帮助他人的名言-陈梦园

第七讲 整数的分拆
整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计
顺序的若干个自然数之和
n=n
1
+n
2
+„＋n
m
（n
1
≥n< br>2
≥„≥n
m
≥1）的一种表示法，叫做n的一种
分拆.对被加项及项 数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.
早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究 .1742年德国的哥德巴
赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我
们通过一些例题，简单介绍 有关整数分拆的基本知识.
一、整数分拆中的计数问题
例1 有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？
解：根据分拆的项数分别讨论如下：
①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；
②把6分拆成两个自然数之和有3种方式
6=5+1=4+2=3+3；
③把6分拆成3个自然数之和有3种方式
6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；
④把6分拆成4个自然数之和有2种方式
6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；
⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式
6=2+1+1＋1＋1；
⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式
6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有
1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.
说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要
的分拆.
例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？

解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：
1994=1993+1=1＋1993
=1992+2=2＋1992
=„
=998＋996=996+998
=997+997
因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.
解法2：构造加法算式：

于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并
把 其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换
律，因此共有997种不同的分拆 方式.
说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示
为两个自然数 之和，一共有k种不同的方式，其中

例3 有多少种方法可以把100表示为（有 顺序的）3个自然数之和？
（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）
分析 本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.
解：构造加法算式

于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们
所隔 开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法.因此，
把100表示为3个自然数之和有 种不同的方式.
说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥3表示为（有顺
序< br>科奥林匹克数学竞赛第10题）.
例4 用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少 种不同的凑法？
（第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第二试第4题）
分析 用1 分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成
不超过一元钱的凑法数是一样的.于是，本题转 化为：“有2分硬币50
个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？
解：按5分硬币的个数分21类计数；
假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；
假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），
于是2分硬币可取0个 、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；
假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过10 0-5×18=10（分），
于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同
的凑法；
„如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：
1+3+6+8+11＋13+16+18+21+„+48+51
=5×（1+3+6+8）+4×（10+20＋30+40）+51
=90＋400＋51
=541（种）.
说明：本例实际上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100的非负整数解
的组数.
上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题.
二、整数分拆中的最值问题

在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最大值或最
小值的问题.
例5 试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大.
解：由例2可知，把14分拆成两个自然数之和，共有7种不同的方
式.对每一种分拆计算相应的乘积：
14=1＋13，1×13＝13；
14=2+12，2×12=24；
14=3＋11，3×11=33；
14=4＋10，4×10=40；
14=5＋9，5×9=45；
14=6+8，6×8=48；
14=7+7，7×7=49.
因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最大.
说明：本例可以推广为一 般性结论：“把自然数n≥2分拆为两个自
然数a与b（a≥b）之和，使其积a×b取最大值的条件是 a=b或a-b=1
（a＞b）”.事实上，假设a-b=1＋m（其中m是一个自然数），显然n=a
＋b=（a-1）+（b＋1），而有（a-1）×（b＋1）＝a×b＋a-b-1＝a×b
＋m＞a×b.
换句话说，假设n=a+b且a-b＞1，那么乘积a×b不是最大的.这样，

例6 试把14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.
分析 由例 5的说明可知，假设n＝a+b＋c（a≥b≥c）且a-c＞1时，
乘积a×b×c不是最大的.换句 话说，若n=a+b＋c（a≥b≥c），当a、b、
c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c 取最大值.
解：因为14=3×4＋2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b×c=5×5×4＝100为最大值.

说明：本题可以推广为一般结论：把自然数n≥3分拆为3个自然数
a、


下面我们再研究一个难度更大的拆数问题.
问题：给定一个自然数N，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积
最大.
这个问题与前 面研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把
N拆成几个自然数的和.这也正是这题的难点，使 分拆的种类要增加许多.
我们仍旧走实验-观察- 归纳结论这条路.先选择较小的自然数5开始实验.
并把数据列表以便比较.
实验表1：

结果：5拆成2＋3时，其积6最大.
你注意到了吗？我们的实验结果是 按把5拆分数的个数多少，由多到
少的次序进行的.再注意，当被拆数n＞3时（这里n=5），为了使 拆分数
的乘积最大，拆分数中不能有1.因为当n＞3，n=1+（n-1）=2+（n-2），
且2×（n-2）＞1×（n-1）.

结果：7拆分成2＋2+3时.其积12最大.
注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改变分拆
的乘积.
实验结果4：8拆分成2＋3+3时，其积最大.
实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最大.
实验结果6：10拆分成3+3+2＋2时，其积最大.
观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，
其形式有三种：
①自然数=（若干个3的和）；
②自然数=（若干个3的和）+2；
③自然数=（若干个3的和）+2＋2.
因此，我们得到结论：把一个自然数N拆分成若干个自然 数的和，只
有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积
最大.（因 为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多
于2个.）
例 分别拆分1993、1994、2001三个数，使分拆后的积最大.
解：∵1993=664×3＋1.

∵1994=664×3＋2

∴1994分拆成（664个3的和）＋2时，其积最大.
∵2001=667×3∴2001分拆成（667个3的和）时，其积最大.
我们以上采用的“实验-观察-归纳总结”方法，在数学上叫做不完全
归纳法.我国著名数学家华罗庚讲 过：难处不在于有了公式去证明，而在
于没有公式之前怎么去找出公式.不完全归纳法正是人们寻找公式 的重要
方法之一.但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要
严格证明.这一 步工作要等到学习了中学的课程才能进行.

习题七
1.两个十位数1111111111和9999999999的乘积中有几个数字是奇
数？
2.计算：

3.计算：9999×2222+3333×3334.
4.在周长为18，边长为整数的长方形中，面积最大的长方形的长和
宽各是多少？
5. 用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图所示的鸡圈.问鸡圈的长
与宽分别是多少时，鸡圈的面积最大？

6.把17、18两个自然数拆成若干个自然数的和，并分别求这些分拆
的自然数的乘积的最大值.


习题七解答
1.解：1111111111×9999999999

因此，这两个十位数的乘积中有10个数字是奇数.
2.1.
3.33330000.
4.长为5，宽为4.
5.当鸡圈的长=宽=3米时，鸡圈的面积最大.
6.17分拆成3＋3＋3＋3＋3＋2时，其乘积最大，最大值是3
×2=486.
18分拆成6个3的和时，其积最大，最大值是3=729.
6
5

习题七
1.两个十位数1111111111和9999999999的乘积中有几个数字是奇
数？
2.计算：

3.计算：9999×2222+3333×3334.
4.在周长为18，边长为整数的长方形中，面积最大的长方形的长和
宽各是多少？
5. 用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图所示的鸡圈.问鸡圈的长
与宽分别是多少时，鸡圈的面积最大？

6.把17、18两个自然数拆成若干个自然数的和，并分别求这些分拆
的自然数的乘积的最大值.


习题七解答
1.解：1111111111×9999999999

因此，这两个十位数的乘积中有10个数字是奇数.
2.1.
3.33330000.
4.长为5，宽为4.
5.当鸡圈的长=宽=3米时，鸡圈的面积最大.
6.17分拆成3＋3＋3＋3＋3＋2时，其乘积最大，最大值是3
×2=486.
18分拆成6个3的和时，其积最大，最大值是3=729.
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