心海-痴心绝对歌词

常见数列公式
等差数列
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起， 每一项与它前一项的差等于同
一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列， 这个
常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：

数))
3．有几种方法可以计算公差d
① d=－ ② d= ③ d=
成等差数列
(m, n, p, q ∈N )

或 =pn+q (p、q是常
4．等差中项：
5．等差数列的性质： m+n=p+q
等差数列前n项和公式
6.等差数列的前项和公式
（1） （2） （3），当
d≠0，是一个常数项为零的二次式
8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用
的值
的值
（2） 利用
等比数列
：由二次函数配方法求得最值时n的值
：当
当
>0，d<0，前n项和有最大值可由
<0，d>0，前n项和有最小值可由
≥0 ，且
≤0，且
≤0，求得n
≥0，求得n
1．等比数列：如果一个数列从第二 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列 的公比；公比通常用字
母
q
表示（
q
≠0），即：
2.等比 数列的通项公
式:
=
q
（
q
≠0）
，

3．｛｝成等比数列=
q
（,
q
≠0） “≠0”是数列｛｝成
等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
5．等比中项：
G
为
a
与
b
的等比中项. 即
G
=±（
a
,
b
同号）.
6．性质：若m+n=p+q，
7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
8．等比数列的增减性：
当q>1,
当q>1,
>0或0<0,或0<0时, {
>0时, {
}是递增数列;
}是递减数列;
当q=1时, {}是常数列;
当q<0时, {}是摆动数列;
等比数列前n项和
等比数列的前n项和公式：
∴当时，

① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于
已知数列类型的题 目．
例1．等差数列
．求数列
解：设数列
∵
即
∵
∵
， ∴
∴
，
是递增数列，前n项和为
的通项公式.

，

………………………………①
…………②
，且成等比数列，
公差为
成等比数列，∴
由①②得：

∴
点评：利用定义法求数列通项时要注 意不用错定义，设法求出首项与公差
（公比）后再写出通项。
二、公式法
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式
求解。
例2．已知数列
式。
解：由
当时，有

……，




的前项和满足．求数列的通项公

经验证也满足上式，所以
点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但
若能合写时一定要合并．
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换， 转化为等差
数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1 递推 公式为
解法：把原递推公式转化为
(2004全国卷I.22)已知数列
……，求数列
例3. 已知数列满足
中,

，利用累加法(逐差相加法)求解。
,其中
的通项公式。P24（styyj）
，，求。

解：由条件知：
分别令，代入上式得


所以
，
类型2 （1）递推公式为




个等式累加之，即
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
(2004全国卷I.15)已知数列{
an
}，满足
a
1=1，
a
n=
a
1+2
a
2+3
a
3+…+(
n< br>－1)
an
－
1(
n
≥2)，则{
an
}的 通项

例4. 已知数列
解：由条件知
乘之，即

满足
P24（styyj）
，
，分别令
，求。
，代入上式得个等式累

又
（2）．由
由已知递推式有
代入，得
，
简记为
（3） 递推式：
列，消去
，这就是叠（迭）代法的基本模式。
解法：只需构造数
带来的差异．
，
和确定的递推数列
，
的通项可如下求得：
，，依次向前

例5．设数列
解：设
得
：
，将
，求.
代入递推式，


…（１）则
代入（１）得
说明：（1）若为
;(2)
,
减得转化为
,又

的二次式，则可设
本题
（
也可 由
，故
）两式相
求之.
例6．已知
解：
， ，求。


类型3 递推公式为
解法：把原递推公式转化为：
化为等比数列求解。
(2006.重庆.14）在数列中，若
。
（其中p，q均为常数，
，其中
）。
，再利用换元法转
，则该数列的通项
P24（styyj）
例7. 已知数列
解：设递推公式
故递推公式为
中， ，
可以转化为
,令
，求.
即
，则
.
,且

.所以
,所以
类型4 递推公式为
是以
.
为首项，2为公比的等比数列，则
（其中p，q均为常数，
）。 （或
（2006全国I.22）（本小题满分12分）
设数列
（Ⅰ）求首项
的前项的和
与通项
,其中p，q, r均为常数）
，
； P25（styyj）
，解法：该类型较类型3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以
得：
引入辅助数列
决。
例8. 已知数列
解：在
令，则

类型5 递推公式为
解法：先把原递推公式转化为
其中s，t满足
已知数列
（I）求数列
例9. 已知数列
解：由
（其中p，q均为常数）。


（其中），得：再应用类型3的方法解
中，,
两边乘以得：
，求。

所以,应用例7解法得：
，再应用前面类型3的方法求解。
满足
（2006.福建.理.22）（本小题满分14分）
的通项公式； P26（styyj）
中，,
可转化为
,，求

。

即或
这里不妨选用（当然也可选用
是以首项为
，大家可以试 一试），则
，公比为的等比数
，代入上列,所以
式得
,应用类型1的方法，分 别令
个等式累加之，
即
又，所以
与
。
的关系式。(或

类型6 递推公式为)
解法：利用进行求解。
(2006.陕西.20) (本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和S n满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数
列，求数列{an}的通项an P24（styyj）
例10. 已知数列
（1）求与
前n项和
的关系；（2）求通项公式
得：

.
得：
.
.
解：（1）由
于是
所以（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以

由.于是数列是以2为首项，2为公差的 等差数
列，所以
类型7 双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求
解。
例11. 已知数列
,
解：因
所以
即
又因为
所以< br>.即
……
………………………（2）
…………………………………………（1）


中，；数列
，求,.


中，。当时，
由（1）、（2）得：，
四、待定系数法（构造法）
求数 列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观
察、分析、推理能力要求较高。通 常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等
比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的 化归思想，而运用待定系
数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
1、通过分解常 数，可转化为特殊数列{
a+k
}的形式求解。一般地，形如
a=p
a+q
（
p
≠1，
pq
≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数
q
分解法：设
a+k=p
（
a+k
）与原式比较系数可得
pk－k
=
q
，即
k=
，从而得等比数列
{
a+k
}。
例12、数列{a}满足
a
=1，
a
=
a< br>+1（
n
≥2），求数列{
a
}的通项公式。

解：由
a
=
a
+1（
n
≥2）得
a
－2 =（
a
－2），而
a
－2=1－2=－1，
∴数列{
a
－2}是以
∴
a
－2=－（）
为公比，－1为首项的等比数列
∴
a
=2－（）
说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{
a
－2}，
从而达到解决问题的目的。
例13、数列{
a
}满足< br>a
=1，
解：由
设
a
∴{
∴
例14．已知数 列
解：设
满足
，则
是以
点评：求递推式形如
，且
} 是以
得
，比较系数得
为公比，以

，求
，
为首项,以3为公比的等比数列

（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法
．

解得
,求数列{
a
}的通项公式。
为首项的等比数列
或待定系数法构 造新数列来求得,也可用“归纳—猜想—
证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．
例15．已知数列
解：将
设，则
．条件可化成
项，为公比的等比数列．满足
两边同除
．令
，数列
．因
是以
,
，
，得

为首
，求．

．
点评：递推式为
，令
（p、q为常数）时，可同除
从而化归为
，得
（p、q为常数）型．
的形式求解。这种方法适用于
：设
。
满足
2、通过分解系数，可转化为特殊数列
型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列
，比较系数得，可解得
（2006.福建.文.22）（本小题满分14分）已知数列

（I）证明：数列
（II）求数列
例16、数列
分析：递推 式
把中间一项
解：由
即
∴
满足
是等比数列；
的通项公式；
=0，求数列{a}的通项公式。
中含相邻三项，因而考虑每相邻两 项的组合，即
的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列
得
，且

。
是以2为公比，3为首项的等比数列
∴
利用逐差法可得

=
=
=
=
∴
例17、数列
解：由
比较系数得

中，
得
，解得
设
或
，求数列的通项公式。

若取
∴
，则有
是以为公比，以


为首项的等比数列
∴
由逐差法可得

=
==
，则有


即得

说明：若本题中取
为常数列,
故可转化为例13。
例18．已知数列
解：设
满足,

,求．
或
则条件可以化为
为的等比数列,所以
．

是以首项为， 公比
．问题转化为利用累加法求数列的通项的
问题，解得
点评：递推式为
上述 已知题型．
（p、q为常数）时，可以设
,求出，从而化归为，其待定常数s、t由