整数与偶数
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整数与偶数
如果我问你：“整数与偶数，哪一种数多？”恐怕不少同学都会说：“当然整数比偶数多
了．
”进一步，恐怕还会有同学告诉我：“偶数的个数等于整数个数的一半！”什么道理呢？
那是因为“奇数
与偶数合起来就是整数．而奇数与偶数是相间排列的，所以奇数与偶数一样
多，大家都是整数的一半．”
“整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全量大于部分，整数比偶数多这不是显而易见、
再明白不过的事吗？”
你认为这样回答有道理吗？
这真是不成问题的问题！可是，且慢，往往就在这种最不成问题的问题上出了问题．
比如，我们要比较两个班级的人数的多少，该怎么办呢？通常有两种办法：
1．分别数出这两个班的人数，然后比较两个班人数的多少．
2．让两个班同学分别排成一路纵队，让两班排第一的两人牵起手来，排第二的两人也
牵起手
来，…，以后的同学依次对应牵起手来．最后，如果某班所有的同学都与另
一班的同学牵起了手，而另一
班还有同学未与某班同学牵手，则某班同学比另一班
人数少．
现在我们再来看整数与偶数的多少问题吧！
你能数出整数有多少个？偶数有多少个来吗？由于整数与偶数都有无穷多个，当然
我们都不能数出它们的个数．
所以，用第一种办法来比较整数与偶数的多少是行不通的．
现在来考虑第二种办法，我们可以把整数排成一队：0，－1，1，－2，2，－3，3，…，
－n，n，…．然后再把偶数也排成一队：0，－2，2，－4，4，－6，6，…，－2n，2n，…． <
br>这样排好之后，所有的整数都排进了第一队中，所有的偶数都排进第二队中．现在让第一队
中的0
与第二队中的0“牵起手”来（即对应起来），第一队中的－1与第二队中的－2对应；
第一队中的1与
第二队中的2对应；……，第一队中的－n与第二队中的－2n对应；第一队
中的n与第二队中的2n对
应，……你看，这么一个对一个地“牵好手”（即建立起“一一对
应关系”之后），我们马上可以发现，
第一队中的每个数都与第二队中的某个数对应，而第
二队的每个数都与第一队的某个数对应，两个队伍都
没有任何一数剩下来，既然如此，你能
说整数比偶数多吗？看来不能．这就是说：整数与偶数同样多！
这真似乎有悖常理了，部分竟然等于全体！但这确是事实！这告诉我们，“无穷”是不
能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质对“无穷”却未必成立．
著名的数学家康托（Cantor，1829~1920）首先想通了这个问题．著名数学家
希尔伯特
则讲了下面一个例子：一家旅馆有无穷多间房间．某天，所有房间都客满了，这时又来了一<
br>位旅客，“没问题！”老板说，他马上请一号房的客人移到二号房，二号房的客人移至三号房，
三
号房的客人移至四号房，等等．由于房间有无限多，自然所有的老客总有房住而新客也都
住进去了．而如
果有无穷多位客人来怎么办呢？老板只要请一号房的客人移到二号房，二号
房的客人移至四号房，三号房
的客人移至六号房，等等，这时，所有单号房间都腾出来让新
来的无穷多位客人住进去了．
按照康托建立的法则，我们可以比较任何两个无穷集合的数目的多少，而且可以得出许
多惊人的结论．这里就不一一列举这些奇妙的结论了．