放松心情的句子-中秋节祝福语短信

第六讲 整数论（二）
一、知识精要
（一） 奇数与偶数
1. 奇数

偶数
2. 奇数

奇数=偶数；偶数

偶 数=偶数；奇数

偶数=奇数；奇数个奇数的和是奇数，偶
数个奇数的和是偶数，若干 个偶数的和是偶数。
3. 若
a
是整数，则
a
与
a
,-
a
,a
n
有相同的奇偶性。
4. 设a、b是整数则a+b,a-b,
ab,ab
都有相同的奇偶性。
5. 任一 整数m与一奇数n的代数和m

n的奇偶性与m相反，任一整数m与一个偶数n的
代数 和m

n的奇偶性与m相同。
6. 两个连续整数的积n(n+1)是偶数。
7. 偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是8的倍数加1。
（二） 最大公约数与最小公倍数
1. 任意n个正整数a
1
,a
2
,…a
n
,它们总有公约数，例如：1就是它们的公约数，当然，它
们的公约数可能不止一个 ，公约数中最大的一个称为最大公约数，正整数a
1
,a
2
,…a
n
的最大公约数记作：（a
1
,a
2
,…a
n
）。规 定（0，a
1
,a
2
,…a
n
）=（a
1
,a
2
,…a
n
）。
2. 任意n个正整数a
1
,a
2
,a
3
…a
n
,它们总有公倍数，例如：a
1
a
2
a
3
…a
n
就是它们的
公倍数，当 然，它们的公倍数有无数多个，公倍数中最小的一个称为最小公倍数，正整
数a
1
,a
2
,…a
n
的最小公倍数记作：

a
1
,a
2
…a
n


。
3. 最大公约数一定不会大于a
1
,a
2
,…a
n
中最小一个， 如果a
1
,a
2
,…a
n
中有一个数为1，
则最大 公约数为1；最小公倍数一定不小于a
1
,a
2
,…a
n
中 最大一个，如果a
1
,a
2
,…a
n
中有一个数为1，则最 小公倍数就是除1以外的其他各数的最小公倍数。
4. 如果d为a
1
,a
2
,…a
n
的最大公约数，则
=d,则（
a
1
a< br>2
a
3
a
n
，，…互质，即（a
1
,a2
,…a
n
）
ddd
d
a
a
1
a
2
，，…
n
）=1；反之亦然，又若m为 a
1
,a< br>2
,a
3
…a
n
的最小公倍数，则
dd
d< br>满足（
mmm
,,…
）=1；反之亦然。
a
1
a
2
a
n
二、例题选择
例1、已知三个整数a,b,c的和为奇数，那么a+b-c+2ab( )
A、一定是非负零偶数 B、等于零
C、一定是奇数 D、可能是奇数也可能是偶数
222

例2、已知x
1
,x< br>2
…x
n
都是+1或-1，n

4,并且x
1
x
2
x
3
x
4
x
2
x
3x
4
x
5
…
+
x
n
x
1< br>x
2
x
3
=0.求
证：n是4的倍数。
例3、设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证：ab- ab，
bcbc
，ca-ca三个数中，
至少有一个数能被10整除。
例 4、设自然数x>y,x+y=667,x,y的最小公倍数为P，最大公约数为Q，P=120Q，则x- y的
最大值为＿＿＿。
例5、已知两个自然数的积与和之差恰好等于它们的最大公约数与最小 公倍数之和，求这样
的正整数。
例6、已知两位数的和是60，它们的最大公约数和最小公倍数的和是84，求这两个数。
例7、设m是两个不相等的正整数x,y的最小公倍数，且满足
的x和y.
例8、在1至2000这2000个正整数之间，有多少个整数n，使得2-1能被7整除。
例9、设P是大于5的质数，求证：120︱（P-1）。
三、能力训练
（一） 选择题
1.自然数1、2…1989、1990之和是一个奇数，现将这1990个数中的任意n(n <1990)个数添
上负号，这时的1990个数之和的绝对值记为S，那么（ ）
A、S总是偶数 B、S总是奇数 C、当n为偶数时，S是偶数 ，当n是奇数时，S是奇数
D、S的奇偶性不能确定，它与n的值及所选取添加负号的数有关
2.6个奇数，它的和是42，它们的平方和可能是（ ）
A、280 B、368 C、382 D、423
3．使n+n+7是完全平方数的所有整数n的积为（ ）
A、14 B、42 C、84 D、－84
4.已知三个整数a,b,c的和为奇数，那么a+b
c
+2ab是（ ）
A、非零偶数 B、0 C、奇数 D、无法确定
5.设p ,q，
22
2
4
n
33
33
33
11m 1

，求所有可能
xym
2
2p12q1
,
均为正整数，则p+q的值为（ ）
qp
A、2或6 B、2或89 C、4或6 D、3或5
6.若字母a,b,c表示不同的个位数字，a为质数，a- b=4,数
aaabbbc
也是质数，则a+b+c的
值为（ ）
A、11 B、13 C、15 D、19
(二)填空题
1.已知正整数p,q;p-q均为质数，且p+q是偶数，则(1 +
1
p
1
q
)(1-)=＿＿＿.
23

< br>2.a、b、c三个数都是两位数，且a>b>c。已知它们的和是一个偶数，它们的积是3960，则< br>a、b、c三个数分别为＿＿＿.
3.有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数 的和，但不能表示为3个连续的
正整数的和，那么，这8个连续的正整数中最大数的最小值是＿＿＿.
4.把1、2、…2n这2n个自然数随意放置在一个圆周上，据统计，在所有相邻的三个数中，
三个数全为奇数的有a组，三个数恰有两个为奇数的有b组，三个数中只有一个为奇数的有
c组，三个 数都是偶数的有d组，如果a

b,那么，
bc
的值为＿＿＿.
ad
5.有两个正整数a、b，它们的平方和为585，而最大公约数与最小公倍数的和为87，则a +b=
＿＿＿.
6.已知三个质数m、n、p的积等于这三个数的和的5倍，则m+n+p=＿＿＿.
(三)解答下列各题
1.设a
1
,a
2
,…a
7
是1、2…7的一个排列（只打乱这7个数的顺序），证明：（a
1
-1）(a
2
-2) …
(a
7
-7)一定是偶数。
2.设
abc
，
def
为三位数，
g1031
为五位数，若
abc
求
abc
和
def
。
3.已知d>0,a、b为任意实数，门组 条件：①3b=a+1;②d=a-6ab+9b,试求d的最小
值及相应的a、b的值。
4 .已知两个三位数
abc
、
def
的和
abc
+
d ef
能被37整除，求证：六位数
abcdef
也能被整
除。
5． 设x是一个n位整数，且x是偶数，将x的最高位数移到它的最右端得到新数y（例如
将数3124按照 这种方法变成1243），如果x和y满足
22222
222
def
=
g1031
，且a+b+c=10,d+e+f=8,
yn

，试求x的最 小取值
x2
（x的各位数字不尽相同）。
6．在1、2、3…90、91这91个 自然数中任取k个数，若其中必有两个自然数p、q满足关
系式
2q3

， 试确定自然数k的最小值，并说明理由。
3p2
7.设整数a、b、c、d同时满足以下三个 条件：（1）0问：这样的数组（a、b、c、d）共有多少个？
8．设a、b、c为直角三角形的三边长，求证：若a、b、c为整数，则abc能被30整除。