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一元一次方程的整数解问题专题练习
一、选择题
1、若关于x的方程|2|x-3|-1|=a有三个整数解，则a的值为（ ）．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案：B
解答：|2|x-3|-1|=a，2|x-3|-1=±a，2|x-3|=±a+1，
当a=0时，2|x-3|=1，x不为整数，
当a=1时，2|x-3|=±1+1，
可得①2|x-3|=2，x=4，2．
②2|x-3|=0，x=3，此时有3个整数解，
当a=2，3时，同a=0时，x不符合题意．
2、若关于x的方程（k-2019）x-2 017=6-2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是
（ ）．
A. 5 B. 3 C. 6 D. 2
答案：C
解答：（k-2019）x-2017=6-2019（x+1）
（k-2019）x=6-2019x-2019+2017
（k-2019）x+2019x=4
kx=4
x=
4
，
k
4
为整数，
k
∵方程的解是整数，
∴
∴k=1，-1，2，-2，4，-4．
共有6个．
选C.
二、填空题
3、若k为自然数，关于x的方程kx-4=x+3的解是整数，则k=______．
答案：0，2，8
解答：kx-4=x+3，

kx-x=7，
（k-1）x=7，
x=
7
，
k1
∵x是整数，k是自然数，
∴k-1=±1，7，
∴k=0，2，8．
4、关于x的方程ax+4=4x+1的解为正整数，则整数a的值为______．
答案：1或3
解答：ax+4=4x+1
（a-4）x=-3
3

a4
3
x=

4a
x=
∵方程的解为正整数
∴4-a=1或4-a=3
∴a=1或3．
5、若方程9x-3=kx+14有正整数解，则k的整数值为______．
答案：8或-8
解答：解方程，得x=
17

9k
∵方程得解为正整数，k为整数，
∴9-k=1或17
∴k=8或-8．
6、k为整数，关于x的方程kx+5=3x的解为整数，k的值为______．
答案：2，4，8，-2
解答：由原方程得x=
∵k、x为整数，
∴k-3=±1，±5，
∴k=2，4，8，-2．
7、关于x的一元一次方程（m-1）x-3=0的解为整数，则m的整数值为______．

5
，
k3

答案：0，2，-2，4
解答：由题意得x=
3
，∵方程的解为正整数，且m为整数，
m1
∴m-1=±1或m-1=±3，
∴ m的值为0，2，-2，4．
8、若关于x的方程9x-17=kx的解为正整数，则整数k的值为______．
答案：±8
解答：由题意得x=
17
，∵方程的解为正整数，且k为整数，
9k
kx
k3
=2-
的解是正数．
2
3
∴9-k=1或9-k=17，解得k=±8．
9、当x满足______时，关于k的方程k-
答案：x＜2
解答：解方程得，k=
∵解为正数，
∴
63x
，
5
63x
＞0，
5
∴x＜2．
10、回答下面问题
（1）若关于x的一元一次方程kx-6=0的解为整数，则整数k的值为______．
（ 2）若关于x的一元一次方程（k-1）x-2k+1=0的解为正整数，则整数k的值为______．
答案：（1）±1，±2，±3，±6
（2）2或0
解答：（1）解方程x=
6
（k≠0），
k
∵一元一次方程的解为整数，
∴整数k的值为±1，±2，±3，±6．
（2）解方程得：x=
11
2k1
=
2

k1

1
=2+，
kk1
k1
∵关于x的一元一次方程（k-1）x-2k+1=0的解为正整数，
∴k-1≠0且k-1=±1，
∴k=2或0．
11、k为整数，关于x的方程kx+5=3x+2k的解为整数，k的值为______

答案：2，4
解答：由原方程得x=
∵k、x为整数，
∴k-3=±1，
∴k=2，4．
12、若关于x的方程ax+3=4x+1的解为整数，则整数a的值为______．
答案：2，3，5，6
解答：ax+3=4x+1，（a-4）x=-2，x=
∵方程的解是整数，
∴4-a=±1，±2，
∴a=3，5，2，6．
13、在等式（a+1）x=2+3x中，若x是负整数，则整数a的取值是______．
答案：0或1
解答：∵（a+1）x=2+3x，
∴（a+1）x-3x=2．
∴（a-2）x=2．
当a-2=0，即a=2时，0·x=2有0=2不成立，舍．
当a-2≠0，即a≠2时，x=
∵x是负整数，
∴a-2=-1或-2．
∴a=1或0．
14、已知关于x的方程
答案：-2或6
解答：
2k5
1
=2+
，
k3
k3
2
．
4a
2
．
a2
3
k
=
的解是正整数，且k为整数，则k的值=______．
x
3x
3
k
=
，
x
3x
3（3-x）=kx，
9-3x=kx，
-3x-kx=-9，
（-3-k）x=-9，

9
，
3k
9
x=
，
3k
x=
∵方程的解为正整数，k为整数，
∴3+k可取的值为1，3，9，
∴k可取的值为-2，0，6，
又∵x≠0且x≠3，
∴3+k≠3，
∴k≠0，
∴k可取-2，6，
∴k的值为-2或6．
三、解答题
15、已知关于x的方程3（x-1）=ax有整数解，求正整数a的值．
答案：a=2或6或4．
解答：原方程整理得3x-3=ax，
3x-ax=3，
（3-a）x=3，
x=
3
，
3a
∵a为正整数，x为整数，
则3-a=±1，±3，
a=2或6或4．
16、若关于x的一元一次方程（m-1）x-3=0的解是正整数，求整数m的值．
答案：m=2或4．
解答：（m-1）x-3=0，将：x=
∵解是正整数，
∴m-1=1或3，
解得：m=2或4．
故整数m的值为2或4．
17、已知关于x的方程

3
，
m1
135x2ax+=
的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程
626

的解．
答案：a=4，方程的解为x=11．
解答：
135x2
ax+=

626
ax+9=5x-2
ax-5x=-2-9
（a-5）x=-11
x=
11
．
5a
∵方程的解是正整数，
∴5-a=1或11，
∴a=4或-6，
∵a为正整数，
∴a=4，
∴方程的解为x=
11
=11．
54
18、关于x的方程（m-2）x||=n-5=0是一元一次方程．
（1）则m、n应满足的条件为：m______，n______．
（2）若此方程的解为整数，求整数m的值．
答案：（1）≠2；=1
（2）7，-3，3，1
解答：（1）≠2，=1
（2）由（1）知：（m-2）x=5，
∴x=
5
，
m2
若x为整数，

m25

m25

则

，
m21



m21


m7

m3

解得，

． 
m3


m1
19、已知a为正整数，关于x的方程答案：a的最小值为2．
解答：方法一：
x=
58
x-a=x+142的解为整数，求a的最小值．
25
10a1420

9
7

9
=
9a1579a
=a+157+
a7
，
9
由于a为正整数，x为整数，故a的最小值为2．
方法二：
解方程58142010a
10

142a

x-a=x+142 ，解得x==
，即当142+a可以被9整除时满
9
259
足题意，则a的最 小值为2．
20、已知关于x的方程
答案：a=6．
解答：去分母，得：ax+10=7x-3，
移项、合并同类项，得：（a-7）x=-13，
系数化成1得：x=-
∵x是正整数，
∴a-7=-1或-13，
∴a=6或-6，
又∵a是正整数，
∴a=6．
21、设m为整数，且关于x的一元一次方程（m-5）x-3=0．
（1）当m=2时，求方程的解．
（2）若该方程有整数解，求m的值．
157x3
ax+=
的解是正整数，求正整数a的值．
424
13
，
a7

答案：（1）x=-1．
（2）m=6，8，4，2．
解答：（1）当m=2时，方程即为-3x-3=0，
解得x=-1，
∴原方程的解为x=-1．
（2）∵方程有整数解，
∴m≠5，
∴x=
3
，
m5
由题知m-5为3的因数，
∴m-5=1，3，-1，-3，
∴m=6，8，4，2．
22、已知x=2m是方程
（1）求m的值．
（2）关于y的方程ay-m=y-4有正整数解，请求出所有符合题意的整数a的值．
（3）若ab=
2x7xm8
5x
-x+m-7=
的解．

36
4
mab
，求代数式
+
的值．
10a1b1
答案：（1）m=10．
（2）a=2，3，4，7．
（3）1．
2x7xm8
5x
-x+m-7=
，

36
4
4m7m8
10m
则
-2m+m-7=
，

36
4
5m4m7m8
-m-7=
，

236
解答：（1）将x=2m代入
同乘6，15m-6m-42=2（4m-7 ）-（m+8），
9m-42=8m-14-m-8，
9m-7m=42-22，
2m=20，
m=10．
（2）m=10代入ay-m=y-4得：ay-10= y-4，（a-1）y=6，y=
6
，
a1

∵y有正整数解，
∴a-1=1，2，3，6，
∴a=2，3，4，7．
（3）ab=1代入
abab
+=+
，
a1b1aabb1
=
a
b
+
，
a

1b

b1
1b
，
1b
=
=1．