整数划分问题
男人哭吧不是罪-妈妈的儿子
整数划分问题
整数划分是一个经典的问题。希望这道题会对你的组合数学的解题能力有所帮助。
Input
每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1
<= k <= n)
Output
对于每组输入，请输出六行。
第一行：将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行：将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行：将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行：将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
第五行：将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行：打印一个空行。
Sample Input
5 2
Sample Output
7
2
3
3
3
Hint:
1、将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1,
2+1+1+1,
1+1+1+1+1
2、将5划分成2个正整数之和的划分为：
3+2, 4+1
3、将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1,
1+1+1+2, 1+2+2
4、将5划分成若干奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3,
1+1+1+1+1
5、将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3
来源：http:?Proid=1402&Contestid=0
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评论人: KnightZLJ 发布时间:
2009-11-5 0:32:44
#include
int Func_a(int n,int max)
将n划分成最大数不超过max的划分数。
{
int counter=0;
int i;
if(max<=1)
{
return 1;
}
else
{
for(i=1;i<=max;i++)
{
counter+=Func_a(n-i,(i
return counter;
}
}
int Func_b(int n,int k,int max)
将n划分成k个不大于max的正整数之和的划分数。
{
int
counter=0;
int min,i;
min=(int)((n+k-1)k);
if(k==1||k==n)
{
return 1;
}
else
{
min=n-(int)(nk)*(k-1);
for(i=min;(i<=n-k+1&&i<=max);i++)
{
counter+=Func_b(n-i,k-1,i);
}
return counter;
}
}
int Func_c(int n,int max)
将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
{
int counter=0;
int i;
if(max<=1)
{
return 1;
}
else
{
for(i=1;2*i<=max+1;i++)
{
counter+=Func_c(n-2*i+1,(i
return counter;
}
}
int
Func_d(int n,int max)
将n划分成若干不同整数之和的划分数。
{
int counter=0;
int i;
if(max*(max-1)2
return 0;
}else{
if(max*(max-1)2==n||n==0)
{
return 1;
}else{
for(i=1;i
counter+=Func_d(n-i,i);
}
return counter;
}
}
}
void main()
{
int n,k;
cout<<输入是两个整数n和k。(1 <= n
<= 50, 1 <= k <= n)n
cin>>n>>k;
cout<
cout<
cout<
cout<
cout<
cout<
}
评论人: KnightZLJ 发布时间: 2009-11-5 0:32:28
#include
int Func_a(int n,int
max) 将n划分成最大数不超过max的划分数。
{
int counter=0;
int i;
if(max<=1)
{
return 1;
}
else
{
for(i=1;i<=max;i++)
{
counter+=Func_a(n-i,(i
return counter;
}
}
int Func_b(int n,int k,int max)
将n划分成k个不大于max的正整数之和的划分数。
{
int
counter=0;
int min,i;
min=(int)((n+k-1)k);
if(k==1||k==n)
{
return 1;
}
else
{
min=n-(int)(nk)*(k-1);
for(i=min;(i<=n-k+1&&i<=max);i++)
{
counter+=Func_b(n-i,k-1,i);
}
return
counter;
}
}
int Func_c(int
n,int max) 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
{
int counter=0;
int i;
if(max<=1)
{
return 1;
}
else
{
for(i=1;2*i<=max+1;i++)
{
counter+=Func_c(n-2*i+1,(i
return counter;
}
}
int Func_d(int
n,int max) 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
{
int counter=0;
int i;
if(max*(max-1)2
return 0;
}else{
if(max*(max-1)2==n||n==0)
{
return 1;
}else{
for(i=1;i
counter+=Func_d(n-i,i);
}
return counter;
}
}
}
void main()
{
int
n,k;
cout<<输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <=
k <= n)n
cin>>n>>k;
cout<
cout<
cout<
cout<
cout<
cout<
}
评论人: KnightZLJ 发布时间: 2009-11-5 0:32:13
#include
int Func_a(int n,int
max) 将n划分成最大数不超过max的划分数。
{
int counter=0;
int i;
if(max<=1)
{
return 1;
}
else
{
for(i=1;i<=max;i++)
{
counter+=Func_a(n-i,(i
return counter;
}
}
int Func_b(int n,int k,int max)
将n划分成k个不大于max的正整数之和的划分数。
{
int
counter=0;
int min,i;
min=(int)((n+k-1)k);
if(k==1||k==n)
{
return 1;
}
else
{
min=n-(int)(nk)*(k-1);
for(i=min;(i<=n-k+1&&i<=max);i++)
{
counter+=Func_b(n-i,k-1,i);
}
return counter;
}
}
int Func_c(int n,int max)
将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
{
int
counter=0;
int i;
if(max<=1)
{
return 1;
}
else
{
for(i=1;2*i<=max+1;i++)
{
counter+=Func_c(n-2*i+1,(i
return counter;
}
}
int Func_d(int
n,int max) 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
{
int counter=0;
int i;
if(max*(max-1)2
return 0;
}else{
if(max*(max-1)2==n||n==0)
{
return 1;
}else{
for(i=1;i
counter+=Func_d(n-i,i);
}
return counter;
}
}
}
void main()
{
int
n,k;
cout<<输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <=
k <= n)n
cin>>n>>k;
cout<
cout<
cout<
cout<
cout<
cout<
}
评论人: KnightZLJ 发布时间: 2009-11-5
0:31:54
#include
int
Func_a(int n,int max)
将n划分成最大数不超过max的划分数。
{
int counter=0;
int i;
if(max<=1)
{
return 1;
}
else
{
for(i=1;i<=max;i++)
{
counter+=Func_a(n-i,(i
return counter;
}
}
int Func_b(int n,int k,int max)
将n划分成k个不大于max的正整数之和的划分数。
{
int
counter=0;
int min,i;
min=(int)((n+k-1)k);
if(k==1||k==n)
{
return 1;
}
else
{
min=n-(int)(nk)*(k-1);
for(i=min;(i<=n-k+1&&i<=max);i++)
{
counter+=Func_b(n-i,k-1,i);
}
return counter;
}
}
int Func_c(int n,int max)
将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
{
int counter=0;
int i;
if(max<=1)
{
return 1;
}
else
{
for(i=1;2*i<=max+1;i++)
{
counter+=Func_c(n-2*i+1,(i
return counter;
}
}
int Func_d(int
n,int max) 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
{
int counter=0;
int i;
if(max*(max-1)2
return 0;
}else{
if(max*(max-1)2==n||n==0)
{
return 1;
}else{
for(i=1;i
counter+=Func_d(n-i,i);
}
return counter;
}
}
}
void main()
{
int n,k;
cout<<输入是两个整数n和k。(1 <= n
<= 50, 1 <= k <= n)n
cin>>n>>k;
cout<
cout<
cout<
cout<
cout<
cout<
}
评论人: master_zcw 发布时间: 2009-10-20 19:37:12
整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式，且这组数中的最大加数不大于
n。
如6的整数划分为
最大数
6
6
5 5 + 1
4 4 + 2,
4 + 1 + 1
3 3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 +
1 + 1 + 1
2 2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 +
1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 1 + 1 + 1 +
1 + 1 + 1
共11种。下面介绍一种通过递归方法得到一个正整数的划分数。
递归函数的声明为 int split(int n, int
m);其中n为要划分的正整数，m是划分中的最大加数(当
m > n时，最大加数为n)，
1 当n = 1或m = 1时，split的值为1，可根据上例看出，只有一个划分1
或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
可用程序表示为if(n == 1
|| m == 1) return 1;
2 下面看一看m 和
n的关系。它们有三种关系
(1) m > n
在整数划分中实际上最大加数不能大于n，因此在这种情况可以等价为split(n, n);
可用程序表示为if(m > n) return split(n, n);
(2) m = n
这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) +
1，从以上例子中可以看出，就是最大加
数为6和小于6的划分之和
用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);
(3) m < n
这是最一般的情况，在划分的大多数时都是这种情况。
从上例可以看出，设m = 4，那split(6,
4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。
因此，split(n,
m)可表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)
根据以上描述，可得源程序如下：
#include
int split(int
n, int m)
{
if(n < 1 || m < 1)
return 0;
if(n == 1 || m == 1) return 1;
if(n < m) return split(n, n);
if(n == m) return (split(n, m - 1) + 1);
if(n > m) return (split(n, m - 1) + split((n - m),
m));
}
int main()
{
printf(的划分数: %d
return 0;
}
将正整数划分成连续的正整数之和
如15可以划分成4种连续整数相加的形式：
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5
首先考虑一般的形式，设n为被划分的正整数，x为划分后最小的整数，如果n有一种划分，
那么
结果就是x,如果有两种划分，就是x和x x + 1， 如果有m种划分，就是 x 、
x
x + 1 、 x x + 1 x + 2 、... 、x x + 1 x + 2 ... x +
m - 1
将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i -
1) 2) = n，i为当前划分后相加的正整数个数。
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。
如上例，当i =
1时，即划分成一个正整数时，x = 15， 当i = 2时， x = 7。
当x =
3时，x = 4， 当x = 4时，49，不是正整数，因此，15不可能划分成4个正整数相加。
当x = 5时，x = 1。
这里还有一个问题，这个i的最大值是多
少？不过有一点可以肯定，它一定比n小。我们可以
做一个假设，
假设n可以拆成最小值为1的划分，如上例中的1 2 3 4
5。这是n的最大数目的划分。如果不满
足这个假设，
那么 i
一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) 2 <=
n，即当i
满足
这个公式时n才可能被划分。
综合上述，源程序如下
int split1(int n)
{
int i, j,
m = 0, x, t1, t2;
在这里i + 1之所以变为i - 1，是因为i
* (i - 1) 2这个式子在下面多次用到，
为了避免重复计算，因此将这个值计算完后保存在t1中。并且将<= 号变为了<号。
for(i = 1; (t1 = i * (i - 1) 2) < n; i++)
{
t2 = (n - t1);
x =
t2 i;
if(x <= 0) break;
if((n - t1) % i == 0)
{
printf(
for(j = 1; j < i; j++)
printf(
printf(
m++;
}
}
return m;
}