整数性质的定理
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整 数 性 质 的 定 理
一、定义：
1、 若不为零的整数A
，除以整数B，商是整数，余数为零（A能被B整除）；则
称A是B的
倍数
；B是A的
约数
（或
因数
）。
2、
1是所有整数的
约数
；0是所有整数的
倍数
。
3、
若a是整数b, c
….的共同的约数，则称a是这些整数的
公约数
；若m是整数
p,
q,….的共同的倍数，则称m是这些整数的
公倍数
。 公约数一般不止一
个，其
中最大的称为
最大公约数
，简记为G.C.M。同样的，公倍数中最小的
称为
最小公倍数
，简记L.C.M。
4、
若两个整数的最大公约数是1，则称它们为
互质
。
二、
整数
的
约数、倍数、公约数、公倍数
的性质；按定理的形式列出：
（定理中的字母均表示整数）
定理1：若A是B的约数，B是C的约数；则A是C的约数。
定理2：M是任意整数，若A是B的约数，则A也是MB的约数。
定理3：M、N是任意的整数，若A是B、C的公约数，则A是MB±NC的约数。
定理4：若A除以B时，余数是R；则A和B的公约数与B和R的公约数是一致的。
三、
整数
的
最大公约数、最小公倍数
的性质；按定理的形式列出：
（定理中的字母均表示整数）
定理1：有两个整数A、B，设A≧B。
（i）
若A能被B整除，则B是A、B的最大公约数。
（ii） A不能被B整除时，设余数为R
1
；B除以R
1
时，设余数为R
2
；又
R
1
除以R
2
时，设余数为R
3
；如此不断计算下去，若R
n-1
能被下一
个余数R
n
整除；则最后一个余数R
n
就是A、B的最大
公约数。
（iii）
利用定理1求最大公约数的方法，称为欧几里得算法（碾转相除法）
定理2：两个数的公约数是最大公约数的约数。
定理3：两个整数各自除以它们的最大公约数，所得的商互质。
定理4：三个数的最大公约数，等于其中任意两个数的最大公约数与第三个数的最
大公约数。
定理5：设A、B的最大公约数为G，最小公倍数为L，A＝aG , B=bG 。则
L=abG=bA=aB ， AB=LG。
定理6：两个数的公倍数是最小公倍数的倍数。
定理7：三个数的最小公倍数，等于其中任意两个数的最小公倍数与第三个数的最
小公倍数。
定理8：设A、B是互质的自然数，则存在整数（可正、可负、可为零）x ,y 使
Ax-By=1 成立。
定理9：设两个自然数A、B的最大公约数是G，则存在整数（可正、可负、可为
零）x ,y
使 Ax-By=G 成立。
曦宸：
这是我帮你整理的几个定义和定理。以后会有用的。
关于整数的定理和你以
后要学到的“整式”的定理是相通的。这些
定理对进一步学习整数的性质有很大帮助。你如果有兴趣可以
看看《代
数学辞典》中的例题讲解。
爷爷
20141114日。