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方程整数解问题
姓名学号
1. 因式分解法
例1.

例2.

练习1.求方程
2xy54yx
的正整数解

2. 变量分离法
求方程
x
2
y
2
868
的正整数解
求方程
xyxy6
的整数解
4
是整数，则整数
a
的取值为
a1
4
若代数式是正整数，则整数
a
的取值为
a1
引例1.若代数式
例3.

练习2.已知方程
xy3x5y77
，
x，y
为整数，则满足条件得所有对（x，y）的组数为

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求方程
2(xy)xy7
的正整数解

3. 选取主元法（△法）
例4. 已知
a
2
x 2
(3a
2
8a)x2a
2
13a150
（其中
a
为非负整数）至少有一整数根，
则
a
=
変题1.若两个实根都是整数，则
a
=
変题2.若
a
是整数，则
a
=

例5. 设关于
x
的二次方程
(k
2
6k8)x
2
(2k
2
6k4)xk
2
4
的两根都是整数，求
满足条件的所有整数
k
的值。
変题1.若改整数
k
为实数，则
k
的值又如何。

例6. 设
m
为整数，且
4m40
，方程
x2(2m 3)x4m14m80
有两个整数
根，求
m
的值及方程的整数根。

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例7.

已知方程
x
2
(k3)xk
2
0
的根都是整数，求整数
k
的值及方程的根。
例8. 当 x
为何有理数时，代数式
9x23x2
的值恰为两个连续的正偶数的乘积。

例8. 求方程
2x
2
y
2
2xy4x300
的有理数解的个数
2
变题1.若改有理数解为正整数解，则解的个数有几个。

练习3.求
3x4xy3y35
的正整数解

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练习4.已知
k
为正整数，关于
x
的一元二次方程
x
2
x10k(k1)
有一个正整数根，求这
个正整数根及
k
的值

练习5.一直角三角形的两条直角边长为整数，且满足关于
x
的方程
x
2
(m2) x4m0
，
试求
m
的值及此直角三角形的三边的长。

练习6.当
m
时什么整数时，关于
x
的一元二次方程
mx6x90
与
2
x
2
4mx4m
2
4m50
的根都是整数。

练习7.求所有正整数
a
，使得方程
xax4a0
仅有整数根。

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2

三、韦达定理
例1.求满足下列条件且使关于
x
的方程
kx
2
(k1)x(k1)0
的根都是整数的
k 的值。
①
k
是整数
②
k
是实数

练习1.求整数
k
使得关于
x 的二次方程
(k1)x
2
(k5)xk0
的根都是整数。

练习2.试确定一切有理数
r
，使得关于
x
的方程
rx
2
(r2)x3r20
有根且只有整数
根。

四、分离参数法
例1.试求所有的正整数
a
，使方程
ax2(2 a1)x4(a3)0
至少有一个整数解。

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