美国电影返老还童-白毛女歌剧

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中考专题一 平行线与三角形
知识点回顾：
（一）平行线
1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2. 判定：
（1） 同位角相等，两直线平行。
（2） 内错角相等，两直线平行。
（3） 同旁内角相等，两直线平行。
（4） 垂直于同一直线的两直线平行。
3. 性质：
(1) 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
(2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
(3) 两直线平行，同位角相等。
(4) 两直线平行，内错角相等。
(5) 两直线平行，同旁内角互补。
（二）三角形
4. 一般三角形的性质
(1) 角与角的关系：
三个内角的和等于180°；
一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。
(2) 边与边的关系：
三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
(3) 边与角的大小对应关系：
在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。
(4) 三角形的主要线段的性质(见下表)：

名称
角平分线
中线
高
边的垂直平分线
中位线
基本性质
① 三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边
距离相等；
② 角平分线上任一点到角的两边距离相等。
三角形的三条中线相交于一点。
三角形的三条高相交于一点。
三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）；
外心到三角形三个顶点的距离相等。
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
5. 几种特殊三角形的特殊性质
(1) 等腰三角形的特殊性质：
①等腰三角形的两个底角相等；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同 一条线段，这条线段所在
的直线是等腰三角形的对称轴。
(2) 等边三角形的特殊性质：
①等边三角形每个内角都等于60°；
②等边三角形外心、内心合一。
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(3) 直角三角形的特殊性质：
①直角三角形的两个锐角互为余角；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③ 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和
（其逆命题也成立）；
④ 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；
⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
6. 三角形的面积
1
a h（ h 是a边上的高 ）
2
11
(2) 直角三角形：S

△
= a b = c h（a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的高）
22
(1) 一般三角形：S

△
=
(3) 等边三角形： S

△
=
3
2
a（ a是边长 ）
4
(4) 等底等高的三角形面积相 等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的
三角形的面积的比等于它们的相应的底的比 。
7. 相似三角形
(1) 相似三角形的判别方法：
① 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；
② 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个
三角形相似；
③ 如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
(2) 相似三角形的性质：
① 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；
② 相似三角形的周长比等于相似比；
③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 全等三角形
两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的
对应线段也相等。
判定两个三角形全等的公理或定理：
①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS；
②直角三角形还有HL
专题训练：
一、选择题：
1． 如图，若AB∥CD，∠C = 60º，则∠A＋∠E＝（ ）
A．20º B．30º C．40º D．60º
2． 如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（ ）
A．AB∥CD B．AD∥BC C．∠B=∠D D．∠3=∠4
3． 如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是（ ）
A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 不能确定

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4、如图，下列判断正确的是（ ）
A．∠1和∠5是同位角； B．∠2和∠6是同位角；
C．∠3和∠5是内错角； D．∠3和∠6是内错角．
5下列命题正确的是（ ）
A．两直线与第三条直线相交，同位角相等；
B．两直线与第三条直线相交，内错角相等；
C．两直线平行，内错角相等；
D．两直线平行，同旁内角相等。
6如图，若AB∥CD，则（ ）
A．∠1 = ∠4 B．∠3 = ∠5
C．∠4 = ∠5 D．∠3 = ∠4
7如图， l
1
∥l
2
，则α= （ ）
A．50° B．80°
C．85° D．95°
8下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm
C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm
9等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A.150° B.80° C.50°或80° D.70°
10如图，点D、E、F是线段BC的四等分点，点A在BC外，
连接AB、AD、AE、AF、AC，若AB = AC，则图中的全等三角形
共有（ ）对
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11三角形的三边分别为 a、b、c，下列哪个三角形是直角三角形？（ ）
A. a = 3，b = 2，c = 4 B. a = 15，b = 12，c = 9
C. a = 9，b = 8，c = 11 D. a = 7，b = 7，c = 4
12如图，△AED ∽ △ABC，AD = 4cm，AE = 3cm，
AC = 8cm，那么这两个三角形的相似比是（ ）
A
E
D
B
C
313
A． B． C． D．2
428
13下列结论中，不正确的是（ ）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
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B．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；
C．各有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；
D．各有一个角等于60°的两个等腰三角形相似。
二、填空题：
1如图，直线a∥b，若∠1 = 50°，
则∠2 = 。
2、如图，AB∥CD，∠1 = 40°，
则∠2 = 。
3、如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，
若∠ADE = 80°，则∠1 = .
4． 如图， l
1
∥l
2
，∠1 = 105°，∠2 = 140°，
则∠α = ．
5． △ABC中，BC = 12cm，BC边上的高AD = 6cm，则△ABC的面积为 。
6． 如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，那么x的取值范围是 。
7． 在△ABC中，AB = AC，∠A = 80°，则∠B = ，∠C = 。
8． 在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4cm，则AB = 。
9． 已知直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边上的中线长是 。
10． 等腰直角三角形的斜边为2，则它的面积是 。
11． 在Rt△ABC中，其中两条边的长分别是3和4，则这个三角形的面积等于 。
12． 已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为 。
13． 等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则它的顶角度数为 。
14． 如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子
测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他
想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的
点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长
为15m，则A、B两点间的距离为__________.
15． 如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，
∠B=∠E．要使△ABC≌△DEF，需要补充的
是一个条件： 。
．．

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16． 太阳光下，某建筑物在地面上的影长为36m，同时
量得高为1.2m的测杆影长为2m，那么该建筑物的高为 。
三、解答题：
17． 如图，已知△ABC中，AB = AC，AE = AF，D是BC的中点
求证： ∠1 = ∠2



18． 如图，已知D是BC的中点，BE⊥AE于E，CF⊥AE于F
求证：BE = CF


19． 如图，CE平分∠ACB且CE⊥BD，∠DAB =∠DBA，AC = 18，△CDB的周长是28。
求BD的长。



20． 已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝EC，
求证：AB＝AC


B
D
E
C
A
21． *一 条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔
50m有一根电线杆，在 此岸离岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸
的两棵树遮住，并且这两棵树之间还 有三棵树。
(1) 根据题意，画出示意图；
(2) 求河宽。




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中考专题二 四边形及平移旋转对称
知识点回顾：
1、
矩形
四
边
形
平行四边形
菱形
梯形< br>正方形

2、
一组对边平行
四边形
一组对边不平行
有一个角是直角
梯形
两腰相等
直角梯形
等腰梯形

3、 < br>图
形
之
间
的
变
换
关
系
轴对 称
连结对应点的线段平行(或在同
一直线上)且相等,对应线段平
行(或在同一直线上 )且相等
对应点与旋转中心的距离不变;
每一点都绕旋转中心旋转了同
样大小的角度< br>旋转对称
中心对称
平移
旋转
在轴对称、平移、旋转这些图形变换中,< br>线段的长度不变,角的大小不变;图形的
形状、大小不变

专题训练：
一、选择题：
1. 一个内角和是外角和的2倍的多边形是 边形.
2. 有以下四个命题:
(1)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(2)两条对角线相等的四边形是菱形.
(3)两条对角线互相垂直的四边形是正方形.
(4)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形,其中正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3．下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对角相等 B．对角线互相平分 C．一组对边相等 D．对角线互相垂直
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4．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点的平行四边形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 如图,
□
ABCD中,∠C=108°,BE平分∠ABC,则∠ABE等于( )
A.18° B.36° C.72° D.108°

6、下列说法中，正确的是（ ）
A 、等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形．
B
B 、正方形的对角线互相垂直平分且相等
C 、矩形是轴对称图形且有四条对称轴
D 、菱形的对角线相等
7、如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）
A．
12180
B．
23180

C．
34180
D．
24180


8、在平行四边形ABCD中，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则
E F

B110
，
（ ）
（A）
110
（B）
30

_

E
（C）
50
（D）
70

_

A
_

F
D_

_

C
00
00
A
E
D
C
_

B

9、如图7，直线
l
是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD ，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥
BD；③AO=OC；④AB⊥BC，其中正确的结论有__ _______。
10.如图,观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( ) .
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个











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11．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到右图的是( )
．．
A． B．


C. Ｄ．


12．右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则
每次旋转的度数可以是（ ）
A．90
0
B．60
0
C．45
0
D．30
0

13．图2是我国古代数学赵爽所著的《勾股圆方图注》中
所画的图形，它是由四个相同的直角三角形拼成的，下面
关于此图形的说法正确的是( )
A．它是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．它是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．它既是轴对称图形，又是中心对称图形
(图2)
D．它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

14、下图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是
（ ）

A．90
0
B．60
0
C．45
0
D．30
0







14
图15
15、如上图，O是正六边形ABCDE的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是
（ ）
A．△OCD B．△OAB C．△OAF D．OEF
16.如图,D、E、F是△ABC三边的中点,且DE∥AB,DF∥AC,EF ∥BC, 平移△AEF可以得
到的三角形是( )
A.△BDF B.△DEF C.△CDE D.△BDF和△CDE
A


F
E
A
C
B
BD
C
O
D

图16 图17
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17.将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图17的位置, 若∠AOD=110°,则∠BOC=____°
18、如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是( )




① ② ③ ④

A．只有①和②相等 B．只有③和④相等
C．只有①和④相等 D．①和②，③和④分别相等
19.如图,已知△ABC,画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形.
A
C
B


20、矩形纸片ABCD中，AD=4cm ，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为
EF，则DE= cm.
E

B
A


D F C


C
1
21、若四边形的两条对角线相等，则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是( )
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形

22． 如图：已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C＝60°，边AB=6cm.
（1） 求边AC和BC的值；
（2） 求以直角边AB所在的直线l为轴旋转一周所得的几何体的侧面积.
(结果用含π的代数式表示)
解：


23、（2005常州市）如图，在
ABC中，点
D
、
E
、
F
分别在
AB
、AC
、
BC
上，
DEBC
，
EFAB
，且F
是
BC
的中点．
A
求证：
DECF


D

E

B
FC

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24．三月三，放风筝，小明制了一个风筝，如右图，且DE=DF， EH=FH，小明不用度量就知
道∠DEH = ∠DFH。请你用所学过的数学知识证明之。（提示：可连结DH，证明 ΔDHE≌Δ
DHF或连结EF，通过证明等腰三角形得证。）










25.如图,E、F是
□
ABCD的对角线AC上两点,AE=CF.
求证:(1)△ABE≌△CDF.(2)BE∥DF.
D
E
A


（B层）
C
F
B

25、如图，在□
ABCD
中，
O
是对角线
AC
的中点，过点
O
作
AC
的垂线与边
AC
、
BD
分别交于
E
、
F
，求证：四边形
AFCE
是菱形.














A
E
1
D
O
B
2
F
C
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26.(2004.上海)如图1,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30 °后得到正方
形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长为________.
E
A
H
D
F
B
C
G

27．如图，已知正方形ABCD的边长为2.如果将线段BD 绕着点
B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，
那么
tanBAD
′等于__________



29、（2005广东省）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC， M、N分别是AD、BC的中点，
E、F分别是BM、CM的中点。
（1）求证：四边形MENF是菱形；
（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABC D的
高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。























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中考专题三 一元二次方程及其应用
知识点回顾：
一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如
x
2
a( a0)
或
(xb)
2
a(a0)
的一元二次方程，就可用< br>直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程
ax
2
bxco

a0

的一般步骤是：①化二
次项系数为1，即 方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和
一次项，右边为常数项，③配方，即方程 两边都加上一次项系数一半的平方，④化
原方程为
(xm)
2
n
的形式，⑤如果是非负数，即
n0
，就可以用直接开平方求
出方程的解.如果n＜0 ，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程
ax
2
bxc0(a 0)
的求根公式是
bb
2
4ac
2
x
1 ,2
(b4ac0)
.
2a
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将 方程
的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，
解这两 个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
一元二次方程根的判别式：
关于x的 一元二次方程
axbxc0

a0

的根的判别式为 .
2
2
（1）
b4ac
>0

一元二次方程< br>axbxc0

a0

有两个 实数根，即
2
x
1,2

.
（2）
b4ac
=0

一元二次方程有 相等的实数根，即
x
1
x
2

.
2
（3）
b4ac
<0

一元二次方程
axbxc 0

a0

实数根.
2
2
2． 一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程
axbxc0(a0)
有两根分别为
x
1
，
x
2< br>，那么
2
x
1
x
2

，
x
1
x
2

.
专题训练：
A 1．方程 (5x－2) (x－7)＝9 (x－7)的解是_________.
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2．已知2是关于x的方程
3
2
x－2 a＝0的一个解，则2a－1的值是_________.
2
3．关于
y
的 方程
2y
2
3py2p0
有一个根是
y2
，则关于
x
的方程
x
2
3p
的解为
_____.
4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）
y
2
①9 x=7 x ②=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x
2
-2y+6=0
3
2
⑤
2
( x
2
+1)=
10
⑥
4
-x-1=0
x
2
A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤
5. 一元二次方程(4x＋1)(2x－3)＝5x
2
＋1化成一般 形式ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)后a,b,c的值为
（ ）
A．3，－10，－4 B. 3，－12，－2
C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4
6．一元二次方程2x
2
－(m＋1)x＋1＝x (x－1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的
系数为－1，则m的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
7．解方程
22
(1)
x
－5
x
－6＝0 ； (2) 3
x
－4
x
－1＝0（用公式法）；



(3) 4
x
－8
x
＋1＝0（用配方法）；

（4）
x
22
x+1=0
．
2
2





8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额 为182万元，若5、6两个月的月
增长率相同，求月增长率．


9、在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积
的一 半．下面分别是小明和小颖的设计方案．
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我(小明)的设计方案
如图1．其中花园四周小
路的宽度相等。
通过解方程，我得到小路
的宽为2m或12m。

我(小颖)的设计方案
如图2．其中花园中
每个角上的扇形都相
同。

(1)你认为小明的结果对吗?请说明理由．
(2)请你帮助小颖求出图中的x(精确到0．1m)
(3)你还有其他的设计方案吗?请在图3中画出你所设计的草图，并加以说明．








B 1．设x
1
，x
2
是方程2x
2
＋4x－3＝0的两个根，则(x
1
＋1)(x
2
＋1)= __________，x
1
2
＋x
2
2
＝_________，
11

＝______ ____，(x
1
－x
2
)
2
＝_______.
x
1
x
2
2
2．当
c
__________时 ，关于
x
的方程
2x8xc0
有实数根．（填一个符合要求的数
即可）
3. 已知关于
x
的方程
x(a2)xa2b0
的判别式等于0，且
x
2
1
是方程的根，则
2
22ab
的值为 ．
2
4. 已知
a，b
是关于
x
的方程
x(2k1)xk(k1)0
的两个实数根，则
ab
的最小
值是 ．
22
5．已知

，

是关于
x
的一元二次方程
x(2m3)xm0
的两个不相 等的实数根，
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14
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且满足
1


1
< br>1
，则
m
的值是（ ）
Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．
3
或1 Ａ．3或
1

6．一元二次方程
x2
3x10
的两个根分别是
x
1
，x
2
，则
x
1
2
x
2
x
1
x
22
的值是（ ）
Ａ．3 Ｂ．
3

1
Ｃ．
3
2.

1
Ｄ．


3
7．（07泸州）若关于
x
的一元二次方程
x2xm0没有实数根，则实数m的取值范
围是（ ）
A．m－1 C．m>l D．m<－1
8．设关于x的方程kx－(2 k＋1)x＋k＝0的两实数根为x
1
、x
2
，
，
若
求k的值.









9．已知关于
x
的一元二次方程
x

m1< br>
xm20
．
2
2
x
1
x
2
17
,
x
2
x
1
4
（1）若方程有两个相等的实数根，求
m< br>的值；
（2）若方程的两实数根之积等于
m9m2
，求
m6
的值．









2
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传播数学文化 开启智慧人生
中考专题四 一次函数与反比例函数
知识点回顾：
1、平面直角坐标系：平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐
标 平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标。在平面内建立了直角坐标系，就可以把
“形”（平面内的 点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来。
2、函数的概念：设在某个变化过程中有两个变量x、y ,如果对于x在某一范围内的每一
个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数 ，x叫做自变量。
3、自变量的取值范围：对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义。对于纯 数学
问题，自变量取值应保证数学式子有意义。
4、正比例函数： 如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么，y叫做x的正比例函数．
5、、正比例函数y=kx的图象：
过（0，0），（1，K）两点的一条直线．

6、正比例函数y=kx的性质
(1)当k>0时，y随x的增大而增大
(2)当k<0时，y随x的增大而减小
7、反比例函数及性质

（1）当k>0时，在每个象限内分别是y随x的增大而减小； （2）当k<0时，在每
个象限内分别是y随x的增大而增大．

8、一次函数 如果y=kx+b(k,b是+常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．
9、一次函数y=kx+b的图象
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10、一次函数y=kx+b的性质

（1）当k>0时，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，y随x的增大而减小．


专题训练：
一、选择题：
1、小华以每分钟x字的速度书写，y分钟写了300个字，则y与x的函数关系式为( )
(A) x=
300300x
300
(B) y= (C) x+y=300 (D) y=
xx
y
2、如果反比例函数
y
k
的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（ ）
x
A、 第一、三象限 B、 第一、二象限
C、 第二、四象限 D、 第三、四象限
3、若反比例函数
y(2m1)x
m
A、－1或1 B、小于
2
2
的图像在第二、四象限，则
m
的值是（ ）
1
的任意实数 C、－1 Ｄ、不能确定
2
113
C、
y（x0)
D、
y2x

xx
4、下列函数中y随x的增大而减小的是（ ）
A、
y（x0)
B、
y
9
x
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5、正比例函数
ykx
和反比例函数
y
y
o
x
A
D
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
k
在同一坐标系内的图象为（ ）
x
y y
x

o
B
x
C
y
o

x

o

6、在函数 y=
k
(k<0)的图像上有A(1,y
1
)、B(－1,y
2)、C(－2,y
3
)三个点，则下列各式中
x
正确的是（ ）
(A) y
1
2
3
(B) y
1
3
2
(C) y
3
2
1
(D) y
2
3
1

7、、如右图，A为反比例函数
y
值为（ ）
A、6
8、在同一直角坐标平面内，如果直线
yk
1
x
与双曲线
y
关系一定是（ ）
A
k
1
<0，
k
2
>0
[来源:]
k< br>图象上一点，AB垂直
x
轴于B点，若S
△AOB
＝3，则
k
的
x
y
B、3 C、
3

2
D、不能确定
O
A
B
x
k< br>2
没有交点，那么
k
1
和
k
2
的
x

C
k
1
、
k
2
同号 D
k
1
、
k
2
异号 B
k
1
>0，
k
2
<0
9、若点（x
1
，y
1
）、（x
2
，y
2
）、（x
3，y
3
）都是反比例函数
y
1
的图象上的点，并且x
1
＜0
x
＜x
2
＜x
3
，则下列各式中正确的是 （ ）
A、y
1
＜y
2
＜y
3
B、y
2
＜y
3
＜y
1
C、y
3
＜y
2
＜y
1
D、y
1
＜y
3
＜y
2

10、点A（a,b）、B（a－1，c）均在函数
y
（ ）
A、ａ＞ｃ B、ｂ＜ｃ C、ｂ＝ｃ
11．在反比例函数
y
是（ ）
A．
1
B．0 C．1 D．2
1
的图象上，若a＜0，则ｂ与ｃ的大小关系是
x1k
的图象的每一条曲线上，
y都随x
的增大而增大，则
k
的 值可以
x
12．一个直角三角形的两直角边长分别为
x，y
，其面积为2，则
y
与
x
之间的关系用图象
表示大致为（ ）
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y

y

y

y

O
x

O
x

O
x

O
x

A B C D
二、填空题： 1、右图是反比例函数
y
k
的图象，则
k
与0的大小关系是< br>k
0；

x
2、已知
y
是
x
的反比例函数，当
x
=3时，
y
=4，则当
x
= 2时
y
=_________；
y
3、反比例函数
y
k

k0

在第一象限内的图象如图，点M是图像上一点，
x
M
O
P
x
MP垂直
x
轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么
k
的值是 ；

4、已知
y
-2与
x
成反比例，当
x
=3时，
y
=1，则
y
与
x
间的函数关系式为
学.科.
5、在体积为20的圆柱体中，底面积S关于高h的函数关系式是 ；
6、对于函数
y
2
，当
x2
时，y的取值范围是_ _____
y
______；当
x2
时且
x0
x< br>时，y的取值范围是y ______1，或y ______。（提示：利用图像解答）
三 解答题
1、如图，一次函数
ykxb
的图象与反比
例函数
y
m
的图象相交于A、B两点
x
（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；
（2）求出两函数解析式；
（3）根据图象回答：当
x
为何值时，
一次函数的函数值大于反比例函数的函数值


2、如图，Rt
△
ABO的顶点A是双曲线
y
AB⊥
x
轴于B且S△ABO=
k
与直线
yx(k1)
在第二象限的交点，
x
y
A
B
O
3

2
（1）求这两个函数的解析式
x
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C

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（2）A，C的坐标分别为（-，3）和（3，1）求△AOC的面积。



3 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行
y
（毫克）


消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药
9
量
y
（毫克）与时间
x
（分钟）成正比例；药物释放完
毕后，
y
与
x
成反比例，如图9所示．根据图中提供的
信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，
y
与
x
之间的两个函数
关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克
以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，
至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？






4 （09长沙）反比例函数
y
上的两点．
y
图9
O
12


x
（分钟）
2m1
的图 象如图所示，
A(1，b
1
)
，
B(2，b
2
)
是该图象
x
O
x

（1）比较
b
1
与
b
2
的大小；
（2）求
m
的取值范围．
[来源:学科网ZXXK



5、如图，已知点A（4，ｍ），B（－1，ｎ）在反比例函数
y
8的图象上，直线AB与ｘ轴
x
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交于点C，
（1）求n值
（2）如果点D在x轴上，且DA＝DC，求点D的坐标.



6，已知
A(4，n)
，
B(2，4)
是一次函数
ykxb
的图象和
反比例函数
y
m
的图象的两个交点．
x
y
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线
AB
与
x
轴的交点
C
的坐标及△
AOB
的面积；
(3)求方程
kxb
m
；
0
的解（请直接写出答案 ）
x
m
0
的解集（请直接写出答案）.
x
-1
O
B
A
C4
x
(4)求不等式
kxb


[来源:学科网]


7、若 三点都在函数
y


k
（ｋ＜0）的图象上，
x
则
y
1
、y
2
、y
3
的大小关系怎样的？用＜连 接起来。











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中考专题五 锐角三角函数（1）
知识要点：直角三角形的边角关系
重点难点：正弦、余弦、正切、余切四个锐角三角函数的概念
教学过程：
导入 在直角三角形ABC中，∠C=90
0
.
∠A=30,则a、b、c有什么关系？
∠A=45呢？
新课：1、锐角∠
A
的三角函数（按右图Rt△
ABC
填空）
∠
A
的正弦：sin
A =
,
∠
A
的余弦：cos
A
= ,
∠
A
的正切：tan
A
= ,
∠
A
的余切：cot
A
=
2、锐角三角函数值，都是 实数（正、负或者0）；
3、正弦、余弦值的大小范围： ＜sin
A
＜ ； ＜cos
A
＜
4、tan
A
•cot
A
= ； tan
B
•cot
B
= ；
5、sin
A
=

cos（90°-

）；

cos
A
= sin（ -

）
tan
A
=cot（ ）； cot
A
=
6、填表






0
0

7、在Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝c,BC＝a，AC＝b,
1）、三边关系（勾股定理）：


2）、锐角间的关系：∠

+∠

= 90°
3）、边角间的关系：sin
A
= ； sinB

= ；
cos
A
= ； cosB= ；
tan
A
= ； tanB

= ；
cot
A
= ；cotB

=
8、图中角

可以看作是点A的 角
（1）
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也可看作是点B的 角；
练习：
（1）、三角函数的定义及性质
1、在△
ABC
中,
C90< br>0
,
AC5,AB13
,则cos
B
的值为
2、在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝4，则
cosB_____,t anA______
；
3、Rt△
ABC
中,若
C900
,
AC4,BC2
,则tan
B______

4、在△ABC中，∠C＝90°，
a2,b1
，则
cosA

5、已知Rt△
ABC
中,若
C90
0
,
co s
A
0
5
,BC24
,则
AC_______.
13
6、Rt△
ABC
中,
C90,
BC3, tanB
5
.
，那么
AC________
3
7、已 知
sin

2m3
，且
a
为锐角，则
m
的取值范围是 ；
8、已知：∠

是锐角，
sin

cos36
，则

的度数是
9、当角度在
0
到
90
之间变化时，函数值随着角度的增大反而 减小的三角函是 （ ）
A．正弦和正切 B．余弦和余切 C．正弦和余切 D．余弦和正切
10、当锐角A的
cosA
2
时，∠A的值为（ ）
2
A 小于
45
B 小于
30
C 大于
45
D 大于
60

11、在
Rt
⊿ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦址与余弦值的情况
（ ）
A 都扩大2倍 B 都缩小2倍 C 都不变 D 不确定
12、已知


为锐角，若
sin

cos30
，
tan

＝ ；若
tan70tan

 1
，则


_______
；
00
13、在△
ABC
中,
C90,
sin
A
0
3
, 则cos
B
等于( )
2
A、
1
B、
1
32
C、 D、
2
22
（2）、特殊角的三角函数值
1、在Rt△ABC中，已知∠C＝9 0
0
，∠A=45
0
则
sinA
=
1
2
，tan

=______；
2
A
3、已知∠A是锐角，且
tanA3,则sin______
；
2
／< br>4、在平面直角坐标系内P点的坐标（
cos30
，
tan45
） ，则P点关于
x
轴对称点P的坐
2、已知：

是锐角，
co s


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标为 （ ）
A．
(
3
333
,1)
B．
(1,)
C．
(,1)
D．
(,1)

2
222
5、下列不等式成立的是（ ）
A．
tan45sin60cos45
B．
cot45sin60tan45

C．
cos45cot30tan45
D．
cos45sin60cot30

6、若
3tan(

10
0
)1
，则锐角

的度数为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
7、计算
（1）
sin30
0
cos60
0
 _______,
；
tan45
0
cot60
0
__ _____
（2）
cos60sin45




2
0000
1
tan
2
30cos30sin30 

4
tan30
0
tan45
0
sin45< br>0
cos30
0
000
sin30(cos45sin60)< br> (3) (4)
000
1tan30tan4532cos60



（3）、解直角三角形
1、在△
ABC
中,
C90,
如果
a3,b4
，求
A
的四个三角函数值.
解：（1）∵
a
+
b
＝
c
22 2
0
∴
c
=
∴sin
A
= cos
A
=
∴tan
A
= cot
A
=
2、在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，由下列条件解直角三角形：
（1）已知
a
＝4
3
，
b
＝2
3
，则
c=
；
（2）已知
a
＝10，
c
＝10
2
，则∠
B=
；
（3）已知
c
＝20，∠
A
＝60°，则
a=
；
（4）已知
b
＝35，∠
A
＝45°，则
a= ；

b______
； 3、若∠A =
30
，
c10
，则
a_____,
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24
九年级 思维数学上册

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4、在下列图中填写各直角三角形中字母的值．
7、设Rt△
ABC
中，∠
C
＝90゜，∠
A
、∠B
、∠
C
的对边分别为
a
、
b
、
c< br>，根据下列所给条件
求∠B的四个三角函数值.
（1）
a
=3,
b
=4; （2）
a
=6,
c
=10.




8、在Rt△ABC中，∠C＝90゜，BC：AC＝3：4，求∠A的四个三角函数值.



9、△
ABC
中,已知
AC22,B60
0
,C45
0
，求
AB
的长
B



9题
知识要点：解直角三角形
重点难点：坡角、坡比的应用
导入 9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 高度（
h
）和 长度（l）的比。
记作
i
,即
i
= ；
（2） 坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有
i
＝
（3）坡度与坡角的关系：坡度越大， 坡角α就越 ，坡面就越
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A
C

中考专题六 锐角三角函数（2）
h
=tanα
l

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专题训练：
1、斜坡的坡度是
1:3
，则 坡角

____________.

2、一个斜坡的坡度为
< br>
︰
3
，那么坡角

的余切值为 ；
3、一个物体
A
点出发，在坡度为
1:7
的斜坡上直线向上运动到< br>B
，当
AB30
m时，物体
升高 （ ）
A
3030
m B m C
32
m D 不同于以上的答案
78
4、某水库大坝的横断面是梯形 ，坝内斜坡的坡度
i1:3
，坝外斜坡的坡度
i1:1
，则
两个 坡角的和为 （ ）
A
90
B
60
C
75
D
105

5、电视塔高为
3 50
m，一个人站在地面，离塔底
O
一定的距离
A
处望塔顶
B
，测得仰角为
60
0
，若某人的身高忽略不计时，
OA____ ______
m.
6、如图沿AC方向修隧道,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时进 行.已知∠
0
ABD=150,BD=520m,∠B=600,那么开挖点E到D的距离DE =____m时,才能使A,C,E成一直线.

7、一船向东航行，上午8时到达
B
处，看到有一灯塔在它的南偏东
60
，距离为72海里的
0
A处，上午10时到达
C
处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）
A
18
海里小时 B
183
海里小时
C
36
海里小时 D
363
海里小时
8、如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为 30°，向塔前进14米到达D，
在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。
A




C D B

9、如图，一铁路路基横 断面为等腰梯形
ABCD
，斜坡
BC
的坡度为

2:3< br>，路基高
AE
为
3
m，底
CD
宽
12
m，求路基顶
AB
的宽
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26
九年级 思维数学上册

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B
C
A
E
D

10、如图，已知两座高度相等的建筑物AB、CD的水平距离BC＝60米，在建筑物CD上有
一铁 塔PD，在塔顶P处观察建筑物的底部B和顶部A，分别测行俯角

求建筑物AB的高。（计算 过程和结果一律不取近似值）








11、如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时10
7
千米的
速度向北偏东60º的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影 响的区域。
（1） 问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2） 若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？



F
45
0
,

30
0
，




B







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60º
A

传播数学文化 开启智慧人生
中考专题七 二次函数（1）
知识要点：关于y=ax
2
的图像和性质
重点难点：对关于y=ax
2
的图像和性质的理解和掌握，并能够画出草图。
教学过程：
导入 正比例函数、一次函数和反比例函数的图像和性质的回顾。
新 课：1、探究y=2x
2
和y=－2x
2
的图像和性质（列表、描点、连线）
2、探究y=





归纳性质：

1
2
1
x和y=－x
2
的图像和性质（列表、描点、连线）
22

例题分析 某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其 拱形图形为抛
物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0 .6
米．
（1）以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
请根据以 上的数据，求出抛物线y=ax
2
的解析式；
（2）计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）
解：（1） 由已知：OC=0.6，AC=0.6，得点A的坐标为（0.6，
0.6），
代入y=ax，得a=
2
55
2
， ∴抛物线的解析式为y=x.
33
例题图
（2）点D
1
，D
2
的横坐标分别为0.2，0.4，
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28
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代入y=
5
2
55
x，得点 D
1
，D
2
的纵坐标分别为：y
1
=×0.2
2< br>≈0.07，y
2
=×0.4
2
≈0.27，
333
∴立柱C
1
D
1
=0.6－0.07=0.53， C
2
D
2
=0.6－0.27=0.33，
由于抛物线关于y轴对称，栅栏所需立柱的总长度为：
2（C
1
D
1
+ C
2
D
2
）+OC=2（0.53+0.33）+0.6≈2.3米.
练习：
1、抛物线y=ax的对称轴是______，顶点是______顶点坐标是______；
当a＞0时，抛物线y=ax2的开口____函数有___值
当a＜0时，开口____函数有___值
2、根据函数图象填空：
（1）抛物线 y=2x的顶点坐标是_________,对称轴是________，在_______侧，y随着x的增大而增大；在_______侧，y随着x的增大而减小，当x=______时，函数y的值最小，最< br>小值是________,抛物线y=2x在x轴的__方（除顶点外）。
2
2
2
y
（2）抛物线
2
x
3
在x轴的______方（ 除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的_______；
在对称轴的右侧，y随着x的______ ___，当x=0时，函数y的值最大，最大值是________，
当x_____0时，y<0.
3、已知点A(-4，m)在抛物线y=x上
(1)求m的值； (2)点B(4，m)在此抛物线上吗？





4、已知点C(n，9)在抛物线y=x上，
(1)求n的值； (2)点D(-n，9)在此抛物线上吗？







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2
2

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家庭作业：
1、根据函数图象填空：
（1）抛物 线y=3x的顶点坐标是_________,对称轴是________，在_______侧，y随着x的< br>增大而增大；在_______侧，y随着x的增大而减小，当x=______时，函数y的值最小，最
小值是________,抛物线y=3x的图像在x轴的__方（除顶点外）。
（2）抛物 线y=－3x在x轴的______方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的_______；
在 对称轴的右侧，y随着x的_________，当x=0时，函数y的值最大，最大值是________，< br>当x_____0时，y<0.
2、已知抛物线y＝ax
2
经过点A(-2，-8)．
(1)判断点B(-1，-4)是否在此抛物线上；
(2)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标．
分析：因为y＝ax
2
中只有 一个待定系数a，所以有一个条件就可求出a，从而求出此抛
物线的函数式．




3、函数y=ax
2
（a≠0）与直线y=2x-3交于点（1,b），求
（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax
2
的解析式，并求顶点坐标和对称轴；
（3）x取何值时，二次函数y=ax
2
中的y随着x的增大而增大；
（4）求抛物线与直线y=-2的两交点及顶点所构成的三角形的面积。
分析：（1）因为点（1 ,b）是抛物线y=ax2和y=2x-3的交点，所以x=1，y=b既满足y=2x-3，
又满足y =ax
2
，于是可求出b和a的值；（2）将（1）中求得的a值代入y=ax
2，即得抛物线
的解析式。进而求得抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）根据a的符号和对称轴（或顶 点坐标），
可确定y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；（4）应在直角坐标系中画出抛物线< br>y=ax
2
和直线y=-2的草图，结合图形写出求三角形面积的计算过程。


2
2
2







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九年级 思维数学上册

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中考专题八 二次函数（2）
知识要点：关于y=ax
2
+c的图像和性质
重点难点：对关于y=ax
2
+c的图像和性质的理解和掌握，并能够画出草图。
教学过程：
导入 1、探究y=x
2
和y=x
2
+1的图像和性质（列表、描点、连线）
2、探究y=—x－1和y=－x－1的图像和性质（列表、描点、连线）




10
22
y
y=x
2
+1
y=x
2
性质归纳：


例题分析：
例 在同一直角坐标系中，画出二次函数
y=x,
y=x
2
+1,
2
6
8
2
4
y=x
2
-1的图象。
（1）抛物线y=x
2
+1、y=x
2
-1的开口方向、对称轴、
-5
y=x
2
-1
5
顶点各是什么？
（2）抛物 线y=x
2
+1、y=x
2
-1与抛物线y=x2有什么关系？
（3）它们的位置由什么决定的？
答：(1)它们开口方向向上，对称轴是y轴，顶点分别是（0，1）（0，-1）。
抛物线
y=x2
y=X2+1
y=x2-1
练习：
1、二次函数y =-x
2
+3的图象顶点为_________对称轴为_________。
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-2
x

开口方向
向上
向上
向上
对称轴
X=0
X=0
X=0
顶点坐标
（０，０）
(0，1)
(0，-1)

传播数学文化 开启智慧人生
2、由y=2x
2
和y=2x
2
- 5的顶点坐标和二次项系数可以得出y=2x
2
-5的图象可由y=2x
2
的 图象
向_______平移______个单位得到。
3、画出二次函数y=2x
2
-5的图像，并求出函数值为－1时自变量x的值。




4、求一次函数y=4x+27和二次函数y=4x
2
+3的图像的交点和坐标原点构成的三角形的面积






家庭作业：
1、二次函数y=-2x
2
+5的图象顶 点为_________对称轴为_________。
2、由y=－2x
2
和y= －2x
2
+5的顶点坐标和二次项系数可以得出y=2x
2
-5的图象可由y =2x
2
的
图象向_______平移______个单位得到。
3、画出二次函数y=3x
2
-10的图像，并求出函数值为－1时自变量x的值。








4、求一次函 数y=4x+9和二次函数y=4x
2
+1的图像的交点和坐标原点构成的三角形的面积


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中考专题九 二次函数（3）
知识要点：关于y=ax
2
+bx+c的图像和性质
重点难点：对关于y= ax
2
+bx+c的图像和性质的理解和掌握，并能够画出草图。
教学过程：
导入 画出y=x
2
-2x+3的图像，并说出和x轴的交点坐标。


探究y=ax
2
+bx+c的图像和性质。并指出顶点和x轴交点坐标。



例题分析：
例题1 求y=2x
2
+x-1与x轴、y轴交点的坐标



例题2 求y=


例题3 已知二次函数图象顶点坐标（-3，
及图象与y轴的交点坐标。



练习：
1.、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1 ）求解析式及顶点坐标。



1
2
1
x
x2
的顶点坐标
3
2
111
）且图象过点（2，），求二次函数解析式
22
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2、分析若二次函数y=ax
2
+bx+c经过（1 ，0）且图象关于直线x=
经过哪一点？




知识与能力拓展：
1
,对称，那么图象还必定
2
用三种方式表示二 次函数：1、一般式；2、顶点式；3、交点式（两根式）
①一般式
y=ax
2
+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式
[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)
2
+k
③交点式
[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x
1
)(x-x
2
)
家庭作业： 1.已知抛物线y=ax
2
+bx+c的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则 抛物线的表达式为______.
2.二次函数y=x
2
+kx+1与y=x
2
－x－k的图象有一个公共点在x轴上，则k=______.
3.已知抛物线y=ax
2
+bx+c，其中a<0，b>0，c>0，则抛物线的开口方向______；抛物线与x
轴的交点是在原点的______；抛物线的对称轴在y轴的______.
4.如图1中的抛物线关于x轴对称的抛物线的表达式为______.
5.函数y=mx
2
+x－2m(m是常数)，图象与x轴的交点有_____个.
y
-2
O
2
x
-5
y
O
x









图2



图1
6.当m=_____时，抛物线y=mx
2
+2(m+2)x+m+3的对称轴是y轴；当m =_____时，图象与y 轴
交点的纵坐标是1；当m=_____时，函数的最小值是－2.
7.若二次函数y=ax
2
+bx+c的图象如图2所示，则直线y=abx+c不经 过_____象限.
8.二次函数y=mx
2
+2x+m－4m
2
的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.
二、相信你的选择(每小题3分，共24分)
9.二次函数y=x
2
+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中( )
A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1)
10.函数y=ax+b的图象经过一、二、三 象限，则二次函数y=ax
2
+bx的大致图象是( )
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34
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y y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
图3

C
D
11.下列说法错误的是( )
A.二次函数y=－2x
2
中，当x=0时，y有最大值是0
B.二次函数y=4x
2
中，当x>0时，y随x的增大而增大
C.在三条 抛物线y=2x
2
，y=－0.5x
2
，y=－x
2
中，y =2x
2
的图象开口最大，y=－x
2
的图象
开口最小
D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax
2
(a≠0)的顶点一定是坐标原点
12.若二次函数y=ax
2
+bx+c的图象如图，则点(a+b，ac)在( )
A.第一象限; B.第二象限 C.第三象限; D.第四象限
y
13 .已知二次函数y=x
2
+(2k+1)x+k
2
－1的最小值是0，则k的
值是( )
A.
3355
; B.－; C.; D.－
4444
Ox
14.若二次函数y=x
2
－2x+c图象的顶点在x轴上，则c等于
( )
A.－1 B.1 C.

1

2
D.2
15.小颖在二次函数y=2x
2
+4x+5的图象上， 依横坐标找到三点(－1，y
1
)，(
11
，y
2
)， ( －3，
22
y
3
)，则你认为y
1
，y
2
，y
3
的大小关系应为( )
A.y
1
>y
2
>y
3
B.y
2
>y
3
>y
1
C.y
3
>y
1
>y
2
D.y
3
>y
2
>y
1

16.物体在地球的引力 作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为：s=
1
2
gt.其中s表
2
示自某一高度下落的距离，t表示下落的时间，g是重力加速度.若某一物体从一固定高度
自 由下落，其运动过程中下落的距离s和时间t函数图象大致为( )
s
s
s
s
O
O
tO
t
O
t
t
A
B
C
D


三、考查你的基本功
17.(8分)请写出一 个二次函数，此二次函数具备顶点在x轴上，且过点(0，1)两个条件，并
说明你的理由.



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传播数学文化 开启智慧人生
18.(10分)把抛物线y=－3(x－1)
2
向 上平移k个单位，所得的抛物线与x轴交于点A(x
1
，0)，
B(x
2，0)，若x
1
2
+x
2
2
=
26
， 请你求出k的值.
9











四、生活中的数学
19.(10分)如图是把一 个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适
当的坐标系，就能求出此抛物线的 表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明
理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达 式.
6m
40m























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九年级 思维数学上册

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中考专题十 二次函数与一元二次方程
知识要点：二次函数与一元二次方程
重点难点：一元二次方程的根与二次函数与X轴的交点的关系
教学过程：
导入 1、 用具体的实例探究一元二次方程的根与二次函
数与X轴的交点的关系
二次函数（以下称函数）
y=ax+bx+c

当
y=0
时，二次函数为关于x的一元二次方程（以
下称方程），
即
ax+bx+c=0

2
2
二次函数与
一元二次方程
二次函数
的零点
二次函数的零点与对应
一元二次方程根的关系

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数
根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系
（ 1）一元二次方程
axbxc0
（
a
≠0）有两个不相等的实数根x
1
，
x
2

判别式
0

对应的二次函数
yax
2
bxc
（
a
≠0）的图象 与
x
轴有两个交点为

x
1
,0

，（2）一元二次方程
axbxc0
（
a
≠0）有两个相等的实数根
x
1
=
x
2

判别式
0
< br>对应的二次函数
yax
2
bxc
（
a
≠0）的 图象与
x
轴有唯一的交点为（
x
1
，0）
2
2函数的零点
函数的零点与
对应方程的关系

x
2
,0


对应的二次函数
yax
2
bxc
（
a
≠0）有两个不同的零点
x
1
，
x
2
；

对应的二次函数
yax
2
bxc
（
a≠0）有两个相同零点
x
1
=
x
2
；
2（3）一元二次方程
axbxc0
（
a
≠0）没有实数根

判别式
0

对应的二次
22
函数
yax bxc
（
a
≠0）的图象与
x
轴没有交点

对应 的二次函数
yaxbxc
（
a
≠0）没有零点．
3. 推广
⑴函数的零点的概念
一般地，对于函数
yf(x)

xD
，我们把使
f(x)0
的实数
x
叫做函数
yf( x)


xD

的零点．
⑵函数的零点与对应方程的关系
方程
f(x)0
有实数根
函数
yf(x)
的图象与
x
轴有交点

函数
yf(x)
有零点．
例题分析
例1：观察二次函数 y=x-2x-3的图像与x轴的交点是N（ ， ） M（ ， ）
写出一元二次方程 x-2x-3=0的根是








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2
2

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例题2 求证：一元二次方程
2x3x70
有两个不相等的实数根
．
2
【解】证法1
∵

=
3
2
4 2

7

650

2
∴一元二次方程
2x3x70
有两个不相等的实数根．
证法2 设
f(x)2x
2
3x7
，
∵函数的图 象是一条开口向上的抛物线，且
f(0)20
2
30770
∴函数
f(x)
的图象与
x
轴有两个不同的交点，即一元二次方程
根 ．
点评:例1还可用配方法将方程化为
(x)
2x3x70
有两 个不相等的实数
3
2
65
再证明．也可仿照证法
416
2， 由抛物线开口向上及
f(1)23720
来推证．

练习：
1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．
（1）y=x－2x；（2）y=x－2x－3．




2
2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax＋bx＋c的图象与x轴何时有两个
交点、一个交点，何时没有交点？





2
3、画出函数
yx2x3
的图象，根据图象回答
下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程
x
2
2x30
有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，
函数值y小于0？








2
4、（1）已知抛物线
y2(k1)x4kx2k3
，当k= 时，抛物线与x轴相
交于两点．
2
（2）已知二次函数
y(a1)x 2ax3a2
的图象的最低点在x轴上，则a= ．
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九年级 思维数学上册
22

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家庭作业：
1、 如图，二次函数y=x-4x+3图像从图像可知
当x= 时，y有最小值，最小值是
当x 时，y随x增大而增大。
当x 时，y随x增大而减小。
2
二次函数y=x-4x+3的图像与x轴有 个交点，
交点坐标是
即：当x=1，x=3时y=0，也就是说一元二次方程
2
x-4x+3=0的两个根是
与y有 个交点，交点坐标是
当x＜1或x＞3时，图像上所有点的纵坐标都大于0，
也就是说当x＜1或x＞3时，y＞0
2
即：当x＜1或x＞3时x-4x+3 0
当1＜x＜3时，图像上所有点的纵坐标都小于0，
也就是说当1＜x＜3时y＜0
2
即：当1＜x＜3时x-4x+3 0
2、画出函数y=x
2
-3x-4的图象，根据图象回答
下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程
x
2
-3x-4=0有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，
函数值y小于0？








3、用函数的观点求证：方程x
2
-7x-8=0有两个不相等的实数根。





2
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中考专题十一 实际问题与二次函数
知识要点：1．简单的函数模型建立的基本步骤：
1）审题——理解题意，分析条件和结论，理顺数量关系。
2）建立函数模型——将文字语言转化成数学语言，建立相应的目标函数。
3）求模——利用有关的函数知识，得到数学结论。
4）还原——将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义。
2．二次函数的运用
1）利用二次函数的性质与思想方法处理方程、不等式等问题。
2）建立二次函数模型解决实际问题。重点难点：利用顶点式找最值
教学过程：
导入 说出二次函数的三种表达式
例题分析：
例1．某商品的进货单价为30 元。如果按单价40元销售，能买出40个。销售单价每涨1
元，销量就减少1个。为获得最大利润，此 商品的最佳售价应定为每个多少元？








例题2.某百货商店服装柜在销售时发现：“天慧”牌童装平均每天可售出20件 ，每件盈利
40元．为了迎接“六．一”国际儿童节，•商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，< br>增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装每降价2元，那么平均每天就可多
售出4件 ，要想平均每天在销售这种童装上获得最大利润，那么每件童装应降价多少元？



练习：
一、基础探究
1．某商品销售一种纪念品，已知成批购进时单价为4元，根 据市场调查，销售量与销售单
价为一段时间内满足如下关系：单价为10元时销售量为300枚，•而单 价每降低1元，就
可多售出5枚，那么当销售单价为_______元时，可以获得最大利润，•最大利 润为_______．
2．如果直线y=ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax
2
+bx的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．如图，如果抛物线y=ax
2
+ bx+c与x轴交于A、B两点，•
与y轴交于C点，且OB=OC=
1
OA，那么b 的值为（ ）
2
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40
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A．-2 B．-1 C．-
11
D．
22
4．抛物线y=x
2
+bx+c与y轴交于A点，与x轴的正半轴 交于B、•C两点，且BC=2，S
△
ABC
=3，
则b的值为（ ）
A．-5 B．-4 C．4 D．4或-4
5．已知二次函数y=ax
2
+bx+c的图象如图所示，则：
（1）这个二次函数的解析式为__________；（2）当x=______时，y=3．
（3）根据图象回答：当x______时，y>0；当x______时，y<0．

6．若二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则直线y=abx+c不过第_____象限．
7．函数y=ax
2
+bx+c中，若ac<0，则它的图象与x轴的关系是（ ）
A．没有交点 B．有两个交点 C．一个交点 D．不能确定
2
8．已知方程2x
2
-3x-5=0的两根是
5
，-1， 则二次函数y=2x
2
-3x-5的图象与x轴的两个交
2
点间的距离是__ _____．
9．抛物线y=-x
2
-2x+3与x轴的两个交点坐标分别是___ ___、_______；•分解二次三项式
-x
2
-2x+3=_________ ．

10．如图26-3-2所示，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛 物线，当球
运行的水平距离是2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到 地
面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
（2）该运动员身高1.8m， 在这次跳投中，球在头顶上0.25m处出手，问：球出手时，
他距离地面的高度是多少？

二、能力提升
11．一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A•和终点站B ）．该列火车挂
有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，•每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车
站发给该站的邮包各一个，•还得装上该站发往下面行程中每个车站的邮包各一个．例如，
当列 车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x-1）个车站发给该站的
邮包共（x-1） 个，还要装上下面行程中要停靠的（n-x）个车站的邮包共（n-x）个．
（1）根据题意完成下表：
车站序号
1
在第x车站启程时邮政车厢邮包总数
n-1
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2
3
4
5
„
n
（n-1）-1+（n-2）=2（n-2）
2（n-2）-2+（n-3）=3（n-3）


„

（2）根据上表，写出列车在第x个车站启程时，邮政车厢上只有邮包的个数y（•用x、
n表示）．
（3）当n=18时，列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？
12．已知某型汽车在干燥的路面上，汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下
表所示 的对应关系．
速度v（kmh） 48 64
36
80 96 112 „
刹车距离s（m） 22.5 52.5 72 94.5 „
（1）请你以汽车刹 车时的车速为v为自变量，刹车距离s为函数，在如图26-3-7•所
示的坐标系中描点连线，画出函 数的图象；
（2）观察所画的函数的图象，你发现了什么？
（3）若把这个函数的 图象看成是一条抛物线，请根据表中所给的数据，选择三对，求
出它的函数关系式；
（4）用你留下的两对数据，验证一下你所得到的结论是否正确．
13．某百货商店服装柜在 销售时发现：“天慧”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40
元．为了迎接“六．一”国际儿童节 ，•商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增
加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装 每降价4元，那么平均每天就可多售
出8件，要想平均每天在销售这种童装上获得最大利润，那么每件童 装应降价多少元？

14．如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安 装一个柱子OA，O
恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方 向沿形状相同
的抛物线路线落下，为使水柱形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处到达距
水面最大高度2.25m．
（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少，•才能使喷出的水流不致落到池
外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池
外，此时水流 最大高度应达多少？（精确到0.1m）
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15．如图，在矩形ABCD中 ，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cms
的速度移动，同时点Q 从点B出发沿BC边向点C以2cms•的速度移动，如果P、Q两点
同时出发，分别到达B、C两点后 就停止移动．
（1）设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积是Scm
2< br>，写出S与t的函数关系式，
并指出自变量t的取值范围；
（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？

16．如图所示，•某市一条高速公 路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由
抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽 是6m，•抛物线可以用y=-
1
2
x+8表示．
32
（ 1）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶站与路
面的距离均为7m ，它能否完全通过这个隧道？请说明理由．
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车 沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这
个隧道？说明理由．
（3）为完全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？

三 综合探究 < br>17．如图26-3-13①所示，某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月
份该商品的销售和成本进行了调研，结果如下：•每件商品的售价M元与时间（月）的关
系可以用一条 线段上的点来表示，每件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一
条抛物线的一部分上的点来表 示（如图26-3-13②所示）．
（说明：图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本）．
请你根据图象提供的信息回答：
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（1）每件商品3月份出售时的利润（利润=售价- 成本）是多少元？
（2）求图26-3-13②中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（ 月）之间的函数关系
式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）你能求出三月份至七 月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）•之间的函数关
系式吗？（请写出计算过程，不要求写自变 量的取值范围），•若该公司共有此种商品30000
件，准备一个月内全部售完，请你计算一下至少获 利多少元？

18．捕鱼季节，•一渔货经销商从渔港码头按市场价收购了某种活鱼5 00千克，这种鱼此时
市场价为20元千克，但这种鱼如果不及时放养，•最多只能存活两天，如果放养 在塘内，
可以延长存活时间，但每天也有一定数量的鱼死去，假设放养期间鱼的个体重量基本保持
不变，而从收购后1千克活鱼的市场价每天可上涨1元，但是放养一天需各种费用支出
150元，且平 均每天还有5千克鱼死去，•假定死鱼能于当天全部售出，售价都是10元
千克．
（1）设x天后每千克活鱼的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；
（2）如果放养x 天后将活鱼一次性出售，并设500千克鱼的销售总额为Q元，•写出Q
关于x的函数关系式；
（3）该经销商将这批活鱼放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额-•收购
成本- 费用）？最大利润是多少？
19．如图26-3-14所示，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC =12cm，点P从A点出发，沿AB边向
点B以1cms的速度移动，同时，Q点从B点出发，沿BC 边向点C以2cms的速度移动．如
果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，解答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm
2
？
（2 ）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm
2
，写出S与t的函数关系式，< br>•并指出自变量的取值范围．

20．如图26-3-15所示，有长为24m的篱笆 ，一面利用墙（•墙的最大可用长度a为10m），
围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽A B为xm，面积为Sm．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m
2
的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成 面积比45m
2
更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果
不能，请 说明理由．

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中考专题十二

动态几何问题（机动课时）
知识要点：动态几何问题
重点难点:在运动中找相等关系，并分类讨论（有时不止一种情况）
教学过程：
例题分析：
例题1 如图，在直角坐标系中，矩形
OABC
的顶点
O
与坐标原点重合，顶点
A，C
在坐
标轴上，
OA60cm
，
OC80cm
．动点
P
从点
O
出发，以
5cms
的速度沿
x
轴匀速向
点
C
运动 ，到达点
C
即停止．设点
P
运动的时间为
ts
．
（1）过点
P
作对角线
OB
的垂线，垂足为点
T
．求
PT
的长
y
与时间
t
的函数关系式，并
写出自变量
t
的取值范围；
（2）在点
P
运动过程中，当点
O
关于 直线
AP
的对称点
O

恰好落在对角线
OB
上时， 求此
时直线
AP
的函数解析式；
（3）探索：以
A，P，T
三点为顶点的
△APT
的面积能否达到矩形
OABC
面积的
说明理 由．




解：（1）在矩形
OABC
中，< br>
OA60
，
OC80
，
1
？请
4
y
A
T
O
P
C
x
B

OBAC60
2
802
100
．„„„„„„„„1分 （例题1题图）

PTOB
，
Rt△OPT∽Rt△OBC
．
PTOPPT5t

，即，
yPT3t
．„„3分
BCOB60100
80
16
． 当点
P
运动到
C
点时即停止运动，此时
t
的最大值为
5
所以，
t
的取值范围是
0≤t≤16
． ················ ············································· 4分
（2）当
O
点关于直线
AP
的对称点
O

恰好在对角线
OB
上时，
A，T，P
三点应


在一条直线上（如答图2）．„„„„„„„„5分

APOB
，
12
．

Rt△AOP∽Rt△OCB
，
y
A
1
B
T
2
OPAO

．
CBOC
O


P
C
x
O
0)
．„„„„6分
OP45
．

点
P
的坐标为
(45，
（图2）
60)
和点
P(45，0)
代入解析式， 设直线
AP
的函数解析式为
ykxb
．将点
A(0，
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4

60ab，
k，
< br>
得

解这个方程组，得

3


045kb.


b60.


此时直线
AP
的函数解析式是
y
（3）由（2）知，当
t
4
x60
． ···································· 8分
3
4 5
9
时，
A，T，P
三点在一条直线上，此时点
A，T，P

5
B
不构成三角形．
y
故分两种情况：
A
T0t9△AOP
（i）当时，点位于的内部（如答图3）． < br>过
A
点作
AEOB
，垂足为点
E
，由
AO ABOBAE

T
E
可得
AE48
．
O
P

S
△APT
S
△AOP< br>S
△ATO
S
△OTP



（图3）
C
x
111
605t4t48 4t3t6t
2
54t
． ··························· 10分
222
1
22
若
S
△APT
S
矩形OABC
，则应有
6t54t1200
，即
t9t200 0
．
4
此时，
(9)
2
412000
，所以该方程无实数根．
所以，当
0t9
时，以
A，P，T
为顶点的
△APT
的 面积不能达到矩形
1
． ······························· ·················································· ··· 11分
4
（ii）当
9t≤16
时，点
T< br>位于
△AOP
的外部．（如答图4）
OABC
面积的
此时
S
△APT
S
△ATO
S
△OTP
S< br>△AOP
6t
2
54t
． ······························· 12分
若
S
△APT

1
S
矩形OABC
，则应有
6t2
54t1200
，即
t
2
9t2000
．
4
解这个方程，得
t
1

98819881
，
t
2

．
0
（舍去）
22
2
由于
88162525
，
t
98819625
17
．
22
而此时
9t≤16
，所以
t
9881
也不符合题意，故舍去．
2
所以，当
9t≤16
时，以
A，P，T
为顶 点的
△APT
的面积也不能达到矩形
1
．
4
综 上所述，以
A，P，T
为顶点的
△APT
的面积不能达到矩形
OAB C
面积的
1
． --------14分
4
OABC
面积的
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例题2 如图①，
Rt△ABC
中，
B90

，
CAB30

．它的顶点
A
的 坐标为
(10，0)
，
顶点
B
的坐标为
(5，53)
，
AB10
，点
P
从点
A
出发，沿
ABC
的方向匀速运动，
同时点
Q
从点
D(0，2)
出发，沿y
轴正方向以相同速度运动，当点
P
到达点
C
时，两点同时停止运动，设运动的时间为
t
秒．
（1）求
BAO
的度数．
（2）当点
P
在
AB
上运动时，
△OPQ
的面积< br>S
（平方单位）与时间
t
（秒）之间的函数图
象为抛物线的一部分，（ 如图②），求点
P
的运动速度．
（3）求（2）中面积
S
与时间< br>t
之间的函数关系式及面积
S
取最大值时点
P
的坐标． （4）如果点
P，Q
保持（2）中的速度不变，那么点
P
沿
AB
边运动时，
OPQ
的大小随
着时间
t
的增大而增大；沿着
BC
边运动时，
OPQ
的大小随着时间
t
的增大而减小， 当点
P
沿这两边运动时，使
OPQ90

的点
P
有几个？请说明理由．
y
C
B
Q
D
x
O
A
（例题2题图①）
P
10
t
O
5
（例题2题图②）


S
30
解：（1）
∠BAO60
． ························ ·················································· ···························· 2分
（2）点
P
的运动速度为2个单位秒． ···················· ·················································· ··········· 4分
（3）
P(10t，3t)
（
0≤t≤5
）
S
1
(2t2)(10t)
················· ·················································· ······································ 6分
2
2

9

121
．

< br>t


24


当
t
此时< br>P

9121
时，
S
有最大值为，
2
4< br>
1193

····························· ·················································· ······························ 9分

2
，
2


． ·

（4）当点
P
沿这两边运动时，
∠OPQ90
的点
P
有2个． ········································ 11分
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①当点
P
与点
A
重合时，
∠OPQ90

，
当点
P
运动到与点
B
重合时 ，
OQ
的长是12单位长度，
作
∠OPM90
交
y轴于点
M
，作
PHy
轴于点
H
，

由
△OPH∽△OPM
得：
OM
203
11.5
，
3
所以
OQOM
，从而
∠OPQ90

． < br>所以当点
P
在
AB
边上运动时，
∠OPQ90
< br>的点
P
有1个． ······································ 13分
y

②同理当点
P
在
BC
边上运动时，可算得OQ12
Q

103
17.8
．
3
M

H

D


353

353
而构成直角时交
y
轴于

0，
，
20.217.8
，


3

3
所以
∠OCQ90

，从而
∠OPQ90

的点< br>P
也有1个．
B

(P)

C

O

题图①
A

x

所以当点
P
沿这两边运动时，
∠OPQ90

的点
P
有2个． ·········································· 14分
练习：
1、如图，矩形
ABCD
中，
AD3
厘米，ABa
厘米（
a3
）．动点
M，N
同时从
B
点
出发，分别沿
BA
，
BC
运动，速度是
1
厘米／秒．过
M
作直线垂直于
AB
，分别交
AN
，
CD
于
P，Q
．当点
N
到达终点
C
时，点
M
也随之停止运动．设运动时间为
t
秒．
（1）若
a4
厘米，
t1
秒，则
PM
______厘米；
（2）若
a5
厘米，求时间
t
，使
△PNB∽△PAD
，并求出它们的相似 比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形
PMBN
与梯形
PQDA< br>的面积相等，求
a
的取值
范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动 过程中，存在某时刻使梯形
PMBN
，梯形
PQDA
，梯
形
PQCN
的面积都相等？若存在，求
a
的值；若不存在，请说明理由．


解：
（1）
PM
D
Q
C
D
Q
P
A
M
C
N
B
P
M
N
B
3
A
，
4
（2）
t2
，使
△PNB∽△PAD
，相似比为
3:2

（3）
PM⊥AB，CB⊥AB，AMPABC
，
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△AMP∽△ABC
，

PMAMPM att(at)
，PM
即，
BNABtaa
QM3
t(a1)

a
(QPAD)DQ(MPBN)BM


22
当梯形
PMBN
与梯形
PQDA
的面积相等，即
t(at)
 
t

33(a1)

(at)t

t
aa

化简得
t
6a
，

< br>

22
6a
t≤3
，

6a
3a≤6
，
≤3
，则
a≤6，
6a
（4）
3a≤6
时梯形
PMBN
与梯形
PQDA
的面积相等

梯形
PQCN
的面积与梯形
PMBN
的面积相等即可，则
CNPM

t6a
(at)3t
，把
t
代入， 解之得
a23
，所以
a23
．
a6a
所以，存在
a
，当
a23
时梯形
PMBN
与梯形
PQDA< br>的面积、梯形
PQCN
的面积相等．
家庭作业：
1、已知抛物线y ＝ax
2
＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的
正半 轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x
2
－10x＋16 ＝0
的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点 A、点B不重合），过点E
作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为 S，求S与m之间的
函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说 明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出
此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状； 若不存在，请说明理由．
解：(1)解方程x－10x＋16＝0，得x
1
＝2，x
2
＝8.„„1分
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，8).
又∵抛物线y=ax＋bx＋c的对称轴是直线x=-2，
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(－6，0).„„4分
(2)∵点C(0，8)在抛物线y=ax＋bx＋c的图象上，
2
2
2
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∴c=8.将A(－6，0)、B(2，0)代入表达式，得
， 解得.
∴所求抛物线的表达式为
(3)依题意，AE＝m，则BE＝8－m.
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10.
.„„7分

∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC.
∴，即.
∴.
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝，
∴. ∴ m.
∴
＝(8-m)(8-8＋m)＝(8-m)m＝-m＋4m，„„10分
自变量m的取值范围是0＜m＜8.„„11分
(4)存在.
2
理由：∵
∴当m＝4时，S有最大值，S
最大值
＝8.„„12分
∵m＝4，∴点E的坐标为(－2，0).
∴△BCE为等腰三角形.„„14分
，
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2、四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点
M
从
O
出发以每秒2
个单位长度的速度向
A
运动；点
N从
B
同时出发，以每秒1个单位长度的速度向
C
运动．其
中一个 动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点
N
作
NP
垂直
x
轴于点
P
，连
结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）点______（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的 函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当
t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M ，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存
在，说明理由．
解：（1）点
M
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 1分
C
y
NB
（2）经过
t
秒时，
则
∵
∴
=
，
=
，



Q
O
M
P
Ax

∴

²²²²²² 2分
第2题
∴


²²²²²²²²²²²²²²² 3分
∴ ²²²²²²²²²²² 5分
∵∴当时，
S
的值最大． ²²²²²²²² 6分
（3）存在． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 7分
设经过
t
秒时，
NB< br>=
t
，
OM=
2
t

则
∴
①若
=
，
=
，则

²²²²²²²²²²²² 8分
是等腰Rt△底边上的高
∴是底边的中线 ∴
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∴
∴
∴点
②若
∴
∴
∴
∴点

的坐标为（1，0） ²²²²²²²²²²² 10分
，此时



的坐标为（2，0） 12分
与重合
3、如图，在等腰梯 形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝50，AD＝75，BC＝135．点P从点B
出发沿折线段 BA
－
AD
－
DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发 沿
线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段
C D
－
DA
－
AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运 动，点Q也随
之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？
（3）设射线QK扫过梯形AB CD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t
的函数关系式；（不必写出t的取值范围 ）
（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
K

A
D

E

P

B

Q
C
解：（1）t ＝（50＋75＋50）÷5＝35（秒）时，点P到达终点C．
第3题
此时，QC＝35³3＝105，∴BQ的长为135－105＝30．
（
3
）
如图
2
，若
PQ
∥
DC
，又
AD
∥
BC
，则四边形
PQCD
为平行四边 形，从而
PD
＝
QC
，由
QC
＝
3t
，< br>BA
＋
AP
＝
5t
得
50
＋
75
－
5t
＝
3t
，解得
t
＝
125
．

8
经检验，当
t
＝
125
时，有
PQ
∥
DC
．

8
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（
3
）①当点
E
在
C D
上运动时，如图
3
．分别过点
A
、
D
作
AF
⊥
BC
于点
F
，
DH
⊥
BC
于点
H
，则四边形

ADHF
为矩形，且△
ABF
≌△
DCH
，从而

FH
＝
AD
＝
75
，于是
BF
＝
CH
＝
30
．∴
DH
＝
AF
＝
40．

又
QC
＝
3t
，从而
QE
＝QC
²
tanC
＝
3t
²
DH
＝
4t
．

CH
QC
＝
6t
2
；

∴
S
＝
S
⊿
QCE
＝
1
QE·
2
②当点
E
在
DA
上运动时，如图
2
．过 点
D
作
DH
⊥
BC
于点
H
，
< br>由①知
DH
＝
40
，
CH
＝
30
， 又
QC
＝
3t
，

从而
ED
＝
Q H
＝
QC
－
CH
＝
3t
－
30
．

∴
S
＝
S
梯形
QCDE
＝
1
(ED
＋
QC)DH
＝
120 t
－
600
．

2
（4）△PQE能成为直角三角形． < br>当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠
（注：（4）问中没有答出t≠
A
P
E
K
D
B
Q
H
图
2
A
P
C
D
K

E
B
G
F
图
3
H
Q
C


155
或t＝35．
8

155
或t＝35者各扣1分，其余写法酌情给分）
8
下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：
①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图3．过点P作PG⊥BC于点G ，则
PG＝PB
·
sinB＝4t，又有QE＝4t ＝ PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能
成为直角三角形．
②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图2．
由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即
5t－50＋3t－30≠75，解得t≠
155
．
8
K
A
E
D
P
③当点
P
在
DC
上（不包括点
D
但包括点
C
），

即
25
＜
t
≤
35
时，如图
4
．由
ED
＞25
×
3
－
30
＝
45
，

可知，点
P
在以
QE
＝
40
为直径的圆的外部，故

∠
EPQ
不会是直角．

由∠
PEQ
＜∠
DEQ
，可知∠
PEQ
一定是锐角．

对于∠
PQE
，∠
PQE
≤∠
CQE
，只有当点
P
与
C 重合，即
t
＝
35
时，如图
5
，∠
PQE＝
90
°，△
PQE
为直角三角形．

综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠





B
F(Q)
A(E)
B
Q
C
图
4
D
图
5
155
或t＝35．
8
C(P)
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附录：
中考数学“动态问题及综合”专题训练试题
一、选择题
1，如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，A B＝13，点P从点
A出发，以3个单位s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点
B
出发，以1个单
位s的速度沿BA向终点A运动.在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形 时，运动时间
C
为（ ）
D
A.3s B.4s C.5s D.6s
P

A
B
Q

2，如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点 A
作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝
x
，AE＝
y
，则能反映y
与
x
之间函数关系的大致图象是
（ ）


y

12


y

12


y

12


y

12
4
44
4
5
55
5

0
3
5

x


0
3
5

x


0
3
5

x


0
3
5

x

（A） （B） （C） （D）
3，如图，一个等 边三角形的边长与和它的一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头
方向从某一位置沿等边三角形的三边 做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，问该圆转的圈
数是（ ）
A
A.1 B.2 C.3 D.4



B C

4，Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60º，将△ABC绕点B旋转60º，顶点C运动的路线
长是（ ）
π2π4π
B. C.
π
D.
333
5，钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（ ）
A.
A.
10202550
πcm B.πcm C.πcm D.πcm
33
33

6，如图，在菱形
ABCD
中，
B60
，点
E，F
分别从点
B， D
出发以同样的速度
沿边
BC，DC
向点
C
运动．给出以下 四个结论：①
AEAF
；②
CEFCFE
；③
当点
E，F
分别为边
BC，DC
的中点时，
△AEF
是等边三角形；④当 点
E，F
分别为边
BC，DC
的中点时，
△AEF
的面积最 大．上述结论中正确的序号有（ ）
A.①④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④

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Ａ

Ｄ

Ｆ

Ｂ

Ｅ

Ｃ

7，如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转3 0°到正方形AB′C′D′，图中阴影
部分的面积为（ ）
C B
A.


1

2
B.
3

3
C.1－
3

3
D.1－
3

4
B


C


D
A
8，如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，AB，且AA′


′⊥
D
BB
＝AP，BB′＝BP，连结A′B′.当点P从点A移到点 B时，A′B′的中点的位置（ ）
A.在平分AB的某直线上移动 B.在垂直AB的某直线上移动
B′
C.在

AmB
上移动 D.保持固定不移动
A′



9，用铝合金型材做一个形状如 图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光
面积为ym
2
，y与x的函数 图象如图12所示.当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是（ ）
A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米






图1 图2
10，如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，B C∥OA，OA＝7，AB
＝4，∠COA＝60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点O、点A重 合.连结CP，过点P
作PD交AB于点D. 若△OCP为等腰三角形，点P的坐标为（ ）
A.（4，0） B.（5，0） C.（0，4） D.（0，5）
y


C B


x
O

P A
二、填空题
11，如图，一张矩形纸片，腰折出一个最大的正方形.小明把矩形的一个角沿折 痕AE翻
折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形.他判定的方
法是________.
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A P O B

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12，如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中 点，把BC边向上翻折，
使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ＝ 度.
M
D
A

P

Q


C
B
N
13，等腰三角形底边长为8 cm，腰长5 cm，一动点P在底边上从点B向点C以0.25 cm
秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为______秒.
14，如图，已知圆柱体底面圆的半径为
2

，高为2，AB、CD分别是两底面的 直径，AD、
BC是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短D路线的长度是
＿＿＿(结果保留根式).





15 ，如图，点M是直线y＝2x＋3上的动点，过点M作MN垂直于
x
轴于点N，y轴上
是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形.小明发现：当动点M运动到（－1，1）时，y
轴上存在 点P（0，1），此时有MN＝MP，能使△NMP为等腰直角三角形.那么，在y轴和直
线上是否还存 在符合条件的点P和点M呢？请你写出其它符合条件的点P的坐标＿＿＿







16，先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐 标系的原点重合，边AB、AD
分别落在x轴、y轴上(如图1)，再将此矩形在坐标平面内按逆时针方 向绕原点旋转30°(如图
2)，若AB＝4，BC＝3，则图1和图2中点B点的坐标为 点C的坐标为 .







图1 图2
17，如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 006次，点P依次落在
点P
1
，P
2
，P
3
，P
4
，„，P
2006
的位置，则P
2006
的横坐标x2006
＝__________.


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18，如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米秒的速度沿直 线L向正方形移动，直到
AB与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym
2
.则y与x的关系式为＿＿
＿，当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动时间是＿ ＿＿.

D
A


10 10


L
10
C B
三、解答题
19，如图（13），在矩形ABCD
中，
AB4
，
AD10
．直角尺的直角顶点
P
在
AD
上滑动时（点
P
与
A，D
不重合），一 直角边经过点
C
，另一直角边
AB
交于点
E
．我们知
道，结论“
Rt△AEP∽Rt△DPC
”成立．
（1）当
∠CPD30
时，求
AE
的长；
（2）是否存 在这样的点
P
，使
△DPC
的周长等于
△AEP
周长的2
倍？若存在，求出

DP
的长；若不存在，请说明理由．
A
P
D


E
C

B
2 0，如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2.过A作直线l平行
于x轴，点P 在直线l上运动.
（1）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；
（2）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.






21，已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上 有一点C，将一个三角板的直角顶点
与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线 )相交于点D、E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图（1），易证：OD+OE＝
2
OC.
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图（2）、图（3）这两种情况下，上述
结论是否还成 立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数
量关系?请写出你的猜想 ，不需证明.



P


Q


（1）


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（

2

57
）

（3）
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22，如图，四边形
OABC
是一张放在平面直角坐 标系中的矩形纸片，点
A
在
x
轴上，
点
C
在
y
轴上，将边
BC
折叠，使点
B
落在边
OA
的点
D
处．已知折叠
CE55
，且
tanEDA
3
．
4
（1）判断
△OCD
与
△ADE
是否相似？请说明理由；
（2）求直线
CE
与
x
轴交点
P
的坐标；
（3）是否存在过点
D
的直线
l
，使直线
l
、直线
CE
与
x
轴所围成的三角形和直线
l
、
y
C
B
E
O D
直线
CE
与
y
轴所围成 的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；
如果不存在，请说明理由．







A

x
23，如图，矩形
ABCD
中，
AD3
厘米，
ABa< br>厘米（
a3
）．动点
M，N

同时
从
B< br>点出发，分别沿
BA
，
BC
运动，速度是
1
厘米 ／秒．过
M
作直线垂直于
AB
，
分别交
AN
，CD
于
P，Q
．当点
N
到达终点
C
时，点M
也随之停止运动．设运动时间为
t
秒．
（1）若
a4厘米，
t1
秒，则
PM
______厘米；
（2）若a5
厘米，求时间
t
，使
△PNB∽△PAD
，并求出它们的 相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形
PMBN
与梯形
PQD A
的面积相等，求
a
的取
值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在 运动过程中，存在某时刻使梯形
PMBN
，梯形
PQDA
，
梯形PQCN
的面积都相等？若存在，求
a
的值；若不存在，请说明理由．



A

24，如图，对称轴为直线
x
P
M
N
B
A
D
Q
C
D
Q
P
M
C
N
B
7
的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
2
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
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（2）设点E（
x
，
y
）是抛 物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA
为对角线的平行四边形．求平行四边形OEA F的面积S与
x
之间的函数关系式，并写出自
变量
x
的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存
在，请说明理由．
y
7

x


2


B(0,4)


F


x
O

A(6,0)





E
备用题：
1，如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD在直线l上按顺 时针方向不滑
．．
动的每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为 .
．

A
1
D

A
2
C


l
A
B

A
3


2，如图，直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转α度角（ 0°＜α
≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD的形状一定是_____形.














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中考专题一 练习答案：
一、选择题
1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C 7、C 8、C
9、C 10、C 11、B 12、B 13、B
二、填空题
14、130° 15、140° 16、40° 17、65° 18、36cm
2

19、124、6或 25、22或26 26、120° 27、30m
28、BC=EF或∠A=∠D或∠C=∠F 29、21.6m
三、证明题
30、BE=CF、∠B=∠C、BD=DC→△BED≌△CFD→∠1=∠2
31、△BED≌△CFD→BE=CF
32、∠A=∠DBA→AD=BD→CD+BD=AC=18、△CDB的周长是28→BC=10
33、AD=AE→∠ADE=∠AED→∠ADB=∠AEC→△ABD≌△AEC→AB=AC
34、
解：如图，根据题意，有AB∥CD，PM⊥CD于N点，
交AB于M点，且AB=20m，
CD=50m， PM=25m，
AB∥CD→△PAB∽△PCD→

37
2< br>C
A
P
M
B
N
PMAB
=
PNCD
D
→
=
→PN=62.5→MN=37.5


2520
PN50
中考专题二 练习答案：
一、选择题：
1. 6 2. D.3．（ B ） 4．（ C）5 ( B )6、（B 7、（D8、（D）9、（①AB∥CD；
②AC⊥BD；③AO=OC； 10.( B ).11．C. 12．（ C ）13．B．14（C）15、 D． 16.
(D ) 17.(_70°18、 ( D)
19.
20、DE= 5。8 cm.21、 C.菱形
22．解：（1）AC＝
43
cm，BC＝
23
cm
（2）所求几何体的侧面积S＝
1
 (2

23)4324

（
cm
2
）
2
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23、∵
DEBC
，
EFAB

∴四边形DBFE是平行四边形
∴ DE=BF,
∵

F
是
BC
的中点．
∴BF=CF
∴
DECF

24．：可连结DH，证明 ΔDHE≌ΔDHF或连结EF，通过证明等腰三角形得证。

25.(1)证明:∵在△A BC与△EFD中,AB=EF,由EF∥AB得∠BAC=∠FED.由AD= CE得AC=ED.
∴△ABC≌△EFD.
(2)四边形BDFC是平行四边形.
证明:∵△ABC≌△EFD,
∴BC=FD,∠BCA=∠EDF.
∴BC∥FD
∴四边形BDFC是平行四边形.

26剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用.
∵平行四边形
AB CD
中，
AE
∥
CF
，∴
12
.
A

E
1
D
又
AOECOF< br>，
AOCO
.
∴△
AOE
≌△
COF
，∴
EOFO
.
∴四边形
AFCE
是平行四边形 .
又
EFAC
，∴□
AFCE
是菱形.
27. _
3
_______. 28___
2
_______

29、
B
F
O
2
C



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中考专题三 答案
A9 (1)小明的结果不对
设小路宽xm，则得方程(16-2x)(12-2x)=16³122解得：x
1
=2．x
2
=12
而荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x
2
=12m不合题意
(2)由题意得：4³πx
2
4=16³122
x
2
=96π x≈5．5m
答：小颖的设计方案中扇形的半径约为5．5m．
(3)

中考专题四 答案
7、y
2
＞y
1
＞y
3
中考专题五 答案
（1）三角函数的定义和性质
1、
125
5295
2、 、 3、2 4、
132
295
0
5、10 6、
5
7、
1.5m2
8、54
9、B 10、 A 11、C 12、
3
13、B
（2）特殊角的三角函数值
1、
1
2
2、1 3、 4、A 5、D 6、A
2
2
7、（1）1、
3335635
（2）

或
321212
3

2
（3）
23
(4)

（3）解直角三角形
A
1、
c5

sin
3434

cosA

tanA

cotA

5543
（3）
103
（4）35 2、（1）
215
（2）10
3、 5 、
52
4、
a10

b53
5、
c103

d10

6、
343173

f

33
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B
7、（1）
c5

sin
4343
B

tanB

cotB

cos
5534
4343
B

cosB

tanB

cotB
（2）
b8

sin
5534
8、解：设BC=3k，AC=k
C90


AB5k

3434
sinA,cosA

tanA,cotA

5543
9、解：过A作AD

BC，垂足为D。

ADCADB90


A45,AC22


AD2


B60,AD2


AB3

中考专题六 答案
1、
30
2、
3
3、C 4、C 5、
6、 7、B
8、解：设铁塔AB高x米

B30


cotC
3503

3
BC14BD
3

ABAB
在
RTABD
中

ADB45

即
14x
3

x
解得：x=
(737)
m
答：铁塔AB高
(737)
m。
9、解：过B作BF

CD，垂足为F

AEBF

在等腰梯形ABCD中
AD=BC
CD

iBC2:3


AE=3m

DE=4.5m

AD=BC，
CD
,
CFBDEA90

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

BCF


ADE

CF=DE=4.5m

EF=3m

BFEAEF90


BFCD

四边形ABFE为平行四边形

AB=EF=3m
10、
解：


45

BPC45
在RT

BPC中
BC60m

CP60m
在矩形ABCD中
AD=BC=60m


30

APD60
在RT

APD中
AD=60m,
APD60

PD203
CDAB(60203)m答：AB高
(60203)
米。

11、（1）过A作AC

BF，垂足为C (2)
在BF 上取D
，
使AD200km
在BF上取E
，
使AEAD

AC150km,ad200km
CD507km
DE1007km< br>
v107kmh
1007km
10h
km
107
h

160

ABC30
在RT

ABC中
AB=300km

ABC30
AC150km
A城会受到这次台风的影响


t



中考专题七 答案
答：A城遭遇这次台风影响10个小时。

作业2解：
(1)把(-2 ，-8)代入y＝ax
2
，得-8＝a(-2)
2
，解出a＝-2，所求函数 式为y＝-2x
2
，
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因为-4≠-2(-1)
2
，所以点B(-1，-4)不在此抛物线上；
（2）由
有两个，它们分别是（
，得 ， ，所以此抛物线上，纵坐标为-6的点
，-6） ，-6）与（
3、 解：（1）将x=1，y=b代入y=2x-3，解得b=-1。∴交点坐标是（1，-1），再将x=1, y=-1
代入y=ax
2
，解得a=-1。∴a=-1, b=-1。
（2）抛 物线的解析式为y=-x
2
顶点坐标为（0，0），对称轴为直线x=0（即y轴）如图
（3）当x<0时，y随x的增大而增大。
（4）设直线y=-2与抛物线y=-x
2
相交于A、B两点。
由
∴


∴S△AOB= .
中考专题九 作业答案
参考答案

一、1.y=2x
2
+8x+11 2. 2 3.向下 两侧右侧
4.y=－
5
2
x 5.2 6.－2 －2 4 7.第四 8.(－4，－4)
4
二、9.D 10.B 11.C 12.D 13.D 14.B 15.D 16.B
三、17.y=x
2
+2x+1(不唯一).
4acb
2
4112
2

∵=0,
4a41
∴抛物线顶点的纵坐标为0.
当x=0，y=1时符合要求.
18.解：把抛物线y=－3(x－1)
2
向上平移k个单位，所得的抛物线为y=－3(x－ 1)
2
+k.
当y=0即－3x
2
+6x－3+k=0时，
3k
,

3
2k626
.
∴x
1
2
+x
2
2
=(x
1
+x
2
)
2
－2x
1
x
2
=4+
39
4
解得k=.
3
∵x
1
+x
2
=2，x
1
²x
2
=
四、19.解：正确.
抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图.(仅举两例)
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y
y
x

2-20
O
0
-6
-20
6
O
x
20


y
3
2
x

200

y
3
2
x6

20 0
20.解：(1)y=－0.1x
2
+2.6x+43=－0.1(x－13)2
+59.9.
∴当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强.
当13(2)当x=10时，y=59,x=13时，y取最大值.
∴第13分钟时，学生的接受能力最强.
(3)前13分钟尽快进入状态，集中注意力，提高学习效率，13分钟后要注意调解.
五、21.解：(1)依题意，能求出.

4abc,

a1,

解得

b2,
∴

c3a ,

0abc,

c3.

中考专题十一 实际问题与二次函数
答案：
1．10 1 800
2．A
3．C 点拨：由题意知OC=c，∴OB=c，OA=2c，
∴方程ax
2
+bx+c=0的根为x
1
=-2c，x
2
=c，
2


a

(2c)b

(2c)c0,
∴

2



acbcc0.

4ac2b10,
∴


acb10.

由②³4-①，得6b+3=0，
∴b=-
①
②
1
．
2
4．D
5．（1）y=x
2
-2x （2）-1或3 （3）小于0或大于2，大于0小于2
6．四
7．B
8．
75
点拨：由方程2x
2
-3x-5=0的两根是，-1知 二次函数y=2x
2
-3x-5的图象与x轴的
22
57
两个交点为 （，0），（-1，0），所以它们之间的距离是．
22
9．（-3，0） （1，0） -（x+3）（x-1）

10．（1）顶点为（0，3.5），篮圈坐标为（1.5，3.05）．
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设函数解析式为y=ax
2
+3.5•，代入（ 1.5，3.05）解得a=-0.2，
故篮球运行轨迹所在的抛物线的解析式为y=-0.2x
2
+3.5．
（2）当x=-2.5时，y=2.25．
故跳投时，距地面的高度为2.25-1.8-0.25=0.2m． 8．C
11．（1）如下表所示：
车站序号
1
2
3
4
5
„
n
在第x个车站启程时邮政车厢邮包
n-1
（n-1）-1+（n-2）=2（n-2）
2（n-2）-2+（n-3）=3（n-3）
3（n-3）-3+（n-4）=4（n-4）
4（n-4）-4+（n-5）=5（n-5）
„
0
（2）y=x（n-x）；
（3）当n=18时，y=x（18-x）=-x
2+18x=-（x-9）
2
+81，
当x=9时，y取得最大值，所以列车在第9个车站启程时，邮政车厢上邮包的个数最多．

12．（1）函数的图象如图所示．

（2）图象可看成一条抛物线，这个函数可看作二次函数．
（3）设所求函数关系式为：
s=av
2
+bv+c，把v=48，s=22.5；
v=64，s=36；v=96，s=72分别代入s=av
2
+bv+c，得

48
2
a48bc22.5,



64
2
a64bc36,


96
2
a96bc72.

3

a,

51 2

3
3
2
3

,
∴s= 解得

b
v+v．
512
16
16


c0


3
2
3
3
3
v+v =³80
2
+³80=52.5．
512
16
512
16
3
2
3
3
3
当v=112时，v+v=³112
2
+³112=94.5．
512
16
512
16
（4）当v=80时，
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经检验，所得结论是正确的．
13．设每件童装应降价x元．
由题意可列关系式为（20+2x）（40-x）=-2x< br>2
+60x+800=-2（x-15）
2
+1 250，
则x=15时可获得最大利润．
∴每件童装应降价15元．
14．（1）如图所示，建立坐标，设一条抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C，•
根 据题意有A（0，1.25），B（1，2.25），设抛物线为y=a（x-1）
2
+2.2 5．

将点A坐标代入，得a=-1，
∴y=-（x-1）
2
+2.25．
令y=0，得x
1
=-0.5（舍去）．
x
2
=2.5．
∴水池的半径至少要2.5m．
（2）由于抛物线形状与（1）相同可设此抛物线为y=-（x+m）
2
+k，
再将点A（0，1.25）及点（3.5，0）代入，解方程组可求得m=-
所以，此时水流最大高度达3.7m．
15．（1）S=t
2
-6t+72；0 （2）由S=（t-3）
2
+63．
即当t=3时，S有最小值为63cm
2
．
16．（1）抛物线BCB的表达式为y=-
x=2时，y=7
11141
，k=3≈3.7，
7196
1
2
x+8．
32
7
m>7m，所以汽车能完全通过．
8
（2）当x=4时，y=7.5m>7m，所以仍能安全通过．
（3）限高为7.2m较适宜．（答案不唯一，符合情理即可）
∴D点的坐标为（2，2）．
∵点P在直线ED上，故设P点的坐标为（x，2），
∵P在抛物线上，
∴2=x
2
-4x，
x=
4168
=2±
6
．
2
∴P（2+
6
，2）或P（2-
6
，2）为所求．
1
2
t+4t-8；
3
111
（3）W=（t-5）
2
+．
33
17（1）5元；（2）Q=-
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t=5时，W
最小
=
11
元．
3
∴30 000件商品一个月内售完至少获得110 000元利润．
18．（1）P=20+x；
（2）Q=（500-5x）（20+x）+50x；
Q=-5x
2
+450x+10 000；
（3）设总利润为M，M=Q-10 000-150x=-5x
2
+300x．
当x=30时，总利润最大，最大利润是4 500元．
19．（1）设运动开始后第xs时，△PBQ的面积等于8cm
2
，
根据题意，得
1
²（6-x）²2x=8，
2
∴x
2
-6x+8=0，
∴x
1
=4，x
2
=2．
答：运动开始后第2s或第4s时，△PBQ的面积等于8cm
2
．
（2） 由题意得S=6³12-
1
（6-t）²2t，∴S=t
2
-6t+72（0 2
点拨：在实际应用中，应注意自变量取值范围不再是全体实数这一根据所在．
20．（1）∵AB=xm，
∴BC=（24-3x）m．
∴S=x（24-3x）=-3x
2
+24x．
∵x>0，0<24-3x≤10，
∴
14
≤x<8．
3
14
≤x<8）．
3
∴S与x的函数关系式是S=-3x
2
+24x（
（2）当S=45时，-3x
2
+24x=45，即x
2
-8x+15=0．
解得x
1
=3，x
2
=5．
而当x=3时，不满足
14
≤x<8，故舍去，只取x=5．
3
∴要围成面积为45m
2
的花圃，AB的长是5m．
（3）不能围成面积比45m
2
更大的花圃．
∵当S>45时，-3x
2
+24x>45，即x
2
-8x+15>0．
∴（x-3）（x-5）>0．
∵
14
≤x<8，∴x-3>0，x-5>0．
3
∴x>5，∴5 ∵S=-3x
2
+24x=-3（x-4）
2
+48，
∴当x>4时，S随x的增大而减小．
∴当5∴不能围成面积比45m
2
更大的花辅．




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附录 参考答案：
一、1，B；2，C；3，C；4，B；5，B；6，C；7，C；8，D；9，B；10，A. 二、11，对角线平分内角的矩形是正方形；12，30；13，7或25；14，2
2
； 15，（0，
0），（0，
3
433334
），（0，－3）；16，B （4，0）、（2
3
，2）、C（4，3）、（，）；
4
22
CD< br>PD
17，2006；18，y＝2x
2
、5秒.
三、19，（1） 在
Rt△PCD
中，由
ta∠nCPD
，得
CD4
EP∽ △DPC
43
，由
△A
APADPD1043
，
tan∠CPDtan30
AEAPAP

PD
Px
，
AE10312
．知，（2）假设存在满足条件的点
P
，设< br>D
PDCDCD
则
AP10x

CD4
2
，
2
，解得
x8
，此时
AP2
，
AE4
由
△AEP∽△DPC
知
AP10 x
PD
符合题意．
20，（1）由于A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2，所 以依题意易求得点P的坐标是
（2，3）或（6，3）；（2）如图，作AC⊥OP，C为垂足.因为∠ ACP＝∠OBP＝90°，∠1＝
∠1，即△ACP∽△OBP，所以
ACAP
＝. 在Rt△OB中，OP＝
OB
2
BP
2
＝
153
，又
OBOP
AP＝12－4＝8，所以
交.




AC
8
＝，即AC＝24÷
153
≈1.94.因为1. 94＜2，OP与⊙A相
3
153
21，图（2）结论：OD+OE＝
2OC. 证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别
为P、Q.则容易得到△CPD≌△CQE ，所以DP＝EQ，即OP＝OD+DP，OQ＝OE－EQ，又
由勾股定理，得OP＝OQ＝
2
OC，所以OP+OQ＝
2
OC，即OD+DP+OE－EQ＝
2
OC，
2
所以OD+OE＝
2
OC.图（3）结论：OE－OD＝
2
OC.
22，（1）
△OCD
与
△ADE
相似．理由如下 ：由折叠知，
CDEB90°
，
∴1290°
，

1390

，
23.
又
∵CODD AE90°
，
∴△OCD∽△ADE
．（2）
∵tanEDA
AE3

，
∴
设
AE3t
，则
AD4t
．
AD4
由勾股定理得
DE5t
．
∴OCABAEEB AEDE3t5t8t
．由（1）
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70
九年级 思维数学上册

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△OCD∽△ADE
，得
OCCD8tCD
，
∴
，
∴CD10t
．在
△DCE
中，
ADDE4t5t
∵CD
2
DE
2
CE
2，
∴(10t)
2
(5t)
2
(55)
2
，解得
t1
．
∴OC8，AE3
，点
C
的坐标为(0，
点
E
的坐标为
(10，
设直线
CE
的解 析式为
ykxb
，
8)
，
3)
，
∴


10kb3，

b8，
1

k，1

解得

（3）满足条件的直线
l
有2条：
0)
．
2
∴yx8
，则点
P
的坐标为
(16 ，
2

b8，
y

l
y2x12
，
y2x12
．如图2：准确画出两条直线．









23，（1）
PM
N
C
M
B
G
E
P
O D
A
x
F
3
，（2 ）
t2
，使
△PNB∽△PAD
，相似比为
3:2
（3）
4
PMAM
PM⊥AB，CB⊥AB，AMPABC
，
△A MP∽△ABC
，

即
BNAB
PMatt(at)t(a 1)
，PM
，
QM3
当梯形
PMBN
与梯形< br>PQDA
的面积
taaa
t(at)

t
< br>33(a1)(at)t

t
(QPAD)DQ(MPBN )BM

aa






相 等，即
22
22
化简得
t
6a6a
3a≤6
，
≤3
，则
a≤6，
，
t≤3
，

（4 ）
3a≤6
时，
6a6a
梯形
PMBN
与梯形PQDA
的面积相等

梯形
PQCN
的面积与梯形
PM BN
的面积相等即
可，则
CNPM
(at)3t
，把t
t
a
6a
代入，解之得
a23
，所以
a23
．所
6a
以，存在
a
，当
a23
时梯 形
PMBN
与梯形
PQDA
的面积、梯形
PQCN
的面积相 等．
24，（1）由抛物线的对称轴是
x
77
2
，可设解析式为
ya(x)k
．把A、B两点
22
关注每一位学生的成长 让每一位学生都有进步
71
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7
2

a(6)k0,
< br>225

2
.
故抛物线解析式为坐标代入上式，得

解之，得
a,k
36

a(0
7
)
2k4.

2
2725725
(x)
2

，顶点为
(,).
（2）∵点
E(x,y)
在抛物线上，位于第四象限， 且
32626
27
2
25
坐标适合
y(x)
，∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是
326
17
OE AF
的对角线，∴
S2S

OAE
2OAy6y 4()
2
25
．因为抛物线与
22
y
x
轴的 两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量
x
的取值范围是1＜
x
＜ 6．①根据题
7
2
2
意，S = 24时，即
4(x)25 24
．化简，得
(x)
7
2
2
1
.
解之，得
x
1
3,x
2
4.
4
故所求的点E有 两个，分别为E
1
（3，－4），E
2
（4，－4）．点E
1
（3，－4）满足OE = AE，
所以
OEAF
是菱形；点E
2
（4，－4）不满足OE = AE，所以
OEAF
不是菱形．②当OA
⊥EF，且OA = EF时，
 OEAF
是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，
－3）的点不在抛物 线上，故不存在这样的点E，使
OEAF
为正方形．

备用题：1，12π；2，平行四边.




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