见义勇为的意思-抑

整数的性质及应用（三） 质数和合数
一、质数和合数的有关性质和定理
1.1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数。2.若质数p|ab, 则必有p|a或p|b。
3.若正整数a, b 的积是质数p, 则必有a=p或b=p。
4.定理1.设a是一个大于1的正整数，则a的大于1的最小正因数p一定是质数。
5.定理2.若p是质数，则对任一整数a, 或者p|a, 或者（p, a）=1
6.定理3.质数有无穷多个。 7. 形如4n-1(n为正整数)的质数有无穷多个。
8.算术基本定理：任意一个大于1的整数N能分解成K个质因数的乘积，若不考虑质因数
之间的顺序， 则这种分解是唯一的，可以写成标准分解形式:
二、例题：
1.已知三个不同的质数a ,b,c满足
abca2000
, 求a+b+c的值。
2.若n是大于2的正 整数，求证：
21
与
21
中至多有一个是质数。
3.用正方形 的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm规格的地砖，恰用n块；
若选用边长为ycm规 格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x、y、n都是正整
数，且（x, y）=1. 试问这块地有多少平方米？
4.设a,b,c,d都是自然数，且
abcd
， 证明
abcd
一定是合数。
5.若n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数。
6.设自然数
n
1
n
2
，且有
n
1
n
2
79
，试求
n
1
与
n
2
的值。
7.n是不小于40的偶数，试证明：n总可以表示成两个奇合数的和。
8.若a,b,c是 1998的三个不同的质因数，且
abc
，则
(bc)
的值是多少？
9.四个质数的倒数之和是
a
22
b
nn
2222
1454
，则这四个质数之和是多少？
1995
10.有四个数，一个是最小的奇质 数，一个是偶质数，一个是小于30的最大质数，另一个
是大于70的最小质数，求它们的和。
11.p是质数，
p3
仍是质数，求
p3
的值。
45

12.已知质数p和q满足
3p5q31
，求
三、练习题 ：
p
的值。
3q1
1.有三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最 小的奇合数，另一个既不是质数，也不
是合数，求三个数的积。
2.有三个数，一个是偶质数 ，一个是大于50的最小质数，一个是100以内最大的质数，
求这三个数的和。
3.设m与n是两个大于2的质数，证明m+n是一个合数。
4.若p是一个质数，
p3
仍为质数，求证：
p3
也是一个质数。
5.设P>5，证明：若P和2P+1均为质数，则4P+1为合数。
6.若P与P+3都是质数，求P除以3所得的余数。（P>3）
7.若自然数
n< br>1
n
2
，且
n
1
n
2
2n< br>1
2n
2
19
，求
n
1
,n
2
的值。
8.有四个不同质因数的最小自然数是多少？
9.求200的正约数个数，并求它的所有质因数的和。
10.若
n4
5 45
22
23
545
4
，则n是质数还是合数？
11.若质数m, n满足5m+7n=129, 求m+n的值。
12.一个两位质数，将 它的十位数字与个位数字对调后仍是一个质数，我们称它为“无暇
质数”，则所有“无暇质数”之和是多 少？
13.机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和
的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大
数下去，求第1 992个数是多少？
14.证明有无穷多个n，使多项式
nn41
（1）表示合数 （2）为43的倍数。
15.已知正整数p ,q都是质数，且7p+q与pq+11也都是质数，试求
pq
的值。
16. 1 与0交替排列，组成下面形式的一串数：101，10101，1010101，101010101，…请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论。
qp
2

1 7.41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：
（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
（2）能否使这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由。