第一讲,整数和整除
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第一讲 整数和整除
主课题：1.1整数和整除的意义&1.2因数和倍数&1.3能被2、3、5整除的数
教学目标：
1. 掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念
2.
掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数
3.
掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数
4、掌握能被2、3、5整除的数的特征,掌握能同时被2、5整除的数的特征
5、掌握偶数、奇数的特征，以及它们的运算性质
教学重点：
1、自然数、整数、整除、因数、倍数；整除、整除的条件
2.
掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数
3.
掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数
4、掌握奇数偶数的运算性质，会求能同时被2、3、5其中的两个或者三个数整除的数
教学难点：
1.掌握整数最小和最大的因数，整数最小的倍数
2.奇数偶数运算性质的应用
3.求能同时被2、3、5其中的两个或者三个数整除的数
考点及考试要求：
1.自然数、整数、正整数、负整数的分类
2.给出算式判断是否为整除
3.会在一定范围内求一个正整数的因数、倍数
4.会运用奇数偶数的运算性质
5.会求能被2、3、5整除的数以及能同时被其中的两个或者三个数整除的数
1
★知识精要
知识点1：整数的意义和分类
自然数：零和正整数统称为自然数（n
a
tur
a
l
num
b
er）；
整数：正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。
整数
正整数
零
自然数
负整数
知识点2：整除
（1） 整数
a
除以整数
b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说
a
能被
b
整除；或者说b
能整除
a
.
（2） 整除的条件（两个必须同时满足）：
① 除数、被除数都是整数；
② 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
知识点3：除尽与整除的异同点
相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除
不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；
除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。
知识点4：因数和倍数
整数
a
能被整数
b
整除，
a
就叫做
b
的倍数，
b
就叫做
a
的因数（也称为约数）。
知识点5：因数和倍数的性质（规律总结）
（1）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；
（2）0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数；
（3）一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数
知识点6：2的倍数的特征
个位是0，2，4，6，8的数
知识点7：偶数、奇数的意义以及它们的运算性质
在自然数中，是2的倍数的数是偶数（即个位是0，2，4，6，8的数）；
在自然数中，不是2的倍数的数是奇数（即个位是1，3，5，7，9的数）
注：最小的偶数是0，没有最大的偶数；
最小的奇数是1，没有最大的奇数；
一个整数不是奇数就是偶数，奇数的个位上的数是奇数。
知识点8：5的倍数的特征
个位是0或5的整数，都是5的倍数
2
知识点9：3的倍数的特征
一个整数各个数位上的数字相加的和是3的倍数的数是3的倍数
注：1)
既能被2整除又能被5整除的整数的特征:个位上数字是0的数（或者说是10的倍数的整数）
2)
既能被3整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0或5，且各个位上数字相加之和是3的倍数
（
或者说是15的倍数的整数）
3) 既能被2整除又能被3整除的整数的特征：个位上数字是0，2，
4，6，8且各个位上数字相加之和是3
的倍数（或者说是6的倍数的整数）
4) 既能被2
整除又能被3和5整除的整数的特征：个位上数字是0，且各个位上数字相加之和是3的倍数
（或者说是
30的倍数的整数）
总结拓展：
数的整除、奇数与偶数、素数、合数、与分解质因素
知识点
一、数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、
8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位
数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另
一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括
0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除
⑥能被11整除的
数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11
的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减
小）能被7（11或13）整除。
二、数的整除性质主要有：
（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（
3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘
积整
除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
【推理过程】：
2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都
能被10、2、5整除。任意一个整
数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字
也能被2或5整除，根据整除的基本
性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、
25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数
都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。同时，任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末<
br>两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和，根据整除的基本性质（1），可以推导出上面第②条、第③
3
条整除特征。
同理可证，若一个数的末四位数能被16或625整除，则这个数能被16或625整除，依此类推。
（2）若一个整数各位上数字和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
【推理过程】：
因为10、100、1000……除以9都余1，所以几十、几百、几千
……除以9就余几。因此，对于任意整
数ABCDE…(_______________)都可以写成
下面的形式（n为任意整数）：
9n＋（A＋B＋C＋D＋E＋……）
9n一定能
被3或9整除，根据整除的基本性质（1），只要这个数各位上的数字和（A＋B＋C＋D＋E＋……）
能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
（3）用“截尾法”判断整除性。
①
截尾减2法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，减去个位数字的2倍，差是7的倍数，
则原
数能被7整除；
②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，减去个位数字的1
倍，差是11的倍数，
则原数能被11整除；
③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后
，再从所得的数中，加上个位数字的4倍，差是13的倍数，
则原数能被13整除；
④截
尾减5法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，减去个位数字的5倍，差是17的倍数，
则原
数能被17整除；
⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，加上个位数字的
2倍，差是19的倍数，
则原数能被19整除。
根据整除的基本性质（3），以上5条整
除特征中，如果差太大，可以继续前面的“截尾翻倍相加”或
“截尾翻倍相减”的过程，直到能直接判断
为止。
【推理过程】：
设任意一个整数的个位数字为y，这个数可以表示成10x＋y的形式，其中x为任意整数。
一个
数截尾减2后，所得数为（x－2y）。因为截去这个数的个位数字后，所得数x减去个位数字y的2
倍
，实际上是在原数的十位数字上减去2个y，即减去了20个y，截尾一个y，总共减去了21个y，剩下
了（x－2y）个10。如下式：10x－20y＋y－y﹦（x－2y）×10﹦（10x＋y）－21y。
根据整除的基本性质，如果（x－2y）能被7整除，则（x－2y）×10就能被7整除，即（1
0x＋y）－
21y能被7整除，21y是7的倍数，可以推出原数（10x＋y）一定能被7整除。
“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y，总共加了39y（13的倍数），得到（x＋4
y）个10，“截
尾加4”所得（x＋4y）如果能被13整除，原数必能被13整除。
同理，“截尾减1”就是原数减去了11个y（11的倍数），原数剩下（x－y）个10，“截尾减1”所得（
x
－y）能被11整除，原数必能被11整除；
“截尾减5”就是原数减去了51个y（
17的倍数），原数剩下（x－5y）个10，“截尾减5”所得（x－
5y）能被17整除，原数必能
被17整除；
“截尾加2”就是原数加了19y（19的倍数），得到（x＋2y）个10，“截尾加2”
所得（x＋2y）如果
能被19整除，原数必能被19整除。
依此类推，可以用“截尾加3”
判断一个数能否被29整除，用“截尾减4”判断一个数能否被41整除
等等。
4
（4） “截尾法”的推广使用。
①若一个数的末三位数与末三位之前的
数字组成的数相减之差（大数减小数）能被7、11或13整除，
则这个数一定能被7、11或13整除
；
②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除，则这个数能被2
3或29
整除。（比较适合对五位数进行判断）
【推理过程】：
①设任意一个整数的末三位数为y，则这个数可以表示成1000x＋y的形式，其中x为任意整数。
当x大于y时，这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到（x－y）。这里x减y实际上是在
原数的千位上减去y，即减去了1000y，加上截去末三位数y，总共减去了1001y，原数剩下（x－y）
个1000。
如下式：
1000x－1000y＋y－y﹦1000（x－y）﹦（1000x＋y）－1001y
7×11×13﹦1001，7、11和13都是1001的因数。
综上所述，如果这个数末三位
之前的数字组成的数减去末三位数得到（x－y）能被7、11或13整除，
即（1000x＋y）－1
001y能被7、11或13整除，则原数必能被7、11或13整除。
当y大于x时，可得10
00（y－x）﹦1001y－（1000x＋y），如果（y－x）能被7、11或13整除，则原
数
必能被7、11或13整除。
②设任意一个整数的末四位数为y，则这个数可以表示成10000
x＋y的形式，其中x为任意整数。末四
位与之前数字组成数的5倍相减之差即（y－5x）。
10000（y－5x）﹦1005y－5（10000x＋y）
因为1005是2
3和29的公倍数，如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即（y－5x）能
被23或29
整除，即10000（y－5x）能被23或29整除，则原数必能被23或29整除。
依此类推，如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除，则这个数必能被101整除等等。
（5）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
（6）
【推理过程】：
一个整数偶数位上每个计数单位除以1
1都余1，如1、100、10000……等，除以11都余1，因此每个
偶数位上数字是几，它所表示
的数值除以11就余几，所有偶数位上数字之和除以11余几，所有偶数位数
字所表示的数值除以11就
余几。一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”（余数为10），如10、
1000、100
000……等，除以11都“缺1”， 因此每个奇数位上数字是几，它所表示的数值要整除11就缺几，
所有奇数位上数字之和除以11缺几，所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几。
“移多补少”
，只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除，原数才能被11
整除。
三、奇数与偶数的运算性质
（1）
性质1：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数
性质2：偶数±奇数＝奇数
性质3：偶数个奇数的和或差是偶数
性质4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，偶数×偶数＝偶数
两个实用的推论
5
推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a，b，有a+b与a-b同奇或同偶
（2）奇数的平方都可以表
示成
8m1
的形式，偶数的平方可以表示为
8m
或
8m4
的形式；
（3）任何一个正整数
n
，都可以写成
n2l
的形式
，其中
m
为负整数，
l
为奇数。
（4）若有限个整数之积为奇数，
则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少
有一个是偶数；两个整数的和与
差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
四、质数和合数的有关性质和定理
1.1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数。
2.若质数p|ab, 则必有p|a或p|b。
3.若正整数a, b 的积是质数p,
则必有a=p或b=p。
4.定理1.设a是一个大于1的正整数，则a的大于1的最小正因数p一定是质数。
5.定理2.若p是质数，则对任一整数a, 或者p|a, 或者（p, a）=1
6、定理3.质数有无穷多个。
7. 形如4n-1(n为正整数)的质数有无穷多个。 <
br>8.算术基本定理：任意一个大于1的整数N能分解成K个质因数的乘积（
a
p
1
1
p
2
2
p
k
k
,i
1,2,,
,k
），
若不考质因数之间的顺序，则
这种分解是唯一的。
9、任何大于1的整数
a
能唯一地写成
a
<
br>p
1
1
p
2
2
p
k
k<
br>,i
1,2,,
,k
①
的形式
，其中
p
i
为质（素）数（
p
i
p
j
(
ij)
）。上式叫做整数
a
的标准分解式
10、若
a
的
标准分解式为①，
a
的正因数的个数记为
f(a)
，则
f(a)(
a
1
1)(a
2
1)(a
k
1)
。
五、完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：
（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶数的平方数是4的倍数
，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或
1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6； <
br>（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合<
br>乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数
a,b<
br>之积是一个正整数的
k
次方幂（
k2
），若（
a,b
）＝1，则
a,b
都是整数的
k
次方
幂。一般地，设正整数
a,b,,c
之积是一个正整数的
k
次方幂（
k2
），若a,b,,c
两两互素，则
a,b,,c
都是正整数的k次方幂。
6
aa
a
aa
a
m
典型例题
例1、已知下列除法算式：
① 23÷3=7……2
②24÷6=4 ③ 21÷3=7
④ 2.1÷3=0.7
⑤5÷2=2.5 ⑥ 0÷21=0
表示能除尽的算式有几个？
哪些算式中被除数能被除数整除？
例2、一个整数既是54的因数，又是9的倍数，求这个数。
例3、求能同时被2、3、5整除的 (1) 最小的自然数；(2)
最小的两位数；(3) 最大的三位数.
例4、一个长方形的周长是20
厘米，且长和宽都是偶数，那么这个长方形的长和宽分别是多少？你能求出
它的面积吗？是多少?
例5、用4、5、6排成的三位数中，
A. 哪些是5的倍数？
B. 哪些是3的倍数？
C. 哪些是6的倍数？
7
例6、一个三位数，它在百位上的数是2，十位上的数是3，个位上的数是x，求出所有满足
已知条件的三
位数。
这个三位数能被5整除；
这个三位数是偶数；
这个三位数能被3整除。
例7、有三个自然数，其和是27，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：
（）+5=（）÷3=（）-2
例8、求1000以内能同时被3、5整除的数中，最大的奇数与最小的偶数的和。
例9、求从1至100这100个正整数中，不能被2或5整除的数的个数。
例10、已知A=2×3×5×7，那么A的全部因数的个数是 （ ）
A．10个 B、12个 C、14个 D、16个
例11、如果（n）表示n的全部因数的和，如（4）=1+2+4=7，则（18）-（21）=
_ 。
例12、已知
a
是整数，则以下四个代数式中，不可能得整数值的是（ ）
3a22a23a15a2
B. C.
D.
367
A.
5
例13、一个奇数要变成偶数，下列各方法中除（ ）外都可以。
A.加上1
B. 减去3 C.乘以2 D.除以2
8
例14、下面的一个41位数55…5
99…9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么 中的数字是
几？
例15、李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9
.2 元。已知 处数字相
同，请问：每支钢笔多少元？
一、基础训练
(一)、判断题
1、一个数的倍数一定比它的因数大。（ ）
2、正整数
a
最大的因数是
a
。（ ）
3、一个正整数至少有两个因数。（ ）
4、如果整数
a
、
b
、
c
满足
a
÷
b
=
c
，那么
a
既是
b
的倍数，也是
c
的倍数，
b
和<
br>c
都是
a
的因数。（ ）
5、 负整数中有最大的数。（
）
6、两奇数的和一定能被2整除。 （ ）
7、两奇数的积一定能被2整除。 （ ）
8、一个奇数与一个偶数的和一定能被2整除。（ ）
(二)、选择题
9、下列说法正确的是（ ）
A. 整数一定比小数大
B. 没有最小的自然数
C.
若
m
n
余数为0，则
n
一定能整除
m
D.若整数
m
除以整数
n
恰好能除尽，则
m
一定能
被
n
整除
10、下列说法不正确的是（ ）
A.
a<
br>÷
b
=
c
（
a
，
b
，
c<
br>都是正整数），则
b
是
a
的因数，
a
是
b<
br>的倍数
B. 甲数的最大因数正好等于乙数的最小倍数，则甲数一定大于乙数
C.
12÷4=3，所以说12是4的倍数 D. 51的倍数一定能被17整除
9
11、下列算式中，被除数能被除数整除的是（ ）
A.18÷4
B. 12÷0.4 C. 1.8÷1.8 D. 4÷4
12、已知
m
能整除71，那么m是（ ）
A. 142
B.11 C.1或71 D. 213
13、除式9÷1.5=6表示（ ）
A.9能被1.5整除
B.1.5能整除9 C.9能被1.5除尽 D.以上说法都不确切
14、如果一个数既是60的倍数，又是120的因数，那么下列说法中正确的是（ ）
A. 这样的数只有1个 B.这样的数有无数个 C.这样的数有2个
D.这样的数不存在
15、能被96整除的数一定是下面（ ）的倍数
A.18
B.32. C.36. D.192
16、要使四位数335
能同时被2，5整除， 最多可填（ ）个数字
A.1 B.2
C.3 D.无法确定
17、能同时被3和5整除的两位数是（ ）
A、120 B．104 C．90
D．35
18、如果一个偶数与一个正整数的和、差、积、商都是正整数，那么下列结论正确的是（
）
A、和为偶数 B.差为偶数 C.积为偶数
D.商为偶数
19、一个偶数要变成奇数，下面说法中，可以实现转变的是（ ）
A.加上一个奇数 B.加上一个偶数 C.乘以3 D.乘以2
(三)、填空题
20、30的因数中，偶数有__________个。
21、能被5整除的奇数，它的个位上的数是__________。
22、在50与100之间，3的倍数有__________个。
23、用3、0、5排成的三位数中，能被5整除的数有__________个。
24、最小的两位奇数是__________；最大的三位偶数是__________；
25、三个连续奇数中，最大的数是
a
，则最小的数是__________；
26、能被5整除，但有因数2的最大的两位数是__________；
27、100的因
数中，能被2整除的数有__________；能被5整除的数有__________；
28、相邻两个正整数的和为__________数，积为__________数。
(四)、解答题
29、把表示下列算式的序号填入适当的空格内。
（1）30÷10 （2）7÷25 （3）35÷0.1 （4）18÷3
（5）0.4÷2 （6）3.9÷0.3 （7）27÷9 （8）16÷4
被除数能被除数整除的：_____________________；
10
30、在下面的圈里，填上所有满足条件的数：
48的因数 50以内9的倍数
31、将1到20中满足条件的数填入适当的圈内。
4的倍数但非
100的因数
100的因数但非
4的倍数
4的倍数又是100
的因数
32、一个数既是200的因数，又是4的倍数，但不是10的倍数，这个数是多少？
33、24名学生参加了社区组织的“迎世博，学英语”活动，需分成几个小组，
要求每组的人数在5到10人
之间，应当怎样分组？
二、思维拓展
(一)、填空题
34、比25小的自然数有________个。
1、一个数最小的倍数是36，它的因数有哪些？__________________
3
5、整数
a
能被整数
b
整除，整数
c
能整除整数
b
，已知
a
是最大的两位数，
c
是最大的一位数，那么
b的
值可能是________；
36、用91个苹果分给十几个人，如果每人得到的苹
果个数都相等，那么每人拿到________个苹果。
37、在下面各数的○里填上一个适当的数字：
（1）20○既能被2整除也能被3整除；
（ ）
11
（2）7○○既能被3整除也能被5整除； （ ）
（3）○2○同时能被2、3、5整除； （ ）
（4）○62○既能被5整除，又能被6整除。（ ）
38、100以内既不是3的倍数，也不是7的倍数的数有________个。
39、用6、7、8中的任意一个、两个或三个数字能组成 ________个数字不重复的偶数。
40、三个连续奇数的和是111，则夹在这三个奇数之间的两个偶数分别是__________、_
_________。
(二)、选择题
41、已知
m
能整除143，那么
m
是（ ）
A. 13 B.11 C.13或11
D. 1或11或13或143
42.
n
表示正整数，下列各式中，一定表示奇数的是 ( )
A.
3
n
B. 3
n
-1
C. 3
n
+1 D. 2
n
-1
43、下列说法中，错误的是 （ ）
A．一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身
B．一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身
C．13在100以内的倍数共有8个
D．一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16
44、甲数的最大因数等于乙数的最小倍数，甲数和乙数比较，结果是（ ）
A.甲数大 B.乙数大 C.一样大 D.无法确定
45. 在
a
×
b
=
c
中(
a
、
b
、
c
都是正整数)，下列说法正确的是 ( )
A.
c
能整除
a
B.
a
和
b
都是
c
的因数 C.
b
能被
c
整除 D.
a
是
c
的倍数
46. 若五位数□123□能被15整除，这样的五位数一共有(
)个．
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
(三)、解答题
47、某校军乐队表演共37人，若要排成5路纵队，且每队人数相等，则至
少要增加多少人或减少多少人？
48.
有三个自然数，其和为37。小华、小强、小梅三人一起做填数字题。他们各取一个数，分别填入
(
)+1=( )-2=(
)÷4的三个括号内，结果能使等式成立。你能说出他们填的是什么数吗？请说明理
由。
12
49. 学校图书馆新增六种不同的科普读物，本数分别为15、16
、18、19、20、31，小华和小强主动帮助搬
运其中的五种，而且小强搬运的书量是小华的2倍，
你能说出还剩下哪一种书没有搬吗？
50、从1到2007这2007个整数
中，有n个数可以同时被2、3、5中的两个数整除，但不能同时被这三个
数整除，那么N为多少？
三、难题解析
51 、从0、1、2
、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中选出5个不同的数字，组成一个五位数，使它能同
时被3
、5、7、13整除，问：这个数最大是几？
52、 已知一个十一位数
9876543210能被35整除。这个十一位数的首位数字是什么？
53、
已知91能整除多位数AB123123123……123
，这个多位数是由两个未知数字和99个123组成的。那
么两位数AB是多少？
13
四、自招专训
54、一个多位数
20082008......2008
88
能被88整除，求最小的正整数n.
n个2008
★自我测试
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）因为3.2÷0.4=8，所以说3.2能被0.4整除。（ ）
（2）一个数的约数一定不大于这个数的倍数。（ ）
（3）含有约数2的数一定不是3的倍数。（ ）
（4）所有的自然数不是偶数就是奇数。（ ）
二、填空题
1
、在14和42两个数里，___________能被___________整除，___________
是___________的因数，
___________是___________的倍数。
2、在10÷4，100÷20，10÷3，12.5÷0.5，28÷6，121÷11这些算式中，
整除的算式
有___________，除尽的算式有___________。
3、一个数的最小倍数是24，这个数的因数有___________。
4、在1、23、
4、5、15、45、65、90、270中，___________是45的因数，___________
是15的倍数。
5、将1到30中满足条件的数填入对应的圈内。
5的倍数但非
100的因数
5的倍数但非2
的倍数
3的倍数又是4的
倍数
6、既不能被2整除，也不能被5整除的数的个位数字是___________。
7、能被10整除的数的特征是个位数字为___________。
8、三位数A5A能同时被2、3整除，则A可以是___________。
9、用0、8
、3、7四个数字组成一个数字可重复的四位数，使它能同时被2、3、5整除，这个四位数最大
是__
_________，最小是___________。
10、100以内既是2的倍数，又能被3整除的数有__________个。
11、在3
2、45、105、424、560、1001这些数中，有因数2的数是__________，能同时被3和
5整除的数
14
是___________。
12、一个七位数的个位数字是8，这个数被5除的余数是__________。
13、将下列数字按要求填入相应横线上：
12、30、36、75、40、53、120、609
能被2整除的是___________；
能被3整除的是___________；
能被2、3、5同时整除的数是
___________。
14、
从4、0、5、8这四个数字中，任选三个数字组成一个能同时被2,3,5整除的三位数，这样的三位数是
___________。
15、 5个连续偶数的和是320，这个五个连续偶数分别是几
。
三、选择题
1、下列说法中正确的个数是（ ）
(1)
一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大
(2) 一个正整数的倍数一定能被它的因数整除
(3) 除1之外的正整数的因数至少有两个
A. 0个 B.1个
C.2个 D.3个
2、下列说法中，错误的是 ( )
A.四个连续偶数的和必为偶数 B. 四个连续奇数的和必为奇数
C.一个偶数与一个奇数的积是偶数 D. 一个偶数与一个奇数的和是奇数
3、下列说法中，错误的是（ ）
A.0也是偶数；
B.能被2除尽的数都是偶数；
C.任何一个奇数加上1后，一定是偶数 ；
D.偶数除以偶数所得的结果不一定是偶数。
4、用0、1、3、5可以组成(
)个能同时被2、3、5整除的三位数。
A．2 B．3
C．4 D．5
5、如果一个偶数与一个正整数的和、差、积、商都是正整数，那么下列结论正确的是（ ）
A.和为偶数 B.差为偶数 C.积为偶数 D.商为偶数
6. 下列说法正确的是 ( )
A. 在自然数中，能整除6的数有2和3；
B.
m
÷
n
=3，
n
一定能整除
m
；
C.
与自然数
a
相邻的两个自然数分别是
a
+1，
a
+2；
D. 甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除.
15
四、解答题
1、一个两位数，能被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求这个两位数。
2、分别写出48和17的因数
3、由0，1，2，3，4组成一个能被2整除的三位数中，最小的一
个数是什么数？由小到大，第十个数是什
么数？
16