二八佳人体如酥-汉语拼音方案

充分条件与必要条件教材点拨
一、充分条件
命题的条件和结论是构成命题的 两个部分，并且条件和结论可以互相转化。
当一个命题为假命题时，可以说条件不能推出结论；而当命题 为真命题时，可以
说由此条件能推出结论。所以一个命题从条件和结论的角度看，
条件与结论有 着一定的关系，即：由条件能否推出结论？如果
由命题的条件能推出结论，那么命题就是真命题，此时条 件就
叫结论的充分条件。
物理模型的直观解释：如图1-2-1 电路图，当开关A闭合时，灯泡B亮，而当灯泡B亮时，开关A却不一定是闭合的；即要使灯泡B亮，
只要开关A闭合着一 个条件就够了，我们就称“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分条
件。
一般地，“若
p
，则
q
”是一个真命题，是指由
p
通过推理可以得出
q< br>，即由
p
可推出
q
，记作
pq
，那么，就称条件< br>p
是结论
q
的充分条件（sufficient
condition）。
“若
q
，则
p
”是一个真命题， 是指由
q
通过推理可以得出
p
，即由
q
可推出
p< br>，
记作
qp
，那么，就称
q
是
p
的充分条 件（sufficient condition）。
例如：①
x1x
2< br>1
，那么，“
x1
”是“
x
2
1
” 成立的充分条件；
②
a2a
2
4
，那么，“
a2< br>”是“
a
2
4
”成立的充分条件；③三边对应相等的两
个三 角形全等：“三边对应相等”是“两个三角形全等”的充分条件；④“
m1
”是函数
A
C
图1-1
B
×
y(m
2
3m3)x
2m
为幂函数的充分条件；
警 示：充分条件就是某一个结论成立应该具备的条件，当命题具备此条件时，
就可以得出此结论，或者要是 此结论成立，只要具备此条件就够了，而当命题不
具备此条件时，结论也有可能成立。例如，当
x4
时，
x
2
16
成立，但是，当x4
时，
x
2
16
也可以成立，即
x4
时，
x
216
也成立，所以，
x4
是
x
2
16
成 立
的充分条件，
x4
也是
x
2
16
成立的充 分条件。

【例】仿照示例改写下列命题，并判断条件是否为充分条件：
示例 ：若
x1
，则
x
2
1
，可以改写成：
x1 x
2
1
；是充分条件；
（1）个位数字是0的自然数能被5整除；
（2）对角线相等的四边形是矩形；
（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行； （4）若定义域为
R
的函数
f(x)
为奇函数，则
f(0)0

解：（1）个位数字是0的自然数

这个自然数能被5整除；是充分条件；
（2）四边形的对角线相等

这个四边形是矩形；不是充分条件；
（3）两条直线与同一平面所成的角相等

这两条直线平行；不是充分条件；
（4）定义域为
R
的函数
f(x)
为奇函数

f(0) 0
；是充分条件。
点拨:本例还是练习命题的条件和结论，同时判断此命题的真假，由命题的 真
假可以判断条件是否为充分条件，当命题为真时，条件是充分条件；当命题为假
时，条件不是 充分条件。
针对性练习：
下列各题中，哪些
p
是
q
的充分条件：
（1）
p
：
n0,
且
1
1
，
q
：
n 1
；
n
（2）
p
：
xy5
，
q：
x
2
y
2
3x7y10
；
（3）
p
：
ab0
，
q
：
a
2
b
2
0
；
（4）
p
：直线
l
1
∥平面

，
l
2

平面

，
q< br>：
l
1
∥
l
2
。
解：（1）
p< br>是
q
的充分条件；（2）
p
是
q
的充分条件；（3）
p
不是
q
的充分
条件；（4）
p
不是
q< br>的充分条件；
点拨：可以用两种方法判断：（一）判断命题的真假，如（4）是命题如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都平行，是
假命题；
（二）由
pq
：（1）因为
（2）由
xy5
1
1< br>且
n0,
所以1n，即n1；
n
得：
y5x代入
x
2
y
2
3x7y
得：

x
2
(5x)
2
3x7(5x)10
=右边； < br>（3）观察
a
2
b
2
(ab)(ab)
，式 子的正负是由
ab
和
ab
两个式子的符号
确定的，不能由一个式 子
ab
的符号确定。

二、必要条件
如图1-2 电路图，当开关A闭合时，灯泡B不一定亮，但是
图1-2
A
C
B
×
当开关A不闭合时，灯泡B一定不亮；当灯泡B亮时，可以知道开关A一定是闭合的；所以要使灯泡B亮，开关A必须是闭合的，我们称开关A闭合是灯泡B亮的必要条件。
一般地，“ 若
p
，则
q
”是一个真命题，是指由
p
通过推理可以得出< br>q
，即由
p
可推出
q
，记作“
pq
”那么 ，结论
q
是条件
p
的必要条件（necessary condition）。
“若
q
，则
p
”是一个真命题，是指由< br>q
通过推理可以得出
p
，即由
q
可推出
p
，
记作“
qp
”，那么，就称
p
是
q
的必要条件（ necessary condition）。
警示：由必要条件的定义可以看出，必要条 件与充分条件是一个真命题的两
种说法：①真命题的条件是充分条件，②真命题的结论是条件的必要条件 ，即如
果此结论不成立，那么条件也就不成立。
假命题的条件不是命题结论成立的充 分条件，但是有可能是必要条件，例如，
命题：“若
p
：
x
2
3
，则
q
：
x3
”是假命题，
p
不是q
的充分条件；由
qp
，
所以
p
是
q
的必要条件。
【例】已知命题“若
p
：
m1
，则q
：
x
2
xm0
无实数根”，试判断
p
是
q
的什么条件？
q
是
p
的什么条件？
解： < br>p
是
q
的充分条件，不是必要条件，
q
是
p
的必要条件，不是充分条件。
1
点拨：方法（一）方程
x
2
xm0
无实数根，所以
m
，所以当
m1
时，
4
方程
x
2
xm0
无实数根，
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件，又因为由
1
m
不能推出
m1
，所以由
q
不能推出
p
，
q
不是
p
的充分条件，
p
不是
q
的
4
必要条件。

方法（二）命题“
p
：
m1< br>，
q
：
x
2
xm0
无实数根”等价于“
p
：
m1
，
q
：
1
11
m”，因为
(,1)Ø(,)
，所以命题“若
p
：
m 1
，则
q
：
m
”为
4
44
1真命题，命题“若
q
：
m
，则
p
：
m 1
”是假命题，由命题的真假来判断充
4
分条件和必要条件。
针对性练习：
判断下列各命题中，
p
是
q
的什么条件？
q
是p
的什么条件？
（1）
p
：
x0,y0
，
q
：
xy0
；
（2）
p
：
x4
，
q
：
x4
；
（3）
p
：
m2< br>，
q
：直线
(2m)xmy30
与直线
xmy3 0
互相垂直；
（4）
p
：
x2
或
x3
，
q
：
x33x

解：（1）
p
是
q
的充分条件，不是必要条件，
q
是
p
必要条件，不是充分条件；
（2）
p
是
q
的必要条件，不是充分条件，
q
是< br>p
充分条件，不是必要条件；
（3）
p
是
q
的充分 条件，不是必要条件，
q
是
p
必要条件，不是充分条件；
（4）< br>p
是
q
的必要条件，不是充分条件，
q
是
p
充分条件，不是必要条件；
点拨：（1）（2）根据不等式的性质可以判断；（3）（4）验证法和直接推导相
结合。

三、充要条件
利用下列电路图，我么可以形象的理解充分条件、必要条件、充要条件： 如图1-3的四个电路图甲、乙、丙、丁，开关为A，C，灯泡为B，将“开关的闭合”
作为条件， “灯泡亮”作为结论





甲
乙
图1-3
丙
丁
B
×
A
C
B
×
B
×
A
C
B
×

图乙中，开关A闭合时，灯泡B不一定亮，即由开关A闭合，不能推出灯泡< br>B亮，但是当灯泡B亮时，开关A一定是闭合的，即由灯泡B亮，一定能推知开
关A闭合，我们称 “开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；
图丁中，“开关A闭合”不能推知“灯泡B亮”， 即由开关A闭合，不能推出灯泡
B亮，而当灯泡B亮时，也不能确定开关A是否闭合，即由灯泡B亮，也 不能推
知开关A闭合，所以，我们称“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件。
图甲，请同学们画出开关A，C，，使得当开关A闭合时，灯泡B亮，而当灯
泡B亮时，开关A不一定 闭合，即由开关A闭合，能推知灯泡B亮，由灯泡B亮，
推知开关A不一定是闭合，此时称“开关A闭合 ”是“灯泡B亮”的充分也不必要条件；
图丙，请同学们画出开关A，使得开关A闭合，则灯泡B亮； 灯泡B亮时，
开关A闭合，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分必要条件，简称为充要条件。 再如，已知
p
：数列
{a
n
}
是等差数列，
q
：对任意的
nN*
，有
a
n1
a
n
d
（常
数）。我们知道，由
pq
，且
qp
，所以p
既是
q
的充分条件，又是
q
的必要
条件；我们就称< br>p
是
q
的充分必要条件，简称充要条件。我们还可以发现，
q
既是
p
的充分条件，又是
p
必要条件，所以
q
也是
p
的充要条件。
一般地，如果既有
pq
，又有
qp
，就记作：
pq

此时，我们说，
p
是
q
的充分必要条件，简称充要条件（suffi cient and necessary
condition）,显然，如果
p
是
q
的充要条件，那么
q
也是
p
的充要条件。
概括地说，如果
pq
，那么
p
与
q
互为充要条件。

引申与思考：（1）命题成立的条件一共可以分为四种条件：①充分不必要条
件，即
pq
但是
qp
；②必要不充分条件：
qp
但是pq
；③充要条件：
pq
且
qp
；④既不充分也不必要 的条件：即
pq
且
qp
。
（2）充要条件的意义是：p
是
q
的充要条件就是“有
p
，则
q
必成立； 无
p
，

则
q
必不成立”，简记为“有之必有果，无之 则无果”。
（3）判断四种条件的步骤是：第一步，分清条件是什么，结论是什么；第二
步， 尝试用条件推结论（证明充分性），再尝试用结论（作为条件）去推条件（证
明必要性）。其中列举反例 法是得出不具有充分性和必要性的重要方法。第三步，
得出条件是结论的什么条件。
（4）图甲，将两个开关A，C并联后与灯泡B串联；图丙，
【例】判断下列条件，
p
是
q
的什么条件？
（1）△ABC
中，Ｍ是
AB
的中点，
p
：
C90
，
q
：
AMBMCM

（2）
p
：若函数yax
2
bx
过原点，
q
：
aR,bR

（3）
p
：
ab
，
q
：直线
y x2
与圆
(xa)
2
(yb)
2
2
相切
（4）已知
a,b,c
为在同一平面内的非零向量。
p
：
a bac
，
q
：
bc

解：（1）（2）的
p
是
q
的充要条件；（3）
p
是
q
的充分不必要条件 ；（4）
p
是
q
的必要不充分条件，
点拨：（1）（2）需要判断充分性和必要性，分两步来证明。
22
a2,b2yx2
(xa)(yb)2
也相切； （ 3）当时，直线与圆
（4）需要熟练的向量知识，因为
ababcosa,b,aca ccosa,c
，
,baccosa,cbcosa,bccosa ,c
所以
abacabcosa
，
所以只要
b,c
在
a
上的投影相等，不一定有
bc
，例如
bc
，而ab,ac
，仍有
abac
。当
bc
时，
a ,b
与
a,c
相等，
bc
，所以有
abac。
针对性练习：
下列命题中：
（１）△
ABC
中，< br>CDAB
，垂足为Ｄ，
p
：
CD
2
ADBD，
q
：
C90
，
则
p
是
q
的充要条件；
（2）“
ab
”是“
a
2
b
2
”的必要条件；

（3）“
ab
”是“
ac2
bc
2
”的充要条件；
（4）“
ab
”是“< br>acbc
”的充要条件；真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：Ｂ
点拨：命题（1）为平面几何题，（4）是不等式的性质，从 充分性和必要性两
个方面易验证。（2）掌握了不等式的性质可以判断；熟练了实数的运算结果也可以判断，例如，
21(2)
2
(1)
2
，0
2
(1)
2
01
，所以是既不充分也
不 必要条件；
（3）
abac
2
bc
2
，例如，< br>c
2
0
时，有
ac
2
bc
2
 0
，反之，
ac
2
bc
2
ab
，因为由ac
2
bc
2
得：
c
2
0
，所以
c
2
0
，是必要不充分条件。