起重吊装-二十年后再相会作文

知识框架


数列

数列的分类



的概念

数列的通项公式函数角度理解



数列的递推关系




等差数列的定义a
n
a
n1
d(n



2)

等差数列的通项公式a
n
a
1
(n1)d< br>

等差数列





等差数列 的求和公式S
n
(
n(n1)



n
2
a
1
a
n
)na
1

2
d





等差数列的性质a
n
a< br>m
a
p
a
q
(mnpq)

< br>两个基



等比数列的定义
a
n

本数列





q(n2)

a< br>n1
n




等比数列的通项公式

a
1
n
a
1
q
数列



等比数列


a
1
a
n
q

a
1
(1q
n
)
(


< br>等比数列的求和公式S


1q1q
q1)
n







na(q1)





1
等比数列的性质a
n
a
m< br>a
p
a
q
(mnpq)




公式法




分组求和

错位相减求和

数列


裂项求和

求和


倒序相加求和




累加累 积




归纳猜想证明


分期付款< br>
数列的应用



其他

掌握了数列的基 本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、
求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想 法的应用，就有可
能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法
1、求通项公式
（1）观察法。（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定 的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等
差数列或等比数列问题。
(1)递推式 为a
n+1
=a
n
+d及a
n+1
=qa
n
（d，q为常数）
例1、
已知{a
n
}满足a
n+1
=a
n
+2，而且a
1
=1。求a
n
。
例1、解 ∵a
n+1
-a
n
=2为常数 ∴{a
n
}是首项为1，公差为2的等差数列
∴a
n
=1+2（n-1） 即a
n
=2n-1
例2、 已知
{a
1
n
}
满足
a
n1

2
a
n
，而
a
1
2
，求
a
n< br>=？







（2）
递推式为a
n+1
=a
n
+f（n）
例3 、已知
{a
n
}
中
a
1
1

2< br>，
a
1
n1
a
n

4n
21
，求
a
n
.

解： 由已知可知
a
1
n1
a
n

1
(2n1)(2n1)

2
(
1
2n1

1
2n1
)

令n=1，2，„，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a
2
-a< br>1
）+（a
3
-a
2
）+„
+（a
n
-a
n-1
）
a
114n3
n
a
1

2
(1
2n1
)
4n2

★ 说明 只要和f（1）+f（2）+„+f（n-1）是可求的，就可以由
a
n+1
=an
+f（n）以n=1，2，„，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a
n
。

(3)递推式为a
n+1
=pa
n
+q（p，q为常数）
例4、
{a
n
}
中，
a
1
1
，对于n＞ 1（n∈N）有
a
n
3a
n1
2
，求
an
.
(5)递推式为
a
n2
pa
n1
qa
n

思路：设
a
n2
pa
n1
qa
n
,可以变形为：
a
n2


a
n1


(a
n1


a
n
)
，
解法一： 由已知递推式得a
n+1
=3a
n
+2，a
n< br>=3a
n-1
+2。两式相减：a
n+1
-a
n
=3 （a
n
-a
n-1
）
因此数列{a
n+1
-a< br>n
}是公比为3的等比数列，其首项为a
2
-a
1
=（3×1 +2）-1=4
∴a·3
n-1
∵a ∴3a
n-1 n-1
n+1
-a
n
=4
n+1
=3a
n
+2
n
+2-a
n
=4·3即 a
n
=2·3-1
解法二： 上法得{a
n+1
-a
n
}是公比为3的等比数列，于是 有：a
2
-a
1
=4，a
3
-a
2
=4· 3，
a=4·3
2
，„，a
n-2
4
-a
3n-a
n-1
=4·3， 于是{a
n+1
-αa
n
}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

把n-1个等式累加得：
∴an=2·3n-1-1

(4)递推式为a
n+1
=p a
n
+q n（p，q为常数）
a
n
。












b
2
n1
b
n
(b
2
n
 b
n1
)
由上题的解法，得：
b
n
32()
n

33
∴

a
b
n
1
n
1
n
n

2
n
3(
2
)2(
3
)






(6)递推式为S
n
与a
n
的关系式


求

关系；（2）试用n表示a
n
。



∴
S
1
n1
S
n
(a
n
a
n1
)(
1
2
n2

2
n1
)

∴
a
1
n1
a
n
a
n 1

2
n1

∴
a1
n1

2
a
1
n

2
n

上式两边同乘以2
n+1
得2
n+1
a
nn< br>n+1
=2a
n
+2则{2a
n
}是公差为2的等差数列。
∴2
n
a
n
= 2+（n-1）·2=2n


数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数
列求和。
2、错项相减法：适用于差比数列（如果

a
n

等差，

b
n

等比，那么

a
n
b
n< br>
叫做差比数列）
即把每一项都乘以

b
n
的公比
q
，向后错一项，再对应同次
项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几
项，可求和。
适用于数列


1



1



aa

和

a

（其中< br>
a
n

等差）
n

n1
< br>

a
nn1


可裂项为：
1
a

1
(
1

1
)
，
1

1
(a
n1
a
n
)

n
a
n1
da
n
a
n1
a
n
an1
d
等差数列前
n
项和的最值问题：
1、若等差数列
a
n

的首项
a
1
0
，公差d0
，则前
n
项和
S
n
有最大值。
（ⅰ） 若已知通项
a

a
n
0
n
，则
S
n
最大


；

a
n1
0
（ⅱ）若已知
S
2
q
n
pnqn
，则当
n< br>取最靠近

2p
的非零自然数时
S
n
最
大；
2、若等差数列

a
n

的首项
a
10
，公差
d0
，则前
n
项和
S
n
有最小值
（ⅰ）若已知通项
a

a
n
0
n，则
S
n
最小


；

a
n1
0
（ⅱ）若已知
S
q
n
pn
2
qn
，则当
n
取最靠近

2p
的非零自然数时
S
n
最
小；
数列通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知
S
n
（即
a
1
a
2
a
n
f(n)
）求
a

n
，用作差法：
a
S
n

S
1
,(

n
S
1)
,(n
。
nn1
2)

a

已知
a

f(1),(
1
a
2

n
f(n)
求
a
n
，用作商法：
a
n


f (n)
n1)


f(n1)
,(n2)
。
⑶已知条件中既有
S
n
还有
a
n
，有时先求
S< br>n
，再求
a
n
；有时也可直接求
a
n
。 < br>⑷若
a
n1
a
n
f(n)
求
a
n
用累加法：
a
n
(a
n
a
n1
)(a
n1
a
n2
)(a
2
a
1
)

a
1
(n2)
。
⑸已知
an1
a
f(n)
求
a
aa
1
a
n
，用累乘法：
a
n

n
a

n

2
a
1
(n2)
。
n
n1
a
n2
a
1
⑹已知递推关系求
a
n
，用构造法（ 构造等差、等比数列）。
特别地，（1）形如
a
n
n
ka
n1
b
、
a
n
ka
n1
b
（
k,b
为常数）的递
推数列都可以用待定系数法转化为公比为
k
的等 比数列后，再求
a
n
；形
如
a
n
ka
n 1
k
n
的递推数列都可以除以
k
n
得到一个等差数列后 ，再求
a
n
。
（2）形如
a
1
n
< br>a
n
ka
的递推数列都可以用倒数法求通项。
n1
b< br>（3）形如
a
n1
a
k
n
的递推数列都可以用对 数法求通项。
（7）（理科）数学归纳法。
（8）当遇到
a
n1
a
1
n1
d或
a
n
a
q
时， 分奇数项偶数项讨论，结果可
n1
能是分段形式。
数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。
（2）分组求和法：在直接运用 公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”
先合并在一起，再运用公式法求和。
（3 ）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与
组合数相关联，则常可考虑选 用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是
等差数列前
n
和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的
通项相乘构成， 那么常选用错位相减法（这也是等比数列前
n
和公式的推导方
法）.
（5） 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂
后相关联，那么常选用裂项相消 法求和.常用裂项形式有：
①
n(n
1
1)

1
n

n
1
1
； ②
n(n
1
k)< br>
1
k
(
1
n

n
1
k
)
；
③
1
k
2

1
k
2
1

1
2
(
1
k1

1< br>k1
)
，
1
k

1
k1
1
(k1)k

1111
k
2

(k1) k

k1

k
；
④
1
n(n1)( n2)

1
2
[
1
n(n1)

1< br>(n1)(n2)
]
；⑤
n11
(n1)!

n!

(n1)!
；
⑥
2(n1n)
2
nn1

12
n

nn1
2(nn1)
二、解题方法：
求数列通项公式的常用方法：

1、公式法
2、
由S
n
求a
n


（n1时 ，a
1
S
1
，n2时，a
n
S
n
 S
n1
）

3、求差（商）法

如：

a
n

满足
1
2
a
11
1

2
2
a
2
„„
2
n
a
n
2n51

解：
n 1时，
1
2
a
1
215，∴a
1
14

n2时，
1
2
a
11
1
2
2
a
2
„„
2
n1
a
n1< br>2n152


12得：
1
2
n
a
n
2


∴a
n
2
n1


∴ a

14(n1)
n



2
n1< br>(n2)

［练习］

数列

a
5
n

满足S
n
S
n1

3
a
n1
，a
1
4，求a
n


（注意到a
S
n1
n1
S
n1
S
n代入得：
S
4

n

又S
1
4，∴

S
n

是等比数列，S
n
4
n


n2时，a
n1
n
S
n
S
n1
„„3·4

4、叠乘法

例如：数列

a
n

中，a
1
3，
a
n1
a

n
1
，求a
n

n
n
解：
a
2
·
a
3
a
„„
a
n

1
·
2
„„
n1< br>，∴
a
n
1
aa


12
a
n1
23n
1
n

又a
3
1
3，∴a
n

n



5、等差型递推公式

由a
n
a
n 1
f(n)，a
1
a
0
，求a
n
，用迭加法< br>
n2时，a
2
a
1
f(2)


a

3
a
2
f(3)

„„„„
两边相加，得：


a
n
a
n1
f(n)



a
n
a
1
f(2)f(3)„„f(n)


∴a
n
a
0
f(2)f(3)„„f(n)

［练习］

数列

a
n

，a< br>1
1，a
n
3
n1
a
n1
n2

，求a
n


（a
n

1
2

3
n
1

）

6、等比型递推公式

a
n
ca
n1d

c、d为常数，c0，c1，d0


< br>可转化为等比数列，设a
n
xc

a
n1
x



a
n
ca
n1

c1

x


令(c1)xd，∴x
d
c1


∴


a
n

d


c1
< br>
是首项为a
1

d
c1
，c为公比的等比数列< br>
∴a
n

d

d

c1



a
n1
1

c1
< br>
·c

∴a


d

n1
d
n

a
1< br>
c1


c
c1

［练习］

数列

a
n

满足a
1
9，3a
n1
a
n
4，求a
n

n1

（a

4

n
8



3


1）

7、倒数法

例如：a
1
1，a
a
n
n 1

2
a
，求a
n

n
2

由已知得：
1
n
2
11
a

a
n1
2a


n
2a
n

∴
1
a

1
a

1

n1n
2




1


a

为等差数列，
11
n

a
1，公 差为
2

1


1
a
1

n1

·
1

1

n1


n
22

∴a
2
n

n1






2．数列求和问题的方法
（1）、应用公式法
等差、等比数 列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以
下公式对求和来说是有益的。

1＋3＋5＋„„＋(2n-1)=n
2


【例8】
求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），„前n项的和。
解 本 题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+„+n=
1
2
n(n1)
个奇数，
∴最后一个奇数为：1+[
1
2
n(n+1)-1]×2 =n
2
+n-1
因此所求数列的前n项的和为

（2）分解转化法
对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。
【例9】
求和S=1·（n
2
-1）+ 2·（n
2
-2< br>2
）+3·（n
2
-3
2
）+„+n（n
2
-n
2
）
解 S=n
2
（1+2+3+„+n）-（1
3
+2
3
+3
3
+„+n
3
）

（3）、倒序相加法
适用于给定式子中与首末两项之和 具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒
着写的两个和式相加，然后求和。
例10、求和：
S
12n
n
3C
n
6C
n
3n C
n

例10、解
S0C
012
n

n
3C
n
6C
n
3nC
n
n





∴ S
n-1
n
=3n·2
（4）、错位相减法
如果一个数列是由一个等差数列与一个等 比数列对应项相乘构成的，可把和
式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．
例11、
求数列1，3x，5x
2
,„,(2n-1)x
n-1
前n项的和．
解 设S
2n-1
n
=1+3+5x+„+(2n-1)x． ①

(2)x=0时，S
n
=1．
(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得 xS
23n
n
=x+3x+5x+„+(2n-1)x，
②
①-②，得 (1-x)S
23n-1n
n
=1+2x+2x+2x+„+2x-(2n-1)x．

(5)裂项法：

把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。
常见裂项方法：
< br>例12、求和
1
15

1
37

159


1
(2n1)(2n3)




注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与
负项一样多。

在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题
时的应用。
二、常用数学思想方法
1．函数思想
运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。
【例13】 等差数列{a
n
}的首项a
1
＞0，前n项的和为S
n
，若S
l
=S
k
（l≠k）问n
为何值时S
n
最大？







此函数以n为自变量的二次函数。∵a
1
＞0 S
l
=S
k
（l≠k），∴d＜0故此二
次函数的图像开口向下
∵ f（l）=f（k）




2．方程思想
【例14】设等比数列{a
n
}前n项和为S
n
，若S
3
+S
6
=2S
9
，求数列的公比q。
分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。
解 ∵依题意可知q≠1。
∵如果q=1，则 S
3
=3a
1
，S
6
=6a
1
，S
9
=9a
1
。由此应推出a
1
=0与等比数列不
符。
∵q≠1

整理得 q
3
（2q
6
-q
3
-1）=0 ∵q≠0

此题还可以作如下思考：
S
33
）S
336
6
= S
3
+qS
3
=（1+q
3。
S
9
=S< br>3
+qS
6
=S
3
（1+q+q），
∴由S=2S
336
2q
6
+q
3
3
+S
69
可得2+q=2（1+q+q），=0


3．换元思想
【例15】 已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且


求证：a，b，c顺次成等比数列。
证明 依题意令a
x
=b
y
=c
z
=k
∴x=1og< br>a
k，y=log
b
k，z=log
c
k

∴b
2
=ac ∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）

数列
一、选择题
1．数列

a
1
n

的通项公式
a
n

nn1
， 则该数列的前（ ）项之和等于
9
。
A．
98
B．
99
C．
96
D．
97

2．在 等差数列

a
n

中，若
S
4
1,S< br>8
4
，则
a
17
a
18
a
1 9
a
20
的值为（ ）
A．
9
B．
12
C．
16
D．
17

3．在等 比数列

a
n

中，若
a
2
6
，且
a
5
2a
4
a
3
120
，则
a
n
为（ ）
A．
6
B．
6(1)
n2
C．
62
n2
D．
6
或
6(1)
n2
或
62
n2
二、填空题
1．已知数列

a
n

中，
a
1
1
，
a
n1
a
n
 a
n1
a
n
，则数列通项
a
n

__ _________。
2．已知数列的
S
n
n
2
n 1
，则
a
8
a
9
a
10
a
11
a
12
=_____________。
3．三个不同的实数
a,b,c
成等差数列，且
a,c,b
成等比数列，则
a:b:c
_________。
三、解答题
1． 已知数列

a
n
的前
n
项和
S
n
32
n
，求< br>a
n










2.数列
lg1000,lg(1000cos60
0
),lg(1000cos
2
60
0
),...lg(1000cos
n1
60
0
),
的前多少项和为最大？








3．已知数列{a
n
}
的前n项和为S
n
，满足S
n
=2a
n
-2n (n∈N

)
（1）求数列{a
n
}
的通项公式a
n
;
（2） 若数列{b
n
}满足b
n
=log
2
(a
n
+2),T
n
为数列{
b
n
a
}的前n项和，求
n
2
证T
n
≥
1
2
;