幼儿营养食谱-四年级上册数学计算题

竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解

在数学课外活动中，在各类数学 竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它
将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结 合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备
受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：
从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；
从判别式手，运用判别 式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=
k
2
)，通过穷举，
逼近求 解；
从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因< br>数分解、因式分解求解；
从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．
注：一元二次方程的整数根问 题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知
识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等 整数知识密切相关．
【例题求解】
【例1】若关于
x
的方程
(6 k)(9k)x
2
(11715k)x540
的解都是整数，则符合条件 的整
数是的值有 个．
思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式， 因方程的类型未指明，故须按一次方
程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确． < br>注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根
据问题的题 设条件，看是否要分类讨论．
【例2】 已知
a
、
b
为质数且是 方程
x
2
13xc0
的根，那么
A．
1
B． C． D．
22222222
ba

的值是( )
ab
思路点拨 由韦达定理
a
、
b
的关系式，结合整数性 质求出
a
、
b
、
c
的值．
【例3】 试确定一切 有理数
r
，使得关于
x
的方程
rx
2
(r2) xr10
有根且只有整数根．
思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论． 当
r0
时，由根与系数关系得
到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先 求出方程两整数根．



【例4】 当
m
为整数时， 关于
x
的方程
(2m1)x
2
(2m1)x10
是否有有理根?如果有，
求出
m
的值；如果没有，请说明理由．
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设△=
(2m1)
2
4( 2m1)4m
2
4m5(2m1)
2
4n
2
(
n
为整数)解不定方程，讨论
m
的
存在性．
注：一元二次方程
ax
2
bxc0
(a≠0)而言，方程的 根为整数必为有理数，而△
=
b
2
4ac
为完全平方数是方程的根 为有理数的充要条件．

- 1 -

【例5】 若关于
x
的方程
ax
2
2(a3)x(a13)0
至少有一个整数 根，求非负整数
a
的值．
思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的
a
的两个关系式中消去
a
也较困难，又因
a
的次数低于
x
的次数，故可将原方程变形为关于
a
的一次方程．





学历训练

1．已知关于
x
的方程
(a1)x
2
2xa10
的根都是整数，那么符合条件的整 数
a
有 ．
2．已知方程
x
2
1999xm0
有两个质数解，则m＝ ．
3．给出四个命题：①整系数方程
ax
2
bxc0
(a≠ 0)中，若△为一个完全平方数，则方程
必有有理根；②整系数方程
ax
2
 bxc0
(a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方
数；③无理数系数方程
ax
2
bxc0
(a≠0)的根只能是无理数；④若
a
、< br>b
、
c
均为奇数，
则方程
ax
2
bxc 0
没有有理数根，其中真命题是 ．
4．已知关于
x
的一元二次方程
x
2
(2a1)xa
2
0
(
a
为整数)的两个实数根是
x
1
、
x
2
，
则
x
1
x
2
= ．
5．设rn为整数，且4x
2
2(2m3)x 4m
2
14m80
有两个整数根，求m的
值及方程的根





6．已知方程
ax
2
(3a< br>2
8a)x2a
2
13a150
(a≠0)至少有一个整数根，求
a
的值．





7．求使关于
x
的方程
kx
2
(k1)x k10
的根都是整数的
k
值．


- 2 -

8．当
n
为正整数时，关于
x
的方程
2x
2
8nx10xn
2
35n760
的两根均为质数，试解此
方程．




9．设关于x
的二次方程
(k
2
6k8)x
2
(2k
2
6k4)xk
2
4
的两根都是整数，试求满足条
件的所 有实数
k
的值．





10．试求所有这样的正整数
a
，使得方程
ax
2
2(2a 1)x4(a3)0
至少有一个整数解．




11．已知
p
为质数，使二次方程
x
2
2pxp
25p10
的两根都是整数，求出
p
的所有可
能值．





- 3 -


、
x
2

，且12．已知方程
x
2
bxc0
及
x
2
cxb0
分别各有两个整数根
x
1
、
x
2
及
x
1

x
2

>0．
x
1
x
2
>0，
x
1

<0,
x
2

< 0；(2 )求证：
b1cb1
；(3)求
b
、
c
所有可能的 值． (1)求证：
x
1
<0,
x
2
<0，
x1






13．如果直角三角形的两条 直角边都是整数，且是方程
mx
2
2xm10
的根(
m为整数)，
这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，
请说明理由．


参考答案
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