车辆工程专业就业前景-胡佩兰

数列的基本性质和常用结论

一、等差数列
1.等差数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n，都有
a
n1
a
n
d
（d为常数）

{a
n
}
为 等差数列（定义法）
（2）
2a
n1
a
n
a
n2
（n

N
）

{a
n
}
为等差数列（等差中项）
*
(3)
a
n
=pn+q (p， q为常数且p≠0)（即为关于n的一次函数）

{a
n
}
为等差数列
(4)
S
n
pnqn
(p， q为常数)（即为关于n的不含常数项的二次函数）

{a
n
}
为等差数列
2
2.常用性质
(1) 若数列
{a
n
}
，
{b
n
}为等差数列，则数列
{a
n
k}
，
{ka
n
}
，
{a
n
b
n
}
，
{ka
n
b}
(k， b为非零常数)
均为等差数列.
(2) 对任何m，n< br>
N
，在等差数列
{a
n
}
中，有
a
n
a
m
(nm)d
，特别的，当m=1时，便得到等差数
*
列的通项公式。另外可得公差d=
a
n
a
1
n1
，或d=
a
n
a
m
nm

*
(3) 若m+n=p+q (m，n，p，q

N
)，则
a
n
a
m
=
a
p
a
q
.特别的，当n+m=2k时，得
a
n
a
m
=
2a
k

(4)
{a
n
}
是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首 末两项之和，即
a
1
a
n
a
2
a
n 1
a
3
a
n2
a
i1
a
ni

。
(5) 在等差数列
{a
n
}
中，每隔k(k

N
)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为 等差数列，且公
差为(k+1)d(例如：
a
1
，
a
4，
a
7
，
a
10

仍为公差为3d 的等差数列)
(6) 如果
{a
n
}
是等差数列，公差为d，那么
a
n
，
a
n1
，

a
2
，
a
1
也是等差数列，其公差为
d
.
(7) 若数列
{a
n
}
为等差数列，则记
S
k< br>a
1
a
2
a
k
，
S< br>2k
S
k
a
k1
a
k2
 a
2k
，
S
3k
S
2k
a
2 k1
a
2k2
a
3k
，则
S
k
，
S
2k
S
k
，
S
3k
 S
2k
仍成等差数列，且公差为
k
d
2
*
3.等 差数列前n项和公式：
S
n

n(a
1
a
n)
2
na
1

n(n1)
2
d
d
2
n(a
1

2
d
2
)n

4.等差数列前n项和
S
n
常用的基本性质：

*
（1）在等差数列
{a
n
}
中，当项数为2n (n
N
)时，
S
偶
S
奇
nd,
S< br>奇
S
偶

a
n
a
n1
(即中间两 项之比)，
*
当项数为2n +1(n

N
)时，
S< br>偶
S
奇
a
n1
,
S
奇
S偶

n1
n
(即奇偶项数之比)
a
1
a
2n1
n(a
1
a
2n1
)
(2).若等差 数列
{a
n
}
，
{b
n
}
的前n项和为< br>S
n
,T
n
(n为奇数)，则
a
n
b
n

S
22

2n1

b
1
b
2n1
n(b
1
b
2n1
)
T
2n1
22
(3)在等差数列
{a
n
}
中.
S
n
=a，
S
m
b
，则
S
nm

S
n
=m，
S
m
=n时
S
nm
(nm)

nm
nm
(ab)
，特别地， 当
S
n
S
m
时，
S
nm
0
， 当
(4) 若
S
n
为等差数列
{a
n
}
的 前n项和，则数列
{
S
n
n
}
也为等差数列.
(5) 记等差数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n< br>：①若
a
1
>0，公差d<0，则当


a
n
0

a
n1
0
时，则
S
n
有最大值；②若
a
1
<0，

a
n
0
公差d>0，则当

时，则
S
n
有最小值。求
S
n
最值的方法也可先求出
S
n
，再用配方法求解。
a0

n1
二、等比数列
1.等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n，都有
a
n1
qa
n
(a
n
0)

2
a
n1
a
n
q
( q

0)

{a
n
}
为等比数列（定义法）
（2）
a
n
a
n1
a
n1
（
a
n1
a
n1

0）

{a
n}
为等比数列（等比中项）
(3) 若数列通项公式为：
a
n
aq
n1
(a,q是不为0的常数)

{a
n
}
为等比数列（通项公式法）
2.常用性质
(1).若数列
{a
n
}
，
{b
n
}
为等比数列，则数列
{
均为等比数 列.
(2) 对任何m，n

N
，在等比数列
{a
n}
中，有
a
n
a
m
q
*nm
1< br>a
n
}
，
{ka
n
}
，
{an
}
，
{a
2n1
}
，
{a
nb
n
}
{
2
a
n
b
n
} (k为非零常数)
，特别的，当m=1时，便得到等比数列的通
项公式.因此，此公式 比等比数列的通项公式更具有一般性.
(3) 若m+n=p+q (m， n， p， q

N
)，则
a
n
a
m
=
a
p< br>a
q
.特别的，当n+m=2k时，得
a
n
a
m
=
a
k

(4)
{a
n
}
是有 穷等比数列，则与首末两项等距离的两项之积都相等，且等于首末两项之积，即

*2

a
1
a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2
a
i1
a
ni

。
(5) 在等比数列
{a
n
}
中，每隔k(k

N
)项取出一项，按原来的顺 序排列，所得的数列仍为等比数列，且公
比为
q
k1
*
(例如：
a
1
，
a
4
，
a
7
，
a
10

仍为公比
q
的等比数列)
1
q
3
(6) 如果
{a
n
}
是等比数列 ，公比为q，那么
a
n
，
a
n1
，

a
2
，
a
1
也是等比数列，其公比为
(8)
q>1且
{
a
1
0，则{a
n
}为递减数列
1n
a0，则{a}为递增数列
，
0{
a
1
0，则{a
n
}为递增数列
1n
a0，则{a}为递减数列

当q=1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；当q<0时，该数列为摆动数列。

a
1
(1q)
a
1
a
n
q
(q1)

1q
项和公式：
S
n


1q


(q1)

na
1
　　　　　　 　　
n
3.等比数列前n
４.等比数列前n项和
S
n
常用的 基本性质：
(1) 在等比数列
{a
n
}
中，当项数为2n (n

N
)时，
*
S
奇
S
偶

1
q
，.
(2) 若数列
{a
n
}
为等差数列 ，则记
S
k
a
1
a
2
ak
，
S
2k
S
k
a
k1
a< br>k2
a
2k
，
S
3k
S
2k
a
2k1
a
2k2
a
3k
，则
S
k
，
S
2k
S
k
，S
3k
S
2k
仍成等比数列，且公差为
q

k

三、通项公式
a
n
的求法
(1)观察法：各项的规律明显，对分式分别看分子和分母的规律。
(2)公式法：①利用等差数列或等比数列的通项公式.
②利用
a
n
与
S
n
的关系:

a
n



S
1
　　　n=1

S
n
S
n1
　n2
特别注意：该公式对一切数列都成立。
(3)累加法：
a
n
a
1
(a
2
a
1
)(a
3
a
2
)(a
4
a3
)(a
n
a
n1
)

(4)累乘法：
a
n
a
1
(
a
2
a< br>1
)(
a
3
a
2
)(
a
4a
3
)(
a
n
a
n1
)< br>
四、数列前n项和
S
n
的求法
(1) 公式法：直接利用等差或等比数列求和公式
(2) 倒序相加法（参照等差数列前n项和公式的推导）
(3) 错位相减法（参照等比数列前n项和公式的推导）
(4) 分组求和法
(5) 裂项相消法