量的
头牛，这是羊的数量占二者总数量的
5
，现在又放进了130
11< br>7
。这个牧场一共养了多少只羊？
18
A.384 B.377 C.358 D.350
通常解法：设二者总数为x头。
根据题意可得
57
x=

130+x


1118
解得 x=770
因此羊的数量为770*
故选D。
性质解法：根据题意可得“羊的数量占二者总数量的
因此羊的数量一定是7的倍数。
同理羊的数量也一定是5的倍数。
由答案可知只有350即可以被7整除，也可以被5整除。
故锁定答案D。
例4 姐姐和弟弟各有若干颗糖，如果姐姐给弟弟4颗，两人糖一样多，如 果弟
弟给姐姐2颗，姐姐的糖是弟弟的4倍，姐姐和弟弟一共有多少颗糖？
A.24 B.28 C.20 D.18
普通解法：设姐姐有x颗糖，弟弟有y颗糖。


x4=y+4


y2*4=x+2
< br>


77
”是最简分数。
1818
7
5
=350.或者

130+770

*=350
。
11
18
解得 x=14 y=6
因此姐姐和弟弟一共有14+6=20颗糖。选C。
性质解法：由题可得如果弟弟给 姐姐两颗姐姐是弟弟的4倍，此时若将弟弟糖的
数量看做1份，那么姐姐是4倍，两人一共就是5份 。
因此两人的糖的总数能被5整除，锁定答案C。
例5 小明在商店买了一个足球和篮球 ，他漏看了足球价位个位上的0.准备付款
158元。售货员说他应付款410元。那么实际上一个篮球 的单价是多少？
A.158 B.130 C.88 D.98
普通解法：设足球x元，篮球y元。
8

咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）

x+y=410

根据题意可得

x

+y=158

10

解得 x=280 y=130
因此一个篮球的单价是130元，选B。
性质解法：足球的单价尾数是0，而两个的总价尾数也是0，
因此，篮球的单价尾数也一定是0，锁定答案B。
例6 幼儿园用校车送小朋友回家，要 求每辆车坐的人数相同。如果每辆车坐
20人，还剩下2名小朋友，如果减少一辆车，小朋友正好可以平 均分到每辆汽
车。问该幼儿园共有多少名小朋友？
A.244 B.242 C.220 D.224
性质解法：设有x辆车，则总的人数就是20x+2，总人数的尾数 为2，结合选项，
锁定答案B。
例7
2016
1
*2016< br>2
*......*2016
2016
的尾数是？
性质解法：因为2 016的尾数是6，不管他是几次方其尾数均为6，因此其尾数的
乘积也为6.故原试尾数为6.
注意：在选题尾数不一的情况下，才可以使用尾数特性来迅速解题。
3.2 奇数与偶数的应用
例8 某校在植树节组织师生去植树，其中某班老师每人植树5棵，学生每人< br>植树2棵，这个班所有人共植树32棵，已知该班总人数超过10人，问该班来了
几位老师？
性质解法：设有老师x人，学生y人。
则有5x+2y=32,。32和2y均为偶数，
（偶数）+偶数=偶数
因此5x必然也是偶数，即x为偶数，（奇数*偶数=偶数）
若老师为4人，则学生人数为（32-5*4）2=6人，总人数没有超过10人。
故老师人数是小于4的偶数，即x=2，
老师有2人。
例9 中秋节商场为促销 将新上市的99个月饼装进两种包装盒，大包装盒可装
12个月饼，小包装盒可装5个月饼，共用了10 多个盒子刚好装完。那么使用者
9

整数的若干性质及其应用
两种包装盒的数量相差多少？
性质解法：设大包装盒用了x个，小包装盒用了y个。
则有 12x+5y=99，12x是偶数，99是奇数
偶数+（奇数）=奇数
则5y是奇数，且5y的尾数为5，
因此12x的尾数是4，x的尾数为2或7,。
当x=7时，y=3，总数不超过10，不符合。
当x=2时，y=15，符合，因此两者相差了13个。
3.3 约数与倍数的应用
例10 甲乙丙三个人去图书馆看书，甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，
丙每隔3天去一次 ，如果5月12日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们相
遇是几月几号？
普通解法：可以 将这月每天画出来，并以5月12日为开始，按照他们的间隔分
别标记，知道三人的标记重合，就是再次 相遇。但这只适用于较小的间隔，实用
性不强。
性质解法：每隔1、2、3天去一次，就是每2、3、4天去一次。
则再次相遇经过的天数就是2、3、4的最小公倍数为12。
因此再过12天，也就是5月24日，三人再次相遇。
例11 甲乙丙三人一起挖隧道，若 三人独立完成分别需要10天、15天、12天。
现三人合作，在挖的过程中，乙休息了5天，丙休息了 2天，而甲一直坚持到工
作结束，最后他们挖通隧道共需多少天？
性质解法：取10、15、 12的最小公倍数60作为工作总量。则有甲乙丙单独工作
的效率为6、4、5。
设挖通共需x天。
则6x+4*（x-5）+5*（x-2）=60
解得 x=6
因此，三人合作后共需要6天可以完成。
例12 某公司组织其3个部门为地震灾 区捐款，甲部门捐款数是另外两个部门
2
捐款总数的，乙部门捐款数是丙部门捐款数的1.2倍 ，丙部门捐款数比甲部门
5
10

咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）
多300元，则这三个部门一共捐款多少元？
A.6000 B.7000 C.6600 D.7700
设丙部门捐款x元，则乙部门为1.2x元，两部门总和 为2.2x元，那么甲部门捐
款0.4*2.2x元。
普通解法：根据丙部门捐款比甲部门多300元可得
x-0.4*2.2x=300
解得 x=2500
因此总数为2500+3000+2200=7700元。
性质解法：由上可得三个部门总数为x+1.2x+0.4*2.2x=1.4*2.2x
1 .4*2.2x就是捐款总数，并且这个数既有约数7，又有约数11，结合选项锁定
答案D。
3.4 带余除法的应用
例13 粮店一共进货6袋米，分别为15、16、18、19 、20、31斤，上午卖出两
袋，下午卖出三袋，下午卖的重量正好是上午的2倍，那么剩下的那一袋多 少斤？
A.20 B.18 C.16 D.15
性质解法： 已知下午卖的重量正好是上午的2倍。
设上午卖出1份，那么下午卖出2份，总共卖出3份，是3的倍数。
总重量（15+16+18+19+20+31）3余数为2，那么剩下的重量除以3也余2，
结合选项，只有A满足。
例14 某幼儿园在一次体操比赛中，表演的前半段队形为中 间一组5人，其他
人按8人一组围在外圈，后半段队形变为中间一组8人，其他人按5人一组围在
外圈，该幼儿园有学生150人，则最多有多少人参加比赛？
A.149 B.148 C.138 D.133
性质解法：根据题意可知，参加的总人数除以8余5，除以5余8 。（实际余3）
结合选项只有D满足。
4 整数若干性质在著名问题中的应用
4.1 中国剩余定理
中国剩余定理又称物不知数问题、韩信点兵问题。这些问题最早在中 国的《孙
子算经》中被提出来进行推广并予以解决。因此，被称为中国剩余定理。
11

整数的若干性质及其应用
秦九韶在《数书九章》卷一“大衍总数术”中明确地 、系统地叙述了求解一
次同余组的一般方法。提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列的数学概念，并< br>详细叙述了“大衍总数术”的完整过程。由《孙子算经》“物不知数”题开创的
一次同余式问题， 才真正得到了一个普遍的解法，得到大家广泛的关注及认可，
才真正上升到了“中国剩余定理”的高度。 其中根据“定数”和“奇数”求商数
和余数便是带余除法的运用。
对于这类问题，看似繁琐， 没有头绪，但是只要掌握其方法便可举一反三。
下面就以《孙子算经》中物不知数问题为例分析此法：今 有物，不知其数，三三
数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？
答曰：二十三
转换过来就是：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件
的最小数。
解：先列出除以3余2的数：
2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，„，
再列出除以5余3的数：
3， 8， 13， 18， 23， 28，„.
这两列数中，出现的第一个公共的数是8。3与5的最小公倍数是15。两个条件合并成一个就是8＋15*整数，
列出这一串数是8， 23， 38，„，
再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30，„，
就得出符合题目条件的最小数是23.
4.2 辗转相除问题
辗转相除法，又称 欧几里得算法，中国的《九章算术》中的更相减损术求最
大公约数便是此类方法的应用。其原文为：“可 半者半之，不可半者，副置分母、
子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。” 用现在的话说就是：
任意给定两个正整数a、b；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；
若不是，则以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数
减小数。继续这个操作 ，直到所得的减数和差相等为止。这个数就是a、b的最
大公约数。据此可得出其算法：
设< br>r
0
a,r
1
b
是任意两个正整数，且
ab< br>，由带余除法我们有下列等式：
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咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）

r
0
rq
11
r
2
,0r
2
r
1


r
1
r
2
q
2
r
3
，0r
3
r
2

„

r
n2
r
n1
q
n1
r
n
，0r
n
r
n1


r
n1
r
n
q
n

因为每进行一次带 余除法，余数就至少减1，然而b是有限的，所以最多进
行b次带余除法，就可以得到一个余数是0的等 式，即
r
n1
0
。
综上可知，辗转相除法的基本步骤就是带余 除法，运用这种方法可以准确求
出几个正整数的最大公约数。
例15 已知a=169，b=121，求一组整数s，t使得as+bt=（a，b）。
解：169=1*121+48，
121=2*48+25，
48=1*25+23，
25=1*23+2，
23=11*2+1，
2=2*1，
因此
r
6
=1=（169,121）。 < br>因为
q
1
=1，
q
2
=2，
q
3< br>=1，
q
4
=1，
q
5
=11，所以
s
0
=1
t
0
=0
s
1
=0
t
1
=1
s
2
=
s
0
s1
q
1
=1-0*1=1
t
2
=t
0
t
1
q
1
=0-1*1=-1
s
3
=s
1
s
2
q
2
=0-1 *2=-2
t
3
=t
1
 t
2
q
2
=1-（-1）*2
s
4
=s
2
s
3
q
3
=1-（-2）*1=3
t
4
=t
2
t
3
q
3
=-1- 3*1=-4
s
5
=s
3
s
4
q
4< br>=-2-3*1=-5
t
5
=t
3
t
4
q
4
=3-（-4）*1=7
s
6< br>=s
4
s
5
q
5
=3-（-5）*11=58
t
6
=t
4
t
5
q
5
=-4- 7*11=-81
13

整数的若干性质及其应用
又由
r
6
=s
6
a+t
6
b
，得
169*58+121*(-81)=1。


























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咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）
5 整数若干性质的总述
对于整数的若干性质我们并不陌生，因为中学学习或多或少已经接触一些了 。
现在将整数的整除特性，奇数与偶数，约数与倍数以及带余除法这一系列性质放
在一起探讨， 即可以对他们之间的区别和联系以及适用范围加以辨别，又可以让
我们对他们的实用性有更深刻的了解。
整数的若干性质在数论中是非常基本和重要的一部分。将整数的这几个性质
的研究转化为 我们常见问题的研究。同其发展史一样，源于生活而用于生活。在
前面解决与整数的这几个性质有关的问 题时，我们主要应用的是数学中极其重要
的两种数学思想，代入思想和转化思想。将常见问题适当转化运 用并排除，代入
符合思想的答案，从而达到快捷高效的效果。当我们看到题中整除和带余问题时，
首先应想到的就是性质解法，然后将题中条件适当转化变形，以方便我们解题。
但是注意尾数特性只适 用于尾数不一的情况下使用。像常见的一元一次方程，二
元一次方程所涉及的一些问题，结合性质解法无 疑会给你节省大量的时间。
整数的这些性质在数学大部分领域中均会出现和利用。但是整数的性 质有很
多，日后需要我们多加思考，不断探索其中存在的一些问题，加以改正并完善，
使整数的 性质应用范围更加广泛。


















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整数的若干性质及其应用
参考文献
[1] 敏泉，数的整除性。北京：科学普及出版社。1957
[2] 陈景润，初等数论（1）（2）。北京：科学出版社。1980
[3] 华罗庚，数论导引。科学出版社。1957
[4] 张文鹏，李海龙，初等数论。陕西师范大学出版社。2013.2
[5] 潘承洞，潘承彪，简明数论。北京：北京大学出版社。1997
[6] 赵继源，初等数论。广西：广西大学出版社。2011.9
[7] 王杰官，数论基础。福州：福建科学技术出版社。1987
[8] 闵嗣鹤，严士健，初等数论。北京：高等教育出版社。2001
[9] 李文林，数学史概论（第三版）。高等教育出版社。2011.2
[10] ,An Invitation to Number Theory . Random House . 1967 .(潘承彪
译，有趣的数论。北京大学出版社，1967)



















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咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）
谢辞
总说毕业 遥遥无期，转眼就要各奔东西。美好的时光总是太短暂，来不及感
慨，大学生活已接近尾声，四年多的拼 搏与努力随着本论文的完成即将划上完美
的句号。
本论文设计在白鸿武教授的悉心指导和严格 要求下顺利完成。从论文课题的
选择到定稿，白鸿武老师倾注了很多心血，在我的毕业设计期间，白鸿武 老师为
我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的意见。白鸿武老师一丝不苟
的工作作 风，严谨求实的治学态度使我受益终身。没有白鸿武老师的帮助和熏陶，
我不会这么顺利完成毕业论文。 在此向白鸿武老师表示由衷的感谢和崇高的敬
意。在临近毕业之际，在此我还要感谢给予我诸多教诲和知 识的各位老师以及给
予我很多帮助和鼓励的几位室友。一路走来，谢谢有你们的陪伴。同时，在论文写作过程中，我参考了一些有关的文献和论文，在这里向有关的作者表示感谢。

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