熊良霄-教师本年度工作总结

课题：基于数列的新定义相关题型

数列中新定义题型在近几年来算是高考中 的热门考点，通常情况下会结合之前所学的函数、
三角等来考察学生对相关知识的融会贯通情况，该类题 型要求学生对之前所学的知识掌握要
扎实，并能运用连贯，并且对于数列之前所学的相关性质也要掌握扎 实，同时也会引入其他
新知识点。
基本要求：学生对函数及三角的相关性质要掌握熟练，其次 对于数列的项数与各项的关系
等要能熟练掌握。
1、数列与函数相结合
1） 与二次函数相结合
例：在直角坐标平面上有一点列
P
1
(a
1,b
1
),P
2
(a
2
,b
2
),P
3
(a
3
,b
3
),……,P
n
(an
,b
n
),……,
对每一个自然
数
n,
点< br>P
n
(a
n
,b
n
)
在函数
y=x
2
的图象上，且点
P
n
(a
n
,b
n),
点
A(n,0),
点
B(n+1,0)
，构成一个以
点
P
n
(a
n
,b
n
)
为顶点的等腰三 角形。

（
1
）求对每一个自然数
n
，以点
P< br>n
纵坐标构成的数列
b
n
的通项公式；

（
2
）令








2）与指数函数相结合
例：在
xOy
平面上有一点列
P
1
(a
1
,b
1
),P
2
(a
2
,b
2
),P
3
(a
3
,b
3
) ,……,P
n
(a
n
,b
n
),……
对每一个自然 数
n
，
点
P
n
(a
n
,b
n)
在函数
y=
的图象上，且点
P
n
(a
n,b
n
)
，点
(n,0)
与点
(n+1,0)
，求的值。

构成一个以点
P
n
(a
n
,b
n
)
为顶点的等腰三角形。

（
1
） 求点
P
n
(a
n
, b
n
)
的纵坐标
b
n
的表达式；

（
2
） 若对每一个自然数
n,
以
b
n
, b
n+1
, b
n+2
为边长能构成一个三角形，求
a
的范围；

（
3
） 设
B
n
=b
1
b
2b
3
……b
n
(n
∈
N
+
)
，若
a
是
(2)
中确定的范围内的最小整数时，求
{B
n< br>}
的最
大项是第几项？

3）数列与对数函数相结合
例：已知函数
,
n=1,2,3,……
时，
……
，（< br>1
）把已知函数的图像和直线
y=1
的交点横坐标依次记为
a
1
,a
2
,a
3
，
a
n
,……
。

求证：
a
1
+a
2
+a
3
+… …+a
n
<1;
（
2
）对于每一个
n
值，设< br>A
n
,B
n
为已知函数图像上与
x
轴距离为
1
的两点，求证
n
取任
意一个正整数时，以
A
n
B
n
为直径的圆都与一条定直线相切，求出这条定直线的方程和切
点坐标。









4）数列与分段函数相结合
例：设函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线。当n≤ y≤n+1(n=0,1,2,……)时，该图像
是斜率为b
n
的线段（其中正常数b ≠1）。设数列{x
n
}由f(x
n
)=n(n=1,2,3,……)定义。
（1） 求x
1
, x
2
和x
n
的表达式；
（2） 求f(x)的表达式，并写出定义域。







5）数列与反函数相结合
例：已知函数
f(x)= (x≥2 )
的反函数为
y=f
-1
(x)
，若数列
{a
n< br>}
的前
n
项之和为
S
n
(n∈N
+
)
。对所有大于
1
的自然数
n
都有
S
n
= f
-1
(S
n-1
)
，且
a
1
=2
，求数列
{a
n
}
的通项公式。

2、数列与三角相结合
把三角函数融入到数列当中，使得数列变得复杂和陌生 ，但由于三角函数的周期性，也使得
数列的项随之有了规律，因此在解决此类问题时，要充分利用三角函 数周期性的特点，只有
这样才能将所遇困难有效化解.

例：数列
{an
}
的通项公式
a
n
ncos







例：
S
n
sin
是多少？










例：数列
{a< br>n
}
的通项公式
a
n
n(cos
（Ⅰ）求
S
n
；（Ⅱ）令
b
n









22
n

，其前
n项和为
S
n
，则
S
2016
等于多少？
2< br>
7
sin
2

n

Lsin(n N

)
，则在
S
1
，
S
2
，…
，
S
100
中，正数的个数
77
n

n

sin
2
)
，其前
n
项和为
S< br>n
.
33
S
3n
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
n
n4


3、其他新定义题型
这类题型通常会引入一些学生未学过的知识点，预设相关前提 条件，再引出问题，该类题型
重点在于审题，对相关题目所涉及的知识点需要牢牢把握。

例：若数列

a
n

满足
1
a
n1

1
d
（
nN

,
d
为常数）
,
则称数列

a
n

为调和数列。已< br>a
n
知数列




1


为调和数列，且
x
1
x
2
x
20
200
，则
x
5
x
16

_________ ____.

x
n

n
例：定义：称为
n
个正数
P
1
,P
2
,,P
n
的“均倒数”。若 数列

a
n

的前
n
项
P
1P
2
P
n
的“均倒数”为




1
，则数列

a
n

的通项公式为_____________.
2n1
（a
1
,a
2
,a
n
）S
n
为其前
n
项和，例：有限数列
A 
，定义
S
1
S
2
S
n
为
A
的“凯森和”，
n
如有
500
项的数列
(a
1< br>,a
2
,,a
500
)
的“凯森和”为
2004< br>，则有
501
项的数列
(2,a
1
,a
2
, ,a
500
)
的“凯森和”为
_____________.



例：定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个 常数，那
么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列

a
n

是等和数列，且
a
1
2
，公和为
5
，那么
a
18
的值为
_____________
，这 个数
列的前
21
项和
S
21
为
_________ ____.


例：在数列

a
n

中 ，对任意
nN

都有
a
n2
a
n1
k
（
k
为常数），则称数列

a
n

为“等
a
n1
a
n
.
下面对差比数列”“等差比数列” 的判断：①
k
不可能为
0
；②等差数列一定是等差比数列；
n
③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为
a
n
abc
（
a0
，
b0,1
）的数列一
定是等差比数列；⑤等差比数列中可以有无数 项为
0
，其中正确的是
_______________.

< /p>

例：定义：若数列

a
n

对任意的正整数< br>n
，都有
a
n
a
n1
d
（
d
是常数），则称

a
n

为
“绝对和数列”，
d
叫做“绝对公和”。已知“绝对和数列”


a
n

中，
a
1
2
，“绝对公和”

d2
，则其前
2010
项和
S
2010
的最小值为
__ _____________.


例：设
S
n
是数列< br>
a
n

的前
n
项和，若
等比数列”。
b
（
1
） 若数列
2
n
是首项为
2
，公比为
4
的等比数列，则数列

b
n

_________
（填“是”
S
2n
（
nN

）是非零常数，则称数列

a
n

为“和
S
n
或“不是”）

“和等比数列”
.
（
2
） 若数列

c
n

是首项为
c
1
，公差为
d
（
d0
）的等差数列，且数列

c
n

是“和等比
数列”，则
d
与
c< br>1
之间满足的关系为
_________.


例：在数列

a
n

中，若
a
n
a
n1
p
（
p2,nN
，
p
为常数），则称数列

a
n

为“等
22

方差数列”。下列是对“等方 差数列”的判断：①若

a
n

是等方差数列，则
a
n
列；②
(1)

是等差数
2

n

是等方差数列；③若

a

是等方差数列，则

a

（
kN
n
kn

，
k
为常 数）也
是等方差数列；④若

a
n

是等方差数列，又是等 差数列，则该数列是常数列。其中正确命
题的序号是
_____________.




课后练习：
1.
若数列

an

满足
a
n2
a
n1
k
（
k
为常数），则称数列

a
n

为“等比和数列”

，
k
称
a
n1
a
n
为公比和 。已知数列

a
n

是以
3
为公比和的等比和数列 ，其中
a
1
1
，
a
2
2
，则
a
2009

_____________.

2.
对数列

a
n

，规定

a
n

为数列

a
n

的一阶 差分数列，其中
a
n
a
n1
a
n
（
nN

）
.
（
1
） 已知数列

a
n

的通项为
a
n

或等比数列，并说明理由.
n
（
2
） 若数列

a
n
的首项为
a
1
1
，且满足
a
n
a
n
2
，记
b
n

5
2
3
n n
（
nN

），试判断

a
n
是否为等差数列
22
a
n
，求数列

b
n
的
n1
2
通项
b
n
及数列
a
n

的前
n
项和
S
n
.




3.
在数列
{a
n
}
中， 若
a
1
,a
2
是正整数，且
a
n
|a< br>n1
a
n2
|,n3,4,5,L
，则称
{a
n
}
为“绝
对差数列”
.
（
1
）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
< br>（
2
）若“绝对差数列”
{a
n
}
中，
a< br>20
3,a
21
0
，数列
{b
n
}满足
b
n
a
n
a
n1
a
n 2
，
n1,2,3,L
，分别判断当
n
时，
a
n
与
b
n
的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；

（
3
）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项
.








4.
在
m
（
m
≥
2
）个不同数的排列
P
1
P2
…
P
n
中，若
1
≤
i
＜
j
≤
m
时
P
i
＞
P
j
（即前面某数 大于后面
某数），则称
P
i
与
P
j
构成一个逆序< br>.
一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数
.
记排
列
(n1)n(n1)321
的逆序数为
a
n
，如排列
21< br>的逆序数
a1
，排列
321
的逆序数
a6
. < br>3
1
（
1
）求
a
4
、
a
5
，并写出
a
n
的表达式；

aa
（2）令
b
n

n

n1
，证明
2nb
1b
2
b
n
2n3
，n=1,2,….
a
n1
a
n