雪人骑士出装-项目计划

全国名校高一数学寒假优质自学学案、专题汇编（附详解）
数列及其基本概念
变量与函数是描述事物运动和变化的最重要的数学工具
之一，数列就是当变量成离散变化状态时的一种 数学模式，
正是由于数列变化的离散性，计算机就大有用武之地，可以
计算出数列的成千上万项 来观察数列的变化情况. 教育贷款
问题、储蓄收益问题、放射性物质的衰变、物种种群数量问
题等蕴含的数学模式都是数列. 我们将讨论最简单的两类数
列，即等差数列和等比数列，为研究更复杂的数列奠定必要
的基础.
玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天.
坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环.
数列寻根属函数，自成一格意盎然.
等差等比初学步，登堂入室看来年.
【教学•建构】
自主学习1 阅读教材31-33页文字和例题，带着下列
问题进行自主学习
问题1 什么是数列？什么是数列的项、首项？
问题2 数列如何用数学符号语言来表示？
问题3 什么是数列的通项公式？

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【应用•探究•思考】
探究1 数列的本质是什么？




探究2 关于通项公式的若干思考
（1）数列的通项公式唯一吗？




（2）数列一定有通项公式吗？





（3）我们可以通过数列

a
n

的通项公式，确定数列

a
n

项
数和项的关系， 进一步值得思考的问题是：还有没有其他可
以确定数列的方法？

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例 已知点列

a
n

的第1项为1，第2项为1，以后各项
由
a
n2
a
n1
a
（给出，则这个数列的第6项为_ ________.
nN
*
）
n

定义 如果数列

a
n

的任一项
a
n1
与它 的前一项
a
n
（或多项）
之间的关系可用一个公式来表示，即
an1
f(a
n
)
，那么这个公
式就叫做数列
a
n

的递推公式，
a
1
就成为数列

a
n

的初始条件.
事实表明，这种方法更便于计算机编程进行计算.
例 根据递推公式和初始条件

a
n1
2a
n
1
,n1


a1

1
写出数列

a
n

的前5项.


【数学史料】该式为古印度有名的河内塔问题．传说
中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣庙 里留下了三根金
刚石的棒，第一根上面套着64个金环，最大的一个在底下，
其余的一个比一个 小，依次叠上去. 庙里的众僧不倦地把它
们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一< br>根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的
上面. 相传神同时发了咒语，当所有 的金环全部移完时，就
是世界末日到来的时候。那么，众僧们要移动多少次呢？
可见，在计算 机中，由递推公式和初始条件确定的数列
可由反馈过程实现，输入
a
n
后，计 算机一方面输出
a
n1
f(a
n
)
，

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另一方面反馈回输入端．因此，只要 输入
a
1
，计算机将自动
按顺序输出数列

a
n< br>
的每一项．
探究4 数列的分类标准
（1）按项数分类







（2）按项与项之间的大小关系（能否给出定义？）








例 已知数列

a
n

的通项公式为
a
n
3n19
， 求数列

a
n

的最
小项．

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【复习•思考】整理笔记，巩固记忆课堂教学内容

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