看中-团员个人小结

整数分拆之分类与计数



整数的加法拆分
加法拆分定义：
把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如3
错误!未找到 引用源。
1
错误!未找到引用源。
2），
或拆分成几个不相同的数的和，这类 题目统称为整数的拆分。
加法拆分目的：
拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。
要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。

【例1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。他们每人打了两发子弹。小兵共打中6环，小军
共打中5环。又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。你知道他俩打中的都是哪几
环吗？




【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱
靶现象)。强强两发共打了12环，明明两发共打了8环。又已知没有哪两发子弹打在同一环中，
请你推算一下他俩打中的是哪几环？
例1图

【例2】有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？






【巩固】将12拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。






【例3】有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？



【巩固】按下面的要求，把自然数6进行拆分。
⑴把6拆成几个自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？
⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？
⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？







【例4】按下面的要求，把15进行拆分。
⑴将15拆分成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同拆分方式，请一一列出。
⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出。

巩固图

【巩固】将15拆分成四个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。






【例5】有七个盘子，每个盘子中分 别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨。要从这些盘子
中取出15个梨，但要求每个盘子 中的梨要么都拿，要么都不拿。共有多少种不同的拿法？


【巩固】某个外星人来 到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7
分钱的一件商品，他 应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢，他又将如何
付款？





【例6】猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共 要摘10个，每只小猪至少摘2个，按照妈妈
的要求，现在小猪们要分配任务了，它们有多少种不同的分 配方法？






【巩固】体育课上，10个小朋友分成三组做游戏，一共有多少种不同的分组方法？




〖答案〗

【例1】 小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环

【巩固】明明打中的是6环和2环，强强打中的是8环和4环

【例2】 997

【巩固】 12
错误!未找到引用源。
1
错误!未 找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
9 12
错误!未找到引
用源。
1
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
8 12
错误!未找到引用源。
1
错误!未找到引用源。
4
错误!未找到 引用源。
7 12
错误!未找到引用源。
1
错误!未找到引用源。
5
错误!未找到引用源。
6
12
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
4
错误!未找到引用源。
5

错误!未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
3
错误!未找
到引用源。
7
错误!未找到引用源。
2
错误!未找到引用 源。
4
错误!未找到引用源。
6
共8种

【例3】 11
【巩固】 ⑴ 10种，⑵ 7种，⑶ 3种

【例4】⑴ 将15拆分成不大于9的三个不同的自然数
15
错误!未找到引用源。
9
错误!未找到引用源。
5
错误!未找到引用源。1 15
错误!未找到
引用源。
8
错误!未找到引用源。
6
错误!未找到引用源。
1 15
错误!未找到引用源。
7错误!未找到引用
源。
6
错误!未找到引用源。
2 15< br>错误!未找到引用源。
6
错误!未找到引用源。
5
错误!未找到引用源 。
4

错误!未找到引用源。
9
错误!未 找到引用源。
4
错误!未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
8
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5
错误!未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
7
错误!未找到引用源。
5
错误!未找到引用 源。
3

错误!未找 到引用源。
8
错误!未找到引用源。
4
错误!未找到引用源。
3
共8种
⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和
15
错误!未找到引用 源。
12
错误!未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
1 15< br>错误!未找到引用
15
错误!源。
11
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
1
未找到引用源。
10
错误!未找到引用 源。
4
错误!未找到引用源。
l 15
错误!未找到引用源。
9< br>错误!未找到引用源。
5
错误!未找
到引用源。
1 15
错误!未找到引用源。
8
错误!未找到引用源。

6
错误!未找 到引用源。
l 15
错误!未找到引用源。
7
错误!未
找到引用 源。
6
错误!未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
10< br>错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引
用源。
2
错 误!未找到引用源。
9
错误!未找
到引用源。
4
错误!未找到引用源 。
2
错误!
未找到引用源。
8
错误!未找到引用源。5
错误!
未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
7
错误!未找到引用源。
5
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引 用源。
8
错误!
未找到引用源。
4
错误!未找到引用源。
3
15
错误!未找到引用源。
6
错误!未找到引用源。
5
错误 !未找到引用源。
4
共12种

【巩固】 15
错误!未找到引用源。
1
错误!未找到引用源。
2< br>错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
9 15
错误!未找到引用源。
1
错误!未找到引用源。
3
错误!未 找到引用源。
4
错误!未找到引用源。
7
15
错误!未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用 源。
4
错误!未找到引用源。
6

错误 !未找到引用源。
1
错误!未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
4
错误!未找到引用源。
8
错误!未找到引用源。
1
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
5
错误!未找到引 用源。
6

错误!未找到引用源。
1
错误! 未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
5
错误!未找到引用源。
7
共6种拆分方法

【例5】 7种

【巩固】这道题目的实质是要求把7，9，10，13，14，15各数按1，2，4，8进行拆分。
7
错误!未找到引用源。
1
错误!未找到引用源。
2< br>错误!未找到引用源。
4
9
错误!未找到引用源。
1
错误!未找到引用源。
8

10
错误!未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
8
13
错误!未找到引用源。
1
错误!未找到引用源。
4
错误!未找到 引用源。
8
14
错误!未找到引用源。
2
错误!未找 到引用源。
4
错误!未找到引用源。
8
15
错误!未 找到引用源。
1
错误!未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
4< br>错误!未找到引用源。
8
外星人可按以上方式付款

【例6】 4种

【巩固】 8种


整数分拆之最值与应用



一、拆分的基础知识
整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形 式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、
平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原 理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。
二、拆分基本方法
1.题目要求拆质数且乘 积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后
乘积最大”原则。
2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大
应将数列 拆分成：a
错误!未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
3
错误! 未找到引用源。
4
错误!未
找到引用源。
…的形式，但是实际计算的时候会发 现一般不能拆成恰好相同，则：
⑴当多0时，将a拆成a错误!未找到引用源。2错误!未找到引用源 。3错误!未找到引用源。4错
误!未找到引用源。…错误!未找到引用源。 (n-1)

错误!未找到引用源。n；
⑵当多1时，将a拆成a
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
4
错误!未找到引用源。
5错
误!未找到引 用源。…错误!未找到引用源。 (n-1)

错误!未找到引用源。( n-1)；
⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。
例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？
2
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
4
错误!未找到引用源。< br>5
错误!未找到引用源。

6
错误!未找到引用源。
7< br>错误!未找到引用源。
8
错误!未找到引用源。
35
比30大5，故将5去掉
30被拆成2
错误!未找到引用源。
3
错 误!未找到引用源。
4
错误!未找到引用源。
6
错误!未
找到引用源 。
7
错误!未找到引用源。
8

【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？




【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？

【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。




【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。





【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。





【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。





【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。



【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有 种不同的做法，其中

面积最大的是哪一种长方形？


< br>【巩固】有长方形和正方形三块地。它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25 米。
这三块中哪一块地最大？面积是多少？




< br>【例5】把14拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何拆分？
这个最大的乘积是多少？




【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。





【例6】把72拆分成若干个互不相等的自然数之和，且使所有加数的乘积尽可能大，如何拆分？






【巩固】把1993拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？






〖答案〗

【例1】将15进行拆分，并计算乘积
15
错误!未找到引用源。
1
错误!未找到引用源。
14 1
错误!未找到引用源。
14
错误!未找到
引用源。
14

15
错误!未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。
13 2
错误!未找到引用源。
13
错误!未找到
引用源。
26
15
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
12 3
错误!未找到引用源。
12
错误!未找到
引用源。
36
15
错误!未找到引用源。
4
错误!未找到引用源。
11 4
错误!未找到引用源。
11
错误!未找到
引用源。
44
15
错误!未找到引用源。
5
错误!未找到引用源。
10 5
错误!未找到引用源。
10
错误!未找到
引用源。
50
15
错误!未找到引用源。
6
错误!未找到引用源。
9 6
错误!未找到引用源。
9
错误!未找到引
用源。
54
15
错误!未找到引用源。
7
错误!未找到引用源。
8 7
错误!未找到引用源。
8
错误!未找到引
用源。
56
15拆分成7和8的和，乘积最大，是56

【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时
有1
错误!未找到 引用源。
10，2
错误!未找到引用源。
9，3
错误!未找到引用源。
8，4
错误!未
找到引用源。
7，5
错误!未找到引用源。
6五种 方法
它们的乘积分别是：1
错误!未找到引用源。
10
错误!未找到引用源 。
10，2
错误!未找到引用源。
9
错误!未找到引用源。
18，3
错误!未找到引用源。
8
错误!未找到引用源。
24，4
错误!未找 到引
用源。
7
错误!未找到引用源。
28，5
错误!未找到引用源。
6
错误!未找到引用源。
30
显然，把11拆分成5
错误!未找到引用源。
6时
有最大的积5
错误!未找到引用源。
6
错误!未找到引用源。
30

【巩固2】把14拆分成两个自然数之和，共有7种不同的方式
若想乘积最大

14
错误!未找到引用源。
7
错误!未找 到引用源。
7，7
错误!未找到引用源。
7
错误!未找到引用
源。< br>49
因此，当把14拆分为两个7之和的时候，乘积(7
错误!未 找到引用源。
7
错误!未找到引用源。
49)最大

【例2】⑴由 例1的说明对于两个数可知，假设n
错误!未找到引用源。
a
错误!未找到引用源。< br>b (a≥b)
且a
错误!未找到引用源。
b＞1时，乘积a
错误!未 找到引用源。
b不是最大的。
换句话说，若n
错误!未找到引用源。
a
错误!未找到引用源。
b (a≥b)，当a、b两数相等或差
为1时，乘积a
错误!未找到引用源。
b取最大值 。
⑵那么对于三个数呢？
假设n
错误!未找到引用源。
a
错误! 未找到引用源。
b
错误!未找到引用源。
c (a≥b≥c)且a
错
误!未找到引用源。
c＞1时，乘积a
错误!未找到引用源。
b
错误!未找到 引用源。
c不是最大的。
若n
错误!未找到引用源。
a
错误!未找 到引用源。
b
错误!未找到引用源。
c (a≥b≥c)，当a、b、
c中的 任意两数相等或差为1时，乘积a
错误!未找到引用源。
b
错误!未找到引用源。c取最大值。
因为14
错误!未找到引用源。
3
错误! 未找到引用源。
4
错误!未找到引用源。
2，
由分析可知：当a
错 误!未找到引用源。
b
错误!未找到引用源。
5且c
错误!未找到引用源。< br>4时
乘积a
错误!未找到引用源。
b
错误!未找到引用源。
c
错误!未找到引用源。
5
错误!未找到引用源。
5
错误!未找到引 用源。
4
错误!未找到引用源。
100为最大值


【巩 固】利用上面的结论可知，若n
错误!未找到引用源。
a
错误!未找到引用源。
b
错误!未找到引用源。
c
(a≥b≥c)
当a、b、c中的任意两数 相等或差为1时，乘积a
错误!未找到引用源。
b
错误!未找到引用源。
c< br>取最大值
由分析可知：当a
错误!未找到引用源。
b
错误!未找到引 用源。
6且c
错误!未找到引用源。
7时
乘积a
错误!未找到引用 源。
b
错误!未找到引用源。
c
错误!未找到引用源。
6
错 误!未找到引用源。

6
错误!未找到引用源。
7
错误!未找到 引用源。
252为最大值

【例3】反复使用上述结论，可知要使拆分成的8个自然数的乘积最大
必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1
因为1999÷8
错误!未找到引用源 。
249…7，1999
错误!未找到引用源。
8
错误!未找到引用源。249
错误!未找到引用源。
7
由上述分析，拆法应是1个249，7个250
其乘积249
错误!未找到引用源。
250为最大

【巩固】利用例题3的结论：可知要使拆分成的6个自然数的乘积最大
必须使这6个数中的任意两数相等或差数为1
因为1553
错误!未找到引用源。< br>6
错误!未找到引用源。
258
错误!未找到引用源。
5
由上述分析，拆法应是1个258，5个259
其乘积258
错误!未找到引用源。
259为最大

【例4】36种，当长与宽都是36厘米时,面积最大

【巩固】边长是25的正方形的地面积最大，是625平方米

【例5】根据上面的讨论结果，我们应该把14拆分成四个3与一个2之和
即14
错 误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
2
这五数的积 有最大值3
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
3
错误! 未找到引用源。
3
错误!
未找到引用源。
2
错误!未找到引用源。< br>162

【巩固】⑴∵2001
错误!未找到引用源。
667错误!未找到引用源。
3
∴2001拆分成(667个3的和)时，其积最大
⑵∵1994
错误!未找到引用源。664
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
2
∴1994拆分成(664个3的和)
错误!未找到引用源。
2时，其积最大
⑶∵1993
错误!未找到引用源。
664
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
1
5
7

∴1993拆分成时，其积最大
错误!未找到引用源。
【例6】为使所有加数的乘积最大，显 然要使加数的个数尽可能多，每个加数尽可能小，但又不能是1，
所以应将72拆分成从2开始的若干个连续自然数。
因为：2
错误!未找到引用源 。
3
错误!未找到引用源。
4
错误!未找到引用源。
…
错误 !未找到引
用源。
11
错误!未找到引用源。
65＜72
2
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
4
错误!未找到引用源。< br>…
错误!未找到引
用源。
12
错误!未找到引用源。
77＞7 2

77
错误!未找到引用源。
72
错误!未找到引用源。
5，所以从加数中去掉5

即：48
错误!未找到引用源。
2
错误! 未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
4
错误!未找到引用
源。< br>6
错误!未找到引用源。
7
错误!未找到引用源。
8
错误!未 找到引用源。
9
错误!未找到引用源。
10
错误!
未找到引用源。< br>11
错误!未找到引用源。
12
最多可以拆成10项

【巩固】 2
错误!未找到引用源。
3
错误!未找到引用源。
…错误!未找到引用源。
21
错误!未找到引用源。
23
错误!未找到引用 源。
24
错误!
未找到引用源。
…
错误!未找到引用源。
6 3