迷人花仙子动画片-忽略的有时是最重要的

知识框架


数列的分类

数列


的概念

数列的通项公式函数角度理解

数列的递 推关系






等差数列的定义a
n
a
n1
d(n2)



等差数列的通项 公式a
n
a
1
(n1)d





等差数列

nn(n1)


等差数列的求和 公式S(aa)nad

n1n1


22



等差数列的性质a
n
a
m
a
p
a
q
(mnpq)





两个基

a
n

等比数列的定义q(n2)



本数列
a
n1



n 1



等比数列的通项公式a
n
a
1
q




a
1
a
n
qa
1
(1q
n
)


等比数列
< br>数列

(q1)


等比数列的求和公式S
n< br>

1q1q





na (q1)


1





等 比数列的性质aaaa(mnpq)
nmpq




公式法


分组求和



错位相减求和


数列

裂项求和


求和


倒序相加求和




累加累 积


归纳猜想证明




分期付款< br>
数列的应用



其他

掌握了数列的基 本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握
了典型题型的解法和数学思想 法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法
1、求通项公式
（1）观察法。（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a
n+1
=a
n
+d及a
n+1
= qa
n
（d，q为常数）
例1、
已知{a
n
}满足a
n+1
=a
n
+2，而且a
1
=1。求a
n
。
例1、解 ∵a
n+1
-a
n
=2为常数 ∴{a
n
}是首项为1，公差为2的等差数列
∴a
n
=1+2（n-1） 即a
n
=2n-1
例2、 已知
{a
n
}
满足
a
n1





1
1
a
n
，而
a
1
2
，求
a
n
=？
2

（2）
递推式为a
n+1
=a
n
+f（n）
例3 、已知
{a
n
}
中
a
1

11
，
a
n1
a
n

，求
a
n
.< br>
2
2
4n1
111
1
()

(2n1)(2n1)
22n12n1
解： 由已知可知
a
n1
a
n

令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累 加，即（a
2
-a
1
）+（a
3
-a
2
） +…+（a
n
-a
n-1
）



114n3
a
n
a
1
(1)

22n14n2
★ 说明 只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就 可以由a
n+1
=a
n
+f（n）以n=1，2，…，（n-1）
代 入，可得n-1个等式累加而求a
n
。
(3)递推式为a
n+1
=pa
n
+q（p，q为常数）
例4、
{a
n
}
中，
a
1
1
，对于n＞ 1（n∈N）有
a
n
3a
n1
2
，求
an
.
解法一： 由已知递推式得a
n+1
=3a
n
+ 2，a
n
=3a
n-1
+2。两式相减：a
n+1
-an
=3（a
n
-a
n-1
）
因此数列{a
n +1
-a
n
}是公比为3的等比数列，其首项为a
2
-a
1
=（3×1+2）-1=4
n-1n-1 n-1
∴a
n+1
-a
n
=4·3 ∵a
n+1
=3a
n
+2 ∴3a
n
+2-a
n
=4·3即 a
n
=2·3-1
2n-2
解法二： 上法得{a
n+1
-a
n
}是公比为3 的等比数列，于是有：a
2
-a
1
=4，a
3
-a
2
=4·3，a
4
-a
3
=4·3，…，a
n
-a
n-1
=4·3，

把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1

(4)递推式为a
n+1
=p a
n
+q n（p，q为常数）






b
n1
b
n

b
22
1< br>n
1
n
(b
n
b
n1
)
由上题的解法，得：
b
n
32()
n
∴
a
n

n
3()2()

33
23
2
n


(5)递推式为
a
n2
pa
n1
qa
n


2

思路：设
a
n2
pa
n1
qa
n
,可以变形为：
a
n2


a
n1


(a
n1


a
n
)
，
想

于是{a
n+1
-αa
n
}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

求
a
n
。













(6)递推式为S
n
与a
n
的关系式

关系；（2）试用n表示a
n
。



∴
S
n1
S
n
(a
n
a
n1< br>)(
∴
a
n1
a
n
a
n1

n+1n+1n
1
2
n1
n
∴
a
n1
)

2
n2
2
n1
11
a
n

n

2
2
1

1
上式两边同乘以2得2a
n+1
=2a
n
+2则{2a< br>n
}是公差为2的等差数列。
n
∴2a
n
= 2+（n-1）·2=2n







3

2．数列求和问题的方法
（1）、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。

1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n
2

【例8】
求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。
1
解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=
n(n1)
个奇数，
2
1
2
∴最后一个奇数为：1+[n(n+1)-1]×2=n+n-1
2
因此所求数列的前n项的和为

（2）、分解转化法
对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。
2222222
【例9】
求和S=1·（n-1）+ 2·（n-2）+3·（n-3）+…+n（n-n）
解 S=n（1+2+3+…+n）-（1+2+3+…+n）
23333

（3）、倒序相加法
适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写 与倒着写的两个和式相加，然后求
和。
例10、求和：
S
n
3C
n
6C
n
3nC
n

例10、解 S
n
0C
n
3C
n
6C
n
 3nC
n





∴ S
n
=3n·2

n-1
12n
012n
4

（4）、错位相减法
如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数 列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数
列的公比，然后错位相减求和．
例11、
求数列1，3x，5x
2
,…,(2n-1)x
n-1
前n项的和．
解 设S
n
=1+3+5x+…+(2n-1)x． ①

(2)x=0时，S
n
=1．
23n
(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得 xS
n
=x+3x+5x+…+(2n-1)x，②
23n-1n
①-②，得 (1-x)S
n
=1+2x+2x+2x+…+2x-(2n-1)x．
2n-1

(5)裂项法：

把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。
常见裂项方法：

例12、求和
1111



153759(2n1)(2n3)




注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。
在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。
二、常用数学思想方法
1．函数思想
运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。
【例13】 等差数列{a
n
}的首项a
1
＞0，前n项的和为S
n
，若S
l
=S
k
（l≠k）问n为何值时S
n< br>最大？

5

此函数以n为自变量的二次函数。∵a
1
＞0 S
l
=S
k
（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下
∵ f（l）=f（k）




2．方程思想
【例14】 设等比数列{a
n
}前n项和为S
n
，若S
3
+S
6
=2S
9
，求数列的公比q。
分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。
解 ∵依题意可知q≠1。
∵如果q=1，则 S
3
=3a
1
，S
6
=6a
1
，S
9
=9a
1
。由此应推出a
1
=0与等比数列不符。
∵q≠1

整理得 q（2q-q-1）=0 ∵q≠0
363

此题还可以作如下思考：
33336
S
6
=S
3
+qS
3
=（1+q）S
3。
S
9
=S
3
+qS
6
=S
3
（1+q+q），
33 663
∴由S
3
+S
6
=2S
9
可得2+q=2（ 1+q+q），2q+q=0


3．换元思想
【例15】 已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且
求证：a，b，c顺次成等比数列。
xyz
证明 依题意令a=b=c=k
∴x=1og
a
k，y =log
b
k，z=log
c
k

∴b=ac ∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）
2

6