即将-观沧海曹操

数列解题方法
一、基础知识：







等差数列


等差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等比数列
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前n项和
数列
数列的定义
数列的有关概念
数列的通项
数列与函数的关系
项
项数
通项

数列：
1．数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的
每一个数叫做数列的项 ．
2．数列的项的性质：① 有序性 ；② 确定性 ；③ 可重复性 ．
3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项 ，其中右下角标表
示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成
a
1
，a
2
，
a
3
，
…
，
a
n，
（…），简记作 {
a
n
} ．其中
a
n
是该数列的第
n
项，列表法、 图象法、
符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公
式）都是表示数列的方法．
4．数列的一般性质：①单调性 ；②周期性 ．
5．数列的分类：
①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ；
②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、
其他；
③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；
④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．
6．数列的通项公式：如果数列{
a
n
}的第
n
项
a
n
与它的序号
n
之间的函数
关系可以用一个公式
a
n
=f
（
n
）（
n
∈N
+
或其有限子集{1，2，3，…，
n}） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．数列的项是
指数列中一个确定的数，是函数值，而 序号是指数列中项的位置，是自
变量的值．由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项
的序号值 ，纵坐标是 各项的值 ．不是所有的数列都有通项公式，数

1

列的通项公式在形式上未必唯一．
7．数列的递推公式：如果已知数列{< br>a
n
}的第一项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项< br>a
n
-1
（或前几项
a
n-
1
，
a
n
-2
，…）间关系可以用一个公
式
a
n
=f
（
a
n1
）（
n
=2，3，…） （或
a
n
=
f
（
a
n1
,
a
n2
）(
n=
3，4，5，…)，…）
来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 ．
8．数列的求和公式：设
S
n
表示数列{
a
n
}和前
n
项和，即
S
n
=

a
i
=
a
1
+
a
2
+…
i1
n
+
a
n
，如果
S
n
与项数
n
之间 的函数关系可以用一个公式
S
n
=
f
（
n
）
（
n
=1，2，3，…） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 ．
9．通项公式与求和公式的关系：
通 项公式
a
n
与求和公式
S
n
的关系可表示为：
a< br>n


等差数列与等比数列：

文
字
定
义
符
号
定
义
递
分
类
递增数列：
d0

递减数列：
d0

常数数列：
d0

增数列：
a
n1
a
n
d

a
n1
q(q0)

a
n

S
1
(n1)


S
n
S
n1
(n2)
等差数列 等比数列
一般地，如果一个数列从第二一般地，如果一个数列从第二
项起，每一项与它的前一项的项起， 每一项与它的前一项的
差是同一个常数，那么这个数比是同一个常数，那么这个数
列就叫等差数 列，这个常数叫列就叫等比数列，这个常数叫
等差数列的公差。 等比数列的公比。


a
1
0，q1或a
1
0，0q1
< br>递减数列：
a
1
0，q1或a
1
0，0q1

摆动数列：
q0


2

常数数列：
q1

通
a
n
a< br>1
(n1)dpnqa
m
(nm)d

项 其 中
aq
n1
a
pd,qa
n
a
1mq
nm
（
q0
）
1
d

前< br>n
S
n(a
1
a
n
)
n

2
na
n(n1)d
1

2
pn
2
qn


a
1
(1q
n
)
项
其中
S

q
(q1)
n


1p
d
2
,qa
1

d
2




na
1
(q1)
和
中
项
a,b,c成等差的充要条件:2bac

a,b,c成等比的必要不充分条件：b
2
ac

等和性：等差数列

a
n


等积性：等比数列

a
n


若
mn pq
则若
mnpq
则
主
a
m
a
n
a
p
a
q

a
m
a
n
a
p
a
q
要
推论：若
mn2p
则推论：若
mn2p
则
性
a
m
a
n
2a
p

a
m
a
n
(a
p
)
2

质
a
nk
a
nk
2a
n
a
nk
a
nk
(a
n
)
2

a
1
a
n
a
2
a
n1
 a
3
a
n2


a
1
an
a
2
a
n1
a
3
a
n 2


即：首尾颠倒相加，则和即：首尾颠倒相乘，则积
相等 相等
1、等差数列中连续
m
项的和，1、等比数列中连续项的和，
组成的新数列是等差数列。即： 组成的新数列是等比数列。即：

s
m
,s
2m
s
m
,s
3m
s
2m
,< br>等差，公
s
m
,s
2m
s
m
,s
3m
s
2m
,
等比，公比为
差为
m
2< br>d
则有
s
3m
3(s
2m
s
m
)

q
m
。
其 2、从等差数列中抽取等距离的 2、从等比数列中抽取等距离
项组成的数列是一个等差数的项组成的数列是一个等比数

3

列。 列。
如：
a
1
,a
4
,a
7
,a
10
,
（下标成等差
如：< br>a
1
,a
4
,a
7
,a
10
, 
（下标成等差
它 数列） 数列）
3、

a
n

,

b
n

等差，则

a
2 n

，

a
2n1

，3、

a
n

,

b
n

等比，则
< br>a
2n

，

a
2n1

，

ka
n
b

，

pa
n
qb
n

也等差。

ka
n


4、等差数列

a
n

的通项公式是
也等比。其中
k0


n
的一次函数，即：
4、等比数列的通项公式类似

a
n
dnc
(
d0
)
于
n
的指数函数，
等差数列

a
n

的前
n
项和公式
即：
a
n
cq
n，其中
c
a
1

q

是一个没有常数项的
n
的二次
函数，
等比数列的前
n
项和公式是
性 即：
一个平移加振幅的
n
的 指数函
S
n
An
2
Bn
(
d0
)
5、项数为奇数
2n1
的等差数列
数，即：
s
n
cq
n
c
(
q
1)

有：
5、等比数列中连续相同项数

s
的积组成的新数列是等比数
奇

s

n
n1
s
奇
s
偶
a
n
a
中

偶
列。

s
2n1
(2n1)a
n

质
项数为偶数
2n
的等差数列
有：
s
奇
s

a
n
，
s
偶
s
奇
nd

偶
a
n1
s
2n
n(a
n
a
n1< br>)

6、
a
n
m
,
a
m
n
则
a
mn
0


s
n
 s
m
则
s
mn
0(nm)

s
n< br>m,s
m
n
则
s
mn
(mn)


4

证明一个数列为等比数列的方
证证明一个数列为等差数列的方
法：
明法：
1、定义法：
a
n1
q(常数)

a
n
方1、定义法：
a
n1
a
n
d(常数)< br>
法 2、中项法：
aa2a(n2)

2、中项法
n 1n1n
：
2
a
n1
a
n1
（an
）(n2,a
n
0)

设
元三数等差：
ad,a,ad

三数等比：
a
,a,aq或a,aq,aq
2

q
技四数等差：
a3d,ad,ad,a3d

四数等比：
a,aq,aq
2
,aq
3

巧 1、若数列

a
n

是等差数列，则数列

C
a

是等比数列，公比为
C
d
，
n
联其中
C
是常数，
d
是

a
n

的公差 。
系 2、若数列

a
n

是等比数列，且
a< br>n
0
，则数列

log
a
a
n

是等差数列，
公差为
log
a
q
，其中
a
是常数且
a0,a1
，
q
是

a
n

的公比。
(n1)

s
1
数列的项
a
n
与前
n
项和
S
n
的关系：
a
n



ss(n2)

nn1
数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊
数列求和。
2、错项相减法：适用于差比数列（如果

a
n

等差，

b
n

等比，那么

a
n
b
n< br>
叫
做差比数列）
即把每一项都乘以

b
n

的公比
q
，向后错一项，再对应同次项相
减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限
几项，可求和。

5

适用于数列


1


a

和



1


n
a
n1



a

（其中

a
n

等差）
n
a
n1


可裂项为：
11111
aa

d
(
a
)
，

1
(a
n1
a
n
)

n

n 1n
a
n1
a
n
a
n1
d
等差数列 前
n
项和的最值问题：
1、若等差数列

a
n

的首项
a
1
0
，公差
d0
，则前
n< br>项和
S
n
有最大值。
（ⅰ）若已知通项
a
n
，则
S
n
最大



a
n
0

a
n1
0
；
（ⅱ）若已知
S
，则 当
n
取最靠近

q
n
pn
2
qn2p
的非零自然数时
S
n
最大；
2、若等差数列
a
n

的首项
a
1
0
，公差
d0
，则前
n
项和
S
n
有最小值
（ⅰ）若已知通项< br>a

a
n
0
n
，则
S
n
最小



a
；
n1
0
（ⅱ）若已 知
S
q
n
pn
2
qn
，则当
n
取最靠近

2p
的非零自然数时
S
n
最小；
数列 通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知
S< br>n
（即
a
1
a
2
a
n
f (n)
）求
a
n
，用作差法：
a
S
n
< br>
S
1
,(n1)
n
S
n1
,(n 2)
。
已知
f(1),(n1)
a


1a
2
a
n
f(n)
求
a
n
，用作商法：
a
n


f(n)

。
< br>f(n1)
,(n2)

⑶已知条件中既有
S
n
还有
a
n
，有时先求
S
n
，再求
a
n；有时也可直接求
a
n
。
⑷若
a
n1
a< br>n
f(n)
求
a
n
用累加法：
a
n
(a
n
a
n1
)(a
n1
a
n2
)(a
2
a
1
)

a
1
(n2)
。
⑸已知
a
n1
a
f(n)
求
a
n
，用累乘法：
a
n
< br>a
n
a

a
n1

a
2a
1
(n2)
。
n
n1
a
n2a
1
⑹已知递推关系求
a
n
，用构造法（构造等差、等比数列） 。
特别地，（1）形如
a
n
ka
n
n1
b
、
a
n
ka
n1
b
（
k,b
为常数）的递推数列
都可以用待定系数法转化为公比为
k
的等比数列后，再求
a
n
；形如

6

a
n
ka
n1
k
n
的递推数列都可以除以
k
n
得到一个等差数列后，再求
a
n
。
（2）形如
a
n

a
n1
的递推数列都可以用倒数法求通项。
k a
n1
b
（3）形如
a
n1
a
n
k
的递推数列都可以用对数法求通项。
（8）遇到
a
n1
a
n1
d或
形式
数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同
类项”先合并在一起，再运 用公式法求和。
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的
通 项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求
和（这也是等差数列前
n
和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等 比
数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前
n
和公
式 的推导方法）.
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻
项分 裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①
11

1

1
； ②

1
(
1

1
)
；
n(n 1)nn1n(nk)knnk
③
1
2

2
1

1
(
1

1
)
，
1

1

1

1
2

1

1

1
；
kk12k1k1
kk1(k1)kk(k1)kk 1k
n11
1111
④；
[]
；⑤

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
(n1)!n!(n1)!
a
n1

q
时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段
a
n1
⑥
2(

n1n)
1

nn1 n
22
nn1
2(nn1)

二、解题方法：
求数列通项公式的常用方法：

7

1、公式法
2、
由S
n
求a
n


（n
1
时，a
1

S
1
，n
2
时，a< br>n

S
n

S
n1
）

3、求差（商）法

如：

a
111
n< br>
满足
2
a
1

2
2
a
2

……

2
n
a
n
2
n
51

解：
n1
时，
1
2
a< br>1

2

1

5，∴
a
1

14


n
2时，
1
2
a11
1

2
2
a
2
……
2
n1
a
n1
2
n
152

12
得：
1
2
n
a
n

2

∴a
n
2
n1

∴a



14(n1)
n

2
n 1
(n2)

［练习］

数列

a< br>n

满足S
n

S
n1

53
a
n1
，a
1
4
，求a
n




4、叠乘法
例如：数列

a
1
n

中，a
1
 3
，
a
n
a

n
1
，求
an

n
n
解：
a
2
·
a3
a
n
12n
a
a
……
1
a
2
a
·……
1
，∴
n

1

n1
23na
1
n

又a
1
3
，∴a
n

3
n



5、等差型递推公式

8

由a
n

a
n1
f
(
n
)
，a
1

a
0
，求 a
n
，用迭加法

n2时，a
2
a
1
f(2)

a

3
a
2
f(3)

…………

两边相加，得：


a
n
a
n1
f(n)



a
n

a
1

f
(2)
f(3)……
f
(
n
)


∴an

a
0

f
(2)
f
(3)< br>……

f
(
n
)

［练习］

数列a
n


，a
1
1
，a< br>n
3
n1

a
n1

n
2

，求a
n





6、等比型递推公式

a
n
ca
n1
d
c、d为常数，c0，c1，d0



可转化 为等比数列，设a
n

x

c

a
n1

x




a
n
ca
n1


c

1

x


令(c
1
)x

d，∴x

d
c1


∴



a
d

d
n

c1


是首项为
a
1

c1
，
c
为公比的等比数列

∴a

d

n

d
c1



a
n1
1

c1


·< br>c


∴a

d

n1
d
n



a
1

c1


c
c1





9

［练习］




7、倒数法



例如：a
1
1
，a
n1

由已知得：
1
a
n1
数列

a
n

满足a
1
9
，< br>3
a
n1

a
n
4
，求a
n< br>

2a
n
，求
a
n

a
n
2
1
a
n1

a
n
2
1 1

2a
n
2a
n

∴

11


a
n
2
< br>

1

为等差数列，

a
n
< br>
11
1，公差为

a
1
2



111

1


n

1

·


n

1


a
n
22
2
n1

∴a
n

数列前n项和的常用方法：
1、公式法：等差、等比前n项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的
项。

如：

a
n

是公差为d的等差数列，求

1
k1
a
k
a
k1
n

解：
由

n
111

11

< br>



d0


a
k
·a
k1
a
k

a
k
d

d

a
k
a
k1

n
11
11

∴






< br>a
k1

k1
a
k
a
k1
k 1
d

a
k

10


1

d




1

a

1





1

1



……


1


a

1




1
a
2

a
2
a
3n
a
n1
< br>


1

1
d


a< br>
1


1
a
n1

［练习］

求和：
1
1
12

1
12 3

……

1
123……n





3、错位相减法：

若
< br>a
n

为等差数列，

b
n

为等 比数列，求数列

a
n
b
n

（差比数列）前n项

和，可由S
n
qS
n
求S
n
，其中q 为

b
n

的公比。


如：S< br>n
12
x
3
x
2
4
x
3< br>
……

nx
n1
1


x
·
S
2
n

x
2
x
3
x
3
4
x
4
……

n
1

x
n1

nx
n
2



1

2

：

1

x

S
2
n

1

x

x

……

x
n1

nx< br>n


n
n
x1时，S

1x

n

1x

2

nx
1x


x1时，S

n1

n
 123……n
n
2


4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S
n< br>a
1
a
2
……a
n1
a
n

S

相加

n
a
n
 a
n1
……a
2
a
1



2
S
n


a
1
a
n



a
2
a
n1

……

a
1
a
n

……

［练习］

11

x
2

1

1

1

已知f
(
x
)
，则
f(1)f(2)ff(3)ff(4)f


2

4

23
1x








12