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上海市中学生数学业余学校讲义


第十二讲 不定方程的整数解


【例题】
例1、求方程5x－9y=18整数解的通解.











例2、求方程
6x22y90
非负整数解.




















例3、 求方程
7x19y213
的所有正整数解.（练习：求方程
37x107y2 5
的整数解）


例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与
数.
1717
相邻且排在之前的一个
7676







例5、求方程
100x52y28z16
的整数解.

例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。如果一等
奖每人奖 5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。如果一等奖每人
奖6本，二等奖每人奖 4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数.






例7、求不定方程
29a30b31c2196
正整数解的组数.







【练习】
1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号）
① 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,
④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.

2、求方程5x+6y=100的正整数解.


3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？


4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0 分，小军同学
得48分，他最多答对几道题？
（答案：最多答对12题）


5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上 有
名的“百鸡问题”.









x0

（答案：

y25
或

z75





x4


y18
或

z78


x8


y11
或

z81


x12


y4
）

z84


上海市中学生数学业余学校讲义
第十二讲 不定方程的整数解（教师用）




我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它 的解往往是不确定
的。例如方程
x2y3
，或 方程组

2x3yz4
，它们的解都是不确定的。象这类的方程或方程组就称为不定方程或方程


5xy3z2
组。



如何求解整系数二元一次方程
axbyc
的整数解？
一、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程
axbyc
中，
若
a,b
的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程< br>axbyc
有
整数解，显然
a,b
互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整
数解。返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不
能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。
二、二元一次方程整数解的求法：
若方程
axbyc
有整数解，一般 都有无数多个，常引入整数t来表示它的通解（即所
有的解）。t叫做参变数。整数解的通解的表达方式 不是唯一的。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
111y1y10y1y
2y
(1) , =
555
1y
k(k
是整数） 设，则y=1-5k (2) ,
5
解：x=
把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是

方法二，公式法：



x11k2
（k是整数）

y15k
xx
0
设
axbyc
① 有整数解，其中
a, b
互质，且方程有一组整数解

，则通解
yy
0

是


xx
0
bt
其中
t
为整数

yy
0
at

证明：因为
x
0
,y
0
是方程①的整数解，当然满足
ax
0
by
0
c
②，因此
这表明
xx
0
bt
，
yy
0
at
也是方程①的解。

a(x
0
b t)b(y
0
at)ax
0
by
0
c
，
反过来，若
x',y'
是方程①的解，则有
ax'by'c
③，③-②得


a(x'x
0
)b(y'y
0
)< br>④，由于
(a,b)1
，所以
a|y'y
0
，即
y'y
0
at
，其中
t
为整数，
代入④得
x' x
0
bt
，因此
x',y'
都可以表示为
xx
0
bt
，
yy
0
a
的形式，所以

xx
0
bt
表示方程①的一切整数解。


y y
0
at
用公式法求解二元一次方程组的关键是找到一组特殊解。

例1、求方程5x－9y=18整数解的通解
解：特解
x
0
 0,y
0
2
，所以通解为


x9t
（t
为整数）

y25t
例2、求方程
6x22y90
非负整数解
解：因为
(6,22)2
，所以方程两边均除以2得
3x11y45< br>，特解

x411t
（
t
为整数）
x
0
4,y
0
3
，所以通解为


y 33t

x411t0
由

（
t
为整数） ，得
1t0


y33t0
当
t0
时，
x4,y3
；当
t1
时，
x15,y0

例3、求方程
7x19y213
的所有正整数解。




分析：这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况 我们可用逐步
缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解。

解：用方程
7x19y213
①的最小系数7除方程中的各项，并移项得


x
21319y3 5y35y
302yu
也是整数，于是有，因为
x,y
为整数，故
777
5y7u3
。再用5除以此式的两边得
y
37u32u
u

55

此时，由观察知
u1,y2
是方程的解。从而
x25
。于是方程① 有一组解

x2519t

x
0
25,y
0
2
，所以它的一切解为


y27t


由于
x,y
为正整数，所以
t0,1
，因此原方程的正整数解为< br>


x25
或


y2

x6



y9


（课内练习：求方程
37x107y25
的整数解）
（答案：
x8107t
，
y337t
，
t
为整数）
例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与
数。
解：设
1717
相邻且排在之前的一个
7676
qq
17
是与符合条件的 数，且

，其中
p,q,m,n
为正整数，则
17p76q0< br>，
pp
76
于是
17p76q1
，先考虑
17p 76q1
中满足
p99
且使
p
最大的正整数解。为此需
先找到它的一个特解
p9,q2
，于是不定方程的通解为
p976t,q 217t
，
t
为整
数。这时在条件
p99
下， p
最大为
85
，此时
q19
。另一方面
若
1 7p76q2
，则
17p17p76q

，可知，
76q76p


17p21111719


76q76p38p389976857685
所以在所给条件下，比

1719
小且最接近它的数为。
7685

例5、求方程
100x52y28z16
的整数解。
解：原方程化简为
25x13y7z4
，（1）


把方程①分为两个方程


25x13yu(2)

(3)

u7z4

对于方程（2），由观察得
25( u)132uu


于是方程（2）的解为


xu13t
1
（I）

y2u25t
1
对于方程（3），不难看出
1( 3)714

于是方程（3）的解为


u37t
2
（II）

y1t
2

x313t
1
7t
2

由（I）（II）消去
u
得

y625t1
14t
2
（
t
1
,t
2
为整数）

z1t
2


例6、某校举行数学竞赛，优胜者分 一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。如果一等
奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖 2本，就共奖了34本。如果一等奖每人
奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28 本，求获得各奖的人数。
解：设获得一、二、三等奖的人数分别为
x,y,z
人，于是 由题意有



5x3y2z34



6x4yz28
(1)

(2)
从（1），（2）中消去
z
，得
7x5y22
（3）


由观察可得
x1,y3
是方程（3）的一组特解，所以（3）的解为

x15u
（4），将（4）代入（2）得
z2u10
（5）


y37u
而
u0,z10
是方程（ 5）的一组特解，所以（5）的解为

x15t
z102t
< br>
，将代入（4），得
ut

y37t
（
t< br>为整数）


ut


z102t


< br>由于
x,y,z
都是正整数，所以
t
只能取0，于是得
x1 ,y3,z10
，
因此获得一、二、三等奖的人数分别为1人，3人，10人。

例7、求不定方程
29a30b31c2196
正整数解的组数。
解：将原方程变为


29(abc)(b2c)2196

31(abc)(2ab)2196
(1)

(2)
因为
a,b,c
是正整数，由方程（1）得
29(abc)2196(b 2c)

2196(121)2193
，所以
a bc75
18
（3）
29
由方程（2）得
31(a bc)2196(2ab)2196(211)2199


29
，
31
由（3）（4）得
abc71
或72或73或74或75

所以，
abc70


当
abc71
时，与原方程组合，解得
b52a,ca66,
由
b1
，得52a1
，
解得
a1
或2。此时原方程有2组正整数解。同理，当
abc72,73,74,75
时，分别
可得出原方程有17，33，24，1 0组正整数解。因此，原方程的正整数解共有
21733241086
组。


练习
1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号）
② 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,
④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.
2、求方程5x+6y=100的正整数解。
3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
4、一张试巻有20道 选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学
得48分，他最多答对几道题？
（答案：最多答对12题）
5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里 提出了一个世界数学史上有
名的“百鸡问题”。




x0

（答案：

y25
或

z75


x4


y18
或

z78


x8


y11 或

z81


x12


y4
）

z84
