丰乐亭记-罗大佑经典歌曲歌词

第七讲 整数的分拆
1、整数的分拆：把一个整数n表示为若干个自然数 之和的形式，这通常叫
整数n的分拆。即
nn
1
n
2
 n
m
(
n
1
n
2
n
m1
)。对被加项和项数m
加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆。自然数的分拆 是古老而又十分
有趣的问题，著名的歌德巴赫猜想实际上是一个分拆问题。
其相关结论如下：
(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，
乘积最大，也就是 把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。
(2)一般的，把自然数m分成n个自然数的和，使 其乘积最大，则先把m进
行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n-r) 个p。
(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的
数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。
(4)把自然数分成若干个互不相等的整 数，则先把它表示成
2+3+4+5+…+r(r≤n)的形式，再把r一轮一轮的从后往前每个加1即 可。
(5)若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以
上连续自然 数之和的方法。
〖经典例题〗
例1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？
分析：要使8个自然数的乘 积最大，必须使这8个数中的任意两个数相等
或相差1.因为2006÷8=250……6，所以200 6=250×8+6，6不能单独存在，所
以将6分成6个1，并从后往前加在6个自然数中，
2006=250+250+251+251+251+251+251+251。
例2、把60分拆 成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这
个最大的质数是几？
分析：因为6 0÷10=6，可以初步判定尽可能小的最大的质数应从能否为7
考虑。60=7×8+2+2.所以最 大的数最小是7.
〖方法总结〗
本题用到了结论(2)，将2006写成8×p+r的形式 ，然后余下6，因此有6个
251和2个250.当有些特殊要求时，如例2，我们先估算出大致范围， 然后再利
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用结论求解。
〖巩固练习〗
练习1：把1999分拆成8个自然数之和，使其乘积最大。

练习2：把50分拆 成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么
这个最大的质数是几？

〖经典例题〗
例3、把1999分成若干个自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘
积是多少？ 分析：因为1999分成几个数的和的形式，分法有很多。我们无法具体判断，
所以我们可以采用抽 样研究的方法，找几个较小的数来研究一下具体的规律，如：
6=1+2+3=3+3=2+2+2我们 发现只有分成2个3此时的乘积最大，在如
7=1+2+3+1=2+2+2+1=3+3+1=3+4 =3+2+2
只有分成3+4或3+2+2时乘积最大，所以我们得到一个结论：那就是要使
乘积最大应尽可能的多分3，其次是2，1999=3×666+1=3+3+3+…+3+2+2(665个3)，所以该乘积为
3
665
2
2
。
例4、将3 5分拆成若干个互不相等的自然数之和，且使这些自然数的乘积
最大，该乘积是多少？
分析： 注意到与上题的区别，要求互不相等，应将35尽可能多的拆成几个
自然数和的形式，注意到1不能出现 ，因为1乘上任何数都等于原数，所以从2
开始，35=2+3+4+5+6+7+8.
〖方法总结〗
本题用到了结论(3)和(4)，当没有告诉我们是分成几个数的和，而且可以 相
等时，我们尽可能的拆成3，最多有两个2.这时的乘积最大。当要求不相等时，
则先把它表 示成2+3+4+5+…+r(r≤n)的形式，再把r一轮一轮的从后往前每个加
1即可。
〖巩固练习〗
练习1：把49分拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积最大应该
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怎样分拆？

练习2：将36分成若干个互不相等的自然数之和，且使这些数的乘积最大，
求乘积？

练习3：将2008分成若干个互不相等的自然数之和，且乘积最大？

〖经典例题〗
例5、电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播出几天？
分析：由于播出的天数尽可能多，而且是互不相等，每 天播出的集数应尽可
能的少，选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为
1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这
种情况， 就是把2分配到7天当中又没有与其他的几天播放的集数相同，于是
只能从后加：30=1+2+3+4 +5+6+9；
例6、把8个苹果分给3个小朋友有多少种不同的分法？(至少1个)。
分析：此题的本质是将8分解成3个数的和。顺序不同为不同的分法。按
分拆中最大的数分类：
(1)最大的数为6的：8=6+1+1；
(2)最大的数为5的：8=5+2+1；
(3)最大的数为4的：8=4+1+3=4+2+2；
(4)最大的数为3的：8=3+3 +2；然后利用排列组合的思想得到不同的分法。
3+6+3+6+3=21种。
方法2：我们还可以直接从排列组合的思想考虑：
8=1+1+1+1+1+1+1+1,每 次确定7个加号中的两个加号，并把他们所分成的
2
三部分的1分别相加，就得到
C< br>7
21
种分法。
例7、有30个2分硬币和8个5分硬币，用这些硬币能构 成的1分到1元
之间的币值有多少种？
分析：直接考虑能构成多少种币值较麻烦，可以先考虑不能构成哪些币值。
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不能构成1分和3分的币值，同时100-1=9 9分和100-3=97分也不能构成，共
4种，所以能构成1分到1元之间的币值是96种。
〖方法总结〗
这三个题是整数分拆的一个实际应用，我们先转化为前面学过的语言，然后
利用 结论解题。必要时我们可以分类讨论。
〖巩固练习〗
练习1：一个自然数可以分拆成9个自 然数之和，也可以拆成10个自然数
之和，还可以拆成11个自然数之和。这个自然数最小是几？

练习2：有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张，问这些
纸币的 总面值是否恰好为100元？

练习3：有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有 若干张，问这些
纸币的总面值是否恰好为100元？

〖经典例题〗
例8、自然数2000能否拆成若干个连续自然数之和？如能，有几种？
分析：如果2000 能拆成若干个连续自然数之和，那么只需解决这些自然数
共有几个、最小的一个是几这两个问题，就可以 找出相应的拆法。设2000可以
拆成n个连续自然数之和，最小的是a。则
2000=a+( a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=n×a+1+2+…(n-1)= n×a+
4000=2×n×a+n(n-1)=n(2a+n-1).
1
n(n-1)，
2
观察上式：n与2a+n-1的奇偶性相反。n<2a +n-1。4000=
2
5
5
3
，除1外

n 5
它的奇因数是5、25、125三个，相应的则有：

，

2a n1800

n25

n32
，

。

2an11602an1125


n5

n25

n32
解得：

，

，

。所以有三种分法。

a398

a68

a47
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例9、396拆成若干个连续自然数的和的形式，试问有多少种不同的方法？
分析：连续的自 然数的个数可能是奇数，可能是偶数。奇数个连续的自然数
的和：中间数×项数，可以表达为：奇数×某 个数。
偶数个连续的自然数的和：中间数两个数的和×自然数的个数÷2，也可以表
示成奇数 ×某个数。所以说：某个自然数有多少个奇约数，那么这个自然数表达
为若干个连续自然数和的形式就有 多少种。
396=
2
2
3
2
11
，有(2+ 1)×(1+1)=6个奇约数。因此有6种不同的方法：
①396=396；
②396=131+132+133；
③396=40+41+42+43+44+45+46+47+48；
④396=46+47+48+49+50+51+52+53；
⑤396=31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41；
⑥39 6=5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22 +23
+24+25+26+27+28；
〖方法总结〗
这两个题用到了结论( 5)以及等差数列的知识。如果让我们拆成若干个连续
的数的和，我们可以先设出末项，再代入求和公式 ，和题目形成一个等式，然后
讨论。如果要求多种不同的分法，我们需要用到等差数列求和公式的两种不 同情
况下的公式：
①当项数为奇数时，和=中间数×项数；
②当项数为偶数时，和=中间两个数的和×项数的一半。
〖巩固练习〗
练习1：是否有若干个连续自然数，他们的和恰好等于64？

练习2：把34分拆成若干个连续自然数之和有多少种分法？

〖经典例题〗 例10、百货店要将1000枚铁钉包成10包，每包数量互不相等。如果顾客
来买不超过1000 枚的任意个数的铁钉，都要能从这10包中适当选取而不用拆
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包，能否做到？若能，请给出一种包装方法。 < br>分析：
(1000)
10
(1111101000)
2
用< br>(1000000000)
2
,(100000000)
2
,
，
(10000000)
2
,

(1000000)
2,(100000)
2
,(10000)
2
,(1000)
2< br>,(100)
2
,(10)
2
,(1)
2
.
共10个袋子所以每
包装1枚，2枚，4枚，8枚，16枚，32枚，64枚，128枚，256枚，4 89枚。
例11、要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，
至少要 用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？
分析：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。
(1)称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。
(2)称重2克，有3种方案：①增加一个1克的砝码；②用一个2克的砝码；
③用一个3克 的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克
的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利 用3-1=2。
(3)称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。 (4)称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。
总之，用1克、3克两 个砝码就可以称出(3+1)克以内的任意整数克重。
(5)接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时 可以利用9-(3+1)=5，即用一个
9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内 。这样，可以依
次称到1+3+9=13(克)以内的任意整数克重。而要称14克时，按上述规律增加 一
个砝码，其重为14+13=27(克)，可以称到1+3+9+27=40(克)以内的任意整数克
重。总之，砝码的重量为1，3，3
2
，3
3
克时，所用砝码最少， 称重最大，这也
是本题的答案。
这个结论显然可以推广，当天平两端都可放砝码时，使用1， 3，
3
2
,

,3
n1
1
克砝码可以 称出1，2，3，…，
3
n1
克重的重量。这是使用砝码最少、称重最
2
大的砝码重量设计方案。
〖方法总结〗
本题用到了二进制和三进制，如：x=a
9
a
8
a
7
a
6
a
5a
4
a
3
a
2
a
1
a
0，每个
a
i
或0或1
表示2克砝码或不用或用上.如把问题再简化一些， 如只许用3个砝码，就制成
1克、2克、4克.可称1、2、…7克的任何整克数物体，或说要称1、2 、…7
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克之间任一物体，3个砝码是最少的了。因为1克 必然要的.2克，如不要，再造
一个1克砝码，这样用二个1克砝码，仅能称1克、2克共2种物体，效 率不高.
所以造一个1克，一个2克，这样可以称1、2、3克三种物体了.下一个不必造
3克 的砝码，而造了一个4克的砝码，所以1克、2克、4克是最省个数的体系
了.十个砝码最省的推理也相 似.
研究表明，要保存数码最经济的进位制是三进制.可惜现在物理器件较成熟
的还是支持两 种状态的二进制。
〖巩固练习〗
练习1：班主任老师外出采购前将255元班费分装在几个 袋子中，只要买
255元以内的东西，他都可以从事先准备好的袋子中凑出所要付的钱数，而不必
要再数钱数，你知道班主任装在几个袋子里吗，每个袋子各放了多少元？



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