携手-财务部年终总结

计算题
1、在整数环Z中，令I = {5k|k∈Z }
（1）确定商环ZI中的元素。
（2）ZI是不是一个整环？求ZI的特征。
2、确定3次对称群S
3
的所有子群及所有正规子群。
3、求模6的剩余类环Z
6
的所有理想。



4、在10次对称群S
10
中，σ =


1


.

（1）将σ表成一些不相交轮换之积。
（2）求| σ|。
5、设G = {2
m
7
n
|m，n∈Q} 是关于普通数的乘法构成的群，f：2
m
7
n
|→7
n
是G
到G的一个同态映射，求f 的同态核Kerf 。
6、设（Z
16
，＋，·）是模16的剩余类环，求Z
16
的所有理想，求Z
16
的所有非零
理想的交。
7、在7次对称群S
7
中, 将(12)(2347)
-1
(12)
-1
表为一些互不相交的轮换之积。
8、在高斯整数环Z[i]={a + bi|a, bZ,i
2
=-1}中,(1 )求主理想(1+i)，(2)求
Z[i]
9、给出整数加群Z的所有自同构。
10、设R=Z
4
是模4的剩余类环,确定Z
4
的所有理想。
11、设R=Z[i]={a + bi|a, bZ,i
2
=-1}是高斯整数环,试求Z[i]的所有单位。
12、设G={ 2
m
3
n
| m, nQ}是关于通常数的乘法作成的群,令 f:2
m
3
n

2
m

(1)验证f是G到G的同态映射， (2)确定Kerf 。
13、找出三次 对称群
S
3
的所有子群；找出
S
3
关于子群H={(1), (12)}的右陪集分解。
14、在整数环Z中，试求出所有包含30的极大理想。
15、求出模6的剩余类加群Z
6
的所有自同构。
16、（10分）求模12的剩余类加群（Z
12
，＋）的所有自同构映射
17、设Z
(1i)
。

i

＝
< br>abi|a,bZ,i
2
1

是高斯整数环，求Z

i

的商域。

18、求数环Z[
5
]={ a+b
5
a
,b

Z}的全部自同构映射。
19、求高斯 整数环Z[i]={a+bi
a
,b

Z,i
2
=－1}的 主理想(1-i) 以及剩余类环
Z[i]
(1i)

20、设Z
8
是模8的剩余类环,在Z
8
中求x
3
的根.
21、在3 次对称群S
3
中,令H={(1),(12)},试确定H在S
3
中的左陪集 分解式。
22、确定高斯整数环Z[i]的全部自同构映射.
23、试写出模12的剩余类加群G＝（Z
12
，＋）的所有子群及G的所有
生成元。
24、设Z是整数环，求（4，6）＝？
25、找出模8的剩余类环
Z
(8)
的一切非零理想，并求它们的交。
26、 设G={2
m
5
n
m
,n

Q< br>}是关于普通的数的乘法作成的群, f:2
m
5
n

5
n
是G
到G的一个同态映射,求f的核kerf
。

27、设(Z
12< br>,+,

)是模12的剩余类环,求Z
12
的一切理想,以及一切非零 理想的交。
28、试写出三次对称群的所有不变子群。
29、已知I＝{6k|k

Z}是偶数环R的理想，求商环
R
的所有元素。
I
30、求数环
Z[7]ab7a,bZ
的所有单位。

31、确定模10的剩余类加群的所有子群。
32、设G是一个阶为15的交换群。
（1） 证明G是循环群。
（2） 求出G的所有子群。
33、若S
3< br>是3次对称群，
C(S
3
)

x|xS
3
,yS
3
,xyyx


（1） 求C（S
3
）。

（
2
）
当n
≥
3时，C（S
n
）呢 ?
34、在3次对称群S
3
中，H=｛（1），（23）｝。
（1）试给出H在S
3
中的左陪集分解式
（2）H是不是S
3
的正规子群？

35、设G是一个21阶 交换群，H=｛x|x
G,x
14
e
｝
(1) 证明：
HG
。
（2）确定出H
。

36、设Z是整数加群，求Z的自同构群Aut(Z)。
37、设Z是模6的剩余类加群，求Aut(Z
6
)。
38、 在整数加群Z中，S=｛2004,2
3
,3
2
｝，求。
39、设G=是一个20阶循环群，试求G的所有生成元。
40、确定3次对称群S
3
的所有正规子群。
41、设N

G，|
G
N
|=12,
gG,g14,在
G
N
中求。
42、在5次对称群S
5
中，设置换

=（12345）
（1）求置换

，使

2


。
（2）求置换

，使

4


1
。< br>
43、在S
9
中，

=（1965）（1487）（19 23），将

表成一些不相交轮换之积，且
求

。
44、在S
8
中，H=<

>,

=（1487）（1865）（134），试求[G
：
H]。
45、求Z到Z
m
的所有同态映射。
46、求Z
m
到Z的所有同态映射。
47、求Z
4
到Z
6
的所有同态映射。
48、设H

G
，
N

G
，
HN,令f:
G（1）证明：f是群
G
（2）计算Kerf
。

49、设G=｛ 3
m
5
n
|m,n
Q
｝，G对通常数的乘法构成群。令< br>H
H

G
N
,gHgN,(gG)
。

到
G
N
的一个同态映射。
f:GG,3
m
5< br>n
3
m
(m,nQ),求Kerf
。
50、设G与H是两个群，|G|=100，|H|=21，f是G到H 的同态映射，求 f
。

51、求模12的剩余类环Z
12
的全部子环。
52、求模8的剩余类环Z
8
的全部理想。

53、若
Z[i]abi|a,bZ,i1

（1） 求Z[i]的所有单位。
（2）
Z[i]

(i)
是不是域？
54、求模24的剩余类环Z
24
的所有单位。
55、设
R3
n
m|m,nZ
。
（1） 证明R是有理数域Q的子环。
（2）求R的所有单位。
56、求环M
2
（Z
2
）中的所有可逆元。
57、求环M
2
（Z
4
）中的所有可逆元。
58、试求模18的剩余类
环
Z
18
的可逆元与零因子。
59、设Z[i]为高斯整数环，I=（1+2i）,试写出I的元素的明显表达式，并求商环
Z[i]
。
I
60、试确定Z
12
的所有商环。


ab



|a,b,cZ
61、设
R



，R对通常矩阵的加法与乘法构成环。令

oc







0x


I



00


|xZ






（1） 证
明
I是R的一个理想。
（2） 求I的所有理想。
62、求出整数环Z的一切自同态，并求出它们的每一个同态核。
63、设
R3Z

3k|kZ

是环，I=（9）
（1）求
R
， （2）
R
是不是一个域？
II
64、在整环
Z[2]ab2|a,bZ
中，
（1）求 (
2
)
（2）（
2
）是不是Z[
2
]的一个极大理想？
65、设
Z[i]

abi|a,bZ

是高斯整数环，试确定商环< br>Z[i]

(2i)
的元素。

66、在3次对称 群S
3
中，g=(23),

g
是由g诱导的S
3
的内自同构，求

g
。
67、设R是整环，I是R的理想，举例说明
R
不一定是整环，给出
R
是整环
II
的充要条件。
68、举例说明含2个元素的环不一定是域，给出一个2元素环为域的一个充要条
件。
69、求模3的剩余类加群Z
3
的自同构群。