广州金苑酒店-复活节几月几日

一、等差数列
1.等差数 列的定义：
a
n
a
n1
d
（
d
为常 数）（
n2
）；

2．等差数列通项公式：

a
n
a
1
(n1)ddna
1
d(nN*
)
， 首项:
a
1
，公差:d，末项:
a
n

推广：
a
n
a
m
(nm)d
． 从而
d

3．等差中项
（1）如果
a
，
A，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
（2）等差中项：数列

a
n
是等差数列
2a
n
a
n-1
a
n1
( n2)2a
n1
a
n
a
n2


4．等差数列的前n项和公式：
ab
或
2Aab

2
a
n
a
m
；
nm
S
n< br>
n(a
1
a
n
)
n(n1)d1
n a
1
dn
2
(a
1
d)n
An
2
Bn

2222
（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S
n< br>是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数
2n1
时，
a
n1
是项数为2n+1的等差数列的中间项
S
2n1
< br>
2n1

a
1
a
2n1


2

2n1

a
n1
（项数为奇数的等差 数列的各项和等于项数乘以中间项）


5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN
)



a
n

是等差数列．
⑶数列
< br>a
n

是等差数列

a
n
knb
（其中
k,b
是常数）。
（2） 等差中项：数列

a
n

是等差数列
2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2
．
（4）数列

a
n

是等差数列

S
n
An
2
Bn
,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法
定义法：若
a
n
a
n1< br>d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN
)



a
n

是等差数列．


7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前
n
和公式 中，涉及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
d
称作为基
本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项
a
n
a
1
(n1)d
②奇数个数成等差，可设为„，
a2d,ad,a,ad,a2d
„（公差为d
）；
③偶数个数成等差，可设为„，
a3d,ad,ad,a3d< br>,„（注意；公差为2
d
）

8..等差数列的性质：
（1）当公差
d0
时，
等差数列的通项公式
a
n
a
1
(n1)ddna
1
d
是关于
n
的一次函数，且斜率为公差
d
；
前
n
和
S
n< br>na
1

n(n1)dd
dn
2
(a
1
)n
是关于
n
的二次函数且常数项为0.
222

（2）若公差
d0
，则为递增等差数列，若公差
d0
，则为递减 等差数列，若公差
d0
，则为常数列。

（3）当
mnp q
时,则有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
mn2p
时，则有
a
m
a
n
2a
p
.
注：
a
1
a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2
 
，

- 1 -

（4）若

a
n

、

b
n

为等差数列，则

a
n
b

，


1< br>a
n


2
b
n

都为等差数列

(5) 若{
a
n
}是等差数列，则
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n
，„也成等差数列

（6）数列
{a
n
}
为等差数列, 每隔k(k

N
)项取出一项(
a
m
,a
mk< br>,a
m2k
,a
m3k
,
)仍为等差数列

（7）设数列

a
n

是等差数列，d为公差，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项项的和，
Sn
是前n项的和
1.当项数为偶数
2n
时，
*
S< br>奇
a
1
a
3
a
5
a
2n1

n

a
1
a
2n1
< br>na
n

2
n

a
2
a
2n

S
偶
a
2
a
4
a
6
a
2n
na
n1

2
S
偶
S
奇
na
n1
na
n
n

a
n1
a
n


S
奇
na
n
a

n

S
偶
na
n1
a
n1

2、当项数为奇数
2n1
时，则

S
n1

S
2n1
S
奇
S
偶
(2n1)a
n+1


S
奇
(n1)a
n+1



奇



SSaSna
Sn
n+1n+1

奇偶偶

偶


（其中
a
n+1
是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、
{b
n
}
的前
n
和分别为
A
n
、
B< br>n
，且
则

（9）等差数列
{a
n
}
的前n项和
S
m
n
，前m项和
S
n
m
，则前m+n项和
S
mn


mn



(10)求
S
n
的最值
法一：因等差数列前
n
项是关于
n
的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
nN
。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和
*
A
n
f(n)
，
B
n
a
n
(2n1)a
n
A
2n1
f(2n1)
. < br>b
n
(2n1)b
n
B
2n1

an
0
即当
a
1
0，d0，
由

可得
S
n
达到最大值时的
n
值．
a0

n1
（2） “首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和。
即 当
a
1
0，d0，
由


a
n0
可得
S
n
达到最小值时的
n
值．或求
< br>a
n

中正负分界项
a0

n1
pq

2
法三：直接利用二次函 数的对称性：由于等差数列前
n
项和的图像是过原点的二次函数，故
n
取离二 次函数对称
轴最近的整数时，
S
n
取最大值（或最小值）。若
S p
=
S
q
则其对称轴为
n

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于
a
1
和
d
的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
二、等比数列
- 2 -

1. 等比数列的定义：
2. 通项公式：
a
n
q
< br>q0


n2,且nN
*

，
q称为公比
a
n1
a
n
a
1
q
n 1

a
1
n
qAB
n

a
1
q0,AB0

， 首项：
a
1
；公比：
q

q
nm
推广：
a
n
a
m
q
nm
， 从而得
q
3. 等比中项

a
a
n
或
q
nm
n
a
m
a
m
2
（1）如果
a,A,b
成等比数列 ，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
Aab< br>或
Aab

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列

a
n

是等比数列

a
n< br>2
a
n1
a
n1


4. 等比数列的前n项和
S
n
公式：
(1) 当
q1
时，
S
n
na
1

(2) 当
q1
时，< br>S
n

a
1

1q
n

1q

a
1
a
n
q

1q

5. 等比数列的判定方法
a
1
a
< br>1
q
n
AAB
n
A'B
n
A'< br>（
A,B,A',B'
为常数）
1q1q
（1）用定义：对任意 的n,都有
a
n1
qa
n
或
a
n1
q(q为常数，a
n
0)

{a
n
}
为等比数 列
a
n
（2） 等比中项：
a
n
2
an1
a
n1
（
a
n1
a
n1

0）

{a
n
}
为等比数列
（3） 通项公式 ：
a
n
AB
n

AB0

{a
n
}
为等比数列
nn
（4） 前n项和公式：
S
n
AAB或S
n
A'BA'A,B,A',B'为常数

{a
n
}
为等比数列

6. 等比数列的证明方法 依据定义：若

a
n
q

q0


n2,且nN
*

或
a
n1
qan

{a
n
}
为等比数列
a
n1
7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前
n
和 公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
q
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
q< br>称作为基本
元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；
a
n
a
1< br>q
n1

如奇数个数成等差，可设为„，
aa
2
, ,a,aq,aq
„（公比为
q
，中间项用
a
表示）；
2
qq
8. 等比数列的性质
(1) 当
q1
时
- 3 -

①等比数列通项公式
a
n
a
1
q
n1

a
1
n
qAB
n

AB0
< br>是关于n的带有系数的类指数函数，底为公比
q

q
②前n项和
S
n

a
1

1q
n

1 q
a
1
a
1
q
n
a
1
a

1
q
n
AAB
n
A'B
n
A'
，系数和常数项是互为相反
1q1q1q
数的类指数函数，底数为公比< br>q

(2) 对任何m,n

N
,在等比数列
{a< br>n
}
中,有
a
n
a
m
q
nm< br>,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式
*
比等比数列的通项 公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t

N),则
a
n
a
m
a
s
a
t.特别的,当n+m=2k时,得
a
n
a
m
a
k< br>2

注：
a
1
a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2


*
a
k
(4)
列
{a
n
}
,< br>{b
n
}
为等比数列,则数列
{}
,
{ka
n
}
,
{a
n
k
}
,
{ka
n
b
n
}
{
n
}
(k为非零常数) 均为等比数列.
b
n
a
n
(5) 数列
{a
n< br>}
为等比数列,每隔k(k

N
)项取出一项(
a
m
,a
mk
,a
m2k
,a
m3k
,< br>)仍为等比数列
(6) 如果
{a
n
}
是各项均为正数的等 比数列,则数列
{log
a
a
n
}
是等差数列
(7) 若
{a
n
}
为等比数列,则数列
S
n，
S
2n
S
n
，
S
3n
S
2n
,
，成等比数列
(8) 若
{a
n
}
为等比数列,则数列
a
1
a
2
a
n
,
a
n1
a
n2
a
2n
, a
2n1
a
2n2
a
3n
成等比数 列
(9) ①当
q1
时，
②当
0时，

*
a
1
0，则{a
n
}为递减数列
1
0，则{a
n
}为递增数列
{
a
{
a
1
0，则{a
n
}为递减数列
,
a
1
0，则{a
n
}为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;
④当q<0时,该数列为摆动数列.
(10)在等比数列
{a
n
}
中, 当项数为2n (n

N
*
)时,
S
奇
1

,.
S
偶
q
(11)若
{a
n
}
是公比为q的 等比数列,则
S
nm
S
n
q
n
S
m


三、等差数列与等比数列性质的比较

1、定义

等差数列性质 等比数列性质
a
n+1
-a
n
=d(n 1)
；
a
n
-a
n-1
=d(n2)

a
n+1
a
=q(n1)
,
n
=q(n2)

a
n
a
n-1
2、通项
公式
a
n
a
1
(
n
1)
d

a
n

a
1

q
nm
n1
a
n< br>
a
m
(
n

m
)
d
(
n
,
m

N

)

a

a

q
- 4 -
nm

3、前n项和
s
n

(
a
1

a
n
)n
2
n(n1)
d
2

q=1 , S
n
=na
1
;
a
1
(1-q
n)a
1
-a
n
q

q1,S
n
= =
1-q1-q
a+b
；
2
a、A、b成等比数列
s
n
n
a
1

a、A、b成等差数列
A=
Ab


aA
a
n
是其前k项
a
n-k
与后k项
a
n+k
的等差中项，
（不等价于
A
2
=ab
，只能

）;
4、中项
即
：
a
n
=
a
n-k
+a
n+k

2
a
n
是其前k项
a
n-k
与后k项
a
n +k
的
等比中项，即：
a
2
n
=a
n-k
a
n+k

若m+n=p+q,则
5、下标和公式
a

a

a

a
mnpq
若m+n=p+q,则
a

a

a

a
mnpq
特别地,若
特别地,若m+n=2p,则
a

a
m
2
a
p

n
m+n=2p,则
a
m< br>
a
n

a
p


a
k

a
n(k1)

2
6、首尾项性质
等差数列的第
k
项与倒数第
k
项的和等于首尾
两项的和
,
即：
等比数列的第
k
项与倒数 第
k
项的积等于
首尾两项的积
,
即：
a

a

a

a
1n2n1

a
k< br>
a
n(k1)

a

a

a

a
1n2n1
{
a
m
n
}为等差数列 ,若m,n,p成等差数列,则
成等差数列
{
a
n
}为等比数列,若m,n,p成等差数列,则
成等比数列 < br>a
,
a
,
a
np
a
,
a
,
a
mnp
（两个等差数列的和仍是等差数列）
等差数列{
列{
（两个等比数列的积仍是等比数列）
等比数列{
则 数列{
a
},{
b
}的公差分别为
d,e
,则数
n n
n
a
},{
b
}的公比分别为
p,q
,
nn
nn
a

b
n
}仍为等差数列，公差为
de

a

b
}仍为等比数列，公差为
q
2
pq

取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的
新数列仍为等差数列，且公差为
2d

7、结论
若
a
m
=n,a
n
=m(mn) ,
则
a
mn
0

若
S
m
=n ,S
n
=m(mn),
则
S
mn
（mn)

若
取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新
数列仍为等比数列，且公比为
无此性质；

无此性质；
无此性质；
s
m

s
n
(mn),则
s
mm
0

2m
s
,
s
m

s
m
,
s
3 m

s
2m
,
成等差数列，
2
s
,< br>s
m2m

s
m
,
s
3m

s
2m
,
成等差数
公差为
md

当项数为偶数
2n
时，
列，公比为
q
m

s
偶

s
奇
nd

当项数为偶数
2n
时，
s
偶

qs

奇
当项数为奇数
2n1
时，
- 5 -

s
s
奇
偶

a
a
n



s
奇

a
1
q
s
偶

n1
当项数为奇数
2n1
时，
s
奇
偶
奇

s
偶

a
中

s
2n1
(2n1)
a
中
，
s
s

n

n1
①定义法：
①定义法 ：
a
n

a
n
1

d

n
2


②等差中项概念；
2
a
n

a
n
1

a
n
1

n
2


8、等差(等比)
数列的判断方
法
③函数法：
a
n

pn

q
(
p
,
q
为常数)
关于n的
一次函数

数列
{
a
n
}
是首项为p+q，公差为
p

0

的等差数 列；
④数列
{a
n
}
的前n项和形如
a
n
q

a
n1
②等差中项概念；
a
n
a
n2
a
n1
2
(a
n
0)

③ 函数法：
a
n
cq
n
(
c，q
均为不为0的常数，则数列

a
n

是等比数列．
nN

)，
④数列
{a
n
}
的前n项和形如
S
n
an
2
bn

S
n
A q
n
A
(
A，q
均为不等于0的常
则数列
a
n

是公比不为1的
(a
，
b
为常数
)
，那么数列
{a
n
}
是等差数列，
数且q≠1)，
等比数列
．

9、共性

非零常数列既是等差数列又是等比数列
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