严德海-争先恐后造句

5-2数的整除




本讲是数论知识 体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题
型有定性分析层面 的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是 让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整
除判定特性的数字可以将其转化为几 个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点
是将数字的整除性上升到字母和代数 式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个
不小的挑战。
教学目标
知识点拨
一、常见数字的整除判定方法

1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能 被7、
11或13整除.
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，
c︱b，那么c︱(a±b)．
性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，
c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b和c整除．即如果bc∣a，那
么b∣a，c∣a．
性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b
与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；
性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，
那么bd｜ac；
例题精讲


1

模块一、常见数的整除判定特征
【例 1】 已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？



【巩固】 六位数
2008
能被99整除，是多少？



【巩固】 六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？



【例 2】 173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得 到的3个四位数，依
次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？



【巩固】 某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6 ，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是
多少？



【巩固】 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？



【例 3】 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17和19整除，那么方框中的两
位数是多少?



【巩固】 已知四十一位数55…5□99…9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是
多 少？



【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并
检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？



【例 5】 (2008“数学解题能力展示”初赛)已知九位数
200 7□12□2
既是9的倍数，又是11的倍数；那么，
这个九位数是多少？



【例 6】 一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在 帐本上，把这笔帐的总数烧
去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□
67.9
□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，
并求笔记本的单价.



【例 7】 由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？


2

模块二、数的整除性质应用
【例 8】 各位数码是0、1或2，且能被225 整除的最小自然数是多少？



【例 9】 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树 312棵，老师与
学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？



【巩固】 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三 组，如果老师与学生每人种树一样多，
共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？



【例 10】 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、 4、5整除，且使这个数值尽可
能的小。



【巩固】 在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少?



【巩固】 要使
15abc6
能被36整除，而且所得的商最小 ，那么
a,b,c
分别是多少？



【例 11】 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能
被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？



【巩固】 请求出 最大的七位数，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位数字互不相同，这个七位数是
多少？



【例 12】 修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？



【例 13】 某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数 的和，也能写成
11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？



【巩固】
a
是一个三位数.它的百位数字是4，
a9
能被7整除，
a7
能被9整除，问
a
是多少？



【巩固】 有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表 示成5个连续
自然数的和．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由.


3

【例 14】 用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？
【解析】 因为168=8×3×7，所以组成的六位数可以被8、3、7整除．
能够被8整除的数的特征是末三 位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，
末位为偶数．在题中条件下，验证只有6 88、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而
又要求是7的倍数，由例8知
abcabc
形式的数一定是7、11、13的倍数，所以768768一定是7
的倍数，□□ □688的□不管怎么填都得不到7的倍数．
至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是 数字和为3的倍数，在题中给定的条件
下，不管怎么填数字和都是定值。
所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数．



【例 15】 将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数 ，那么，这个6位数除以
667的结果是多少？



【例 16】 一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一
个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这< br>个十全数是多少？



【例 17】 把若干个自然数1、2、 3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那
么最后出现的自然数最小应该是多 少？最大是多少？



【巩固】 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？



975935972
，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？ 【巩固】



【巩固】 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？



【巩固】 把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最 末53位恰好都是零，那么
最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？



【例 18】 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至1 1报数，报数为11的同
学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为 11的同学留下，
其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其 余同学出
列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．



【例 19】 在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除。



4

【例 20】 以多位数14 2857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的
差能否被11整除 .



【巩固】 以多位数
5
为例，说明被7、11、13整除的规律.



【例 21】 已知两个三位数
abc
与
def
的和
abc def
能被37整除，试说明：六位数
abcdef
也能被37整除．



【巩固】 如果
abcde
能被6整除，那么
2(abcd)e
也能被6整除．



【巩固】 若
4b2cd32
，试问
abcd
能否被8整除?请说明理由．



【例 22】 两个四位数
A275
和
27 5B
相乘，要使它们的乘积能被72整除，求
A
和
B
.



【巩固】 若四位数
9a8a
能被15整除，则
a
代表的数字是多少？



【例 23】 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是 1、2就是3．在密码中1的
数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3和16所整除．试问密码是 多少？



【巩固】 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数 字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目
比3多，而且密码能被3和4所整除．试求出这个密码．



【例 24】 一个19位数
7777O44444
能被13整除，求О内的数字．
9个
9个



【巩固】 应当在如下的问号“？”的位置 上填上哪一个数码，才能使得所得的整数
66
50个6
6?55
50个55
可被7整
除？



【例 25】 多位数20092009
n个2009
2009736
，能被11整除，
n最小值为多少？



【巩固】
20092009
n个2009
200909
能被11整除，那么，
n
的最小值为多少？
5

【例 26】 三位数的百位 、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成为：
5ab5ab
200 9个5ab
5ab
.
如果此数能被91整除，那么这个三位数
5ab
是多少？



【例 27】 试说明一个4位数，原序数与反序数的和 一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的
反序数为6321，它们的和7557是11 的倍数．)



【巩固】 试说明一个两位数，如果将个位数字和十位 数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差
一定能被9整除.



【巩固】 试说明一个5位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数(如：12367为原 序数，那么它对应的
反序数为76321，它们的差
6395499646
是99 的倍数．)



【巩固】 1至9这9个数字，按图所示的次序排成一 个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针
和逆时针次序形成两个九位数(例如，在1和7之间 剪开，得到两个数是
193426857
和
758624391
)．如果要求 剪开后所得到的两个九位数的差能被
396
整除，那么剪开处左右两个数字
的乘积是多 少?
7
5
8
6
2
4
1
9
3



【例 28】 一个六位数
abcdef
，如果满足
4 abcdeffabcde
，则称
abcdef
为“迎春数”(如
41 02564410256
，则
102564
就是“迎春数”)。请你求出所有“迎春 数”的总和。



【例 29】 一个4位数，把它的千位数字移到右端 构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个
数的一个：①9865；②9866；③986 7；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?




【巩固】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字移到 右
端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：①
9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?




模块三、整除与其他知识综合性题目
【例 30】 在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个.
6

【巩固】 用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?



【例 31】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有多少个？



【例 32】 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同 学写了一个自然数，其余各位
同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两 位同学说的不对，
其余同学都对，问：⑴说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果 告诉你
1号写的数是五位数，请找出这个数．



【巩固】 某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12．他们的电话号码依次是12个连续
的六 位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都
小于6，并且 门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？



【例 33】 已知：
23!258D20C67388849766AB000
．则
DCBA
？



【巩固】 有一个 九位数
abcdefghi
的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数
ab
可被2整除，三位数
abc
可被3整除，四位数
abcd
可被4整除，… …依此类推，九位数
abcdefghi
可被9整除．请问
这个九位数
abc defghi
是多少？
7