哨兵之殇符文-爱一个人好难歌词

要点一、数列的概念
数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.
要点诠释：
（1）数列的数 是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，
那么它们是不同的数列；
（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
数列 的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2
项，…；排在第n
位的数称为这个数列的第
n
项.其中数列的第1项也叫作首项；项在数列
中的位置序号称为项数.
要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一 个确定的数，而
项数是指这个数在数列中的位置序号.
类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：
（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；
（2）可重复性：数列中的数可以重复；
（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.
数列的一般形式可以写成：
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
n< br>，…，或简记为

a
n

.其中
a
n
是数列的
第
n
项.
要点诠释：
{a
n
}
与
a
n
的含义完全不同，
{a
n
}
表示一个数列 ，
a
n
表示数列的第
n
项.
要点二、数列的分类
根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.
无穷数列：项数无限的数列.
根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
要点三、数列的通项公式与前n项和
数列的通项公式 ：如果数列

an

的第
n
项
a
n
与
n
之间 的关系可以用一个公式
a
n
f(n)
来
表示，那么这个公式就叫做 这个数列的通项公式.
*
如数列：
0
，
1
，
2
3
，…
的通项公式为
a
n
n1
（
n N
）；

数列的概念与简单表示法

1
，
1
，
1
，
1
，…
的通项公式为
a
n
1
（
nN
*
）；
1111
1
，， ，，…
的通项公式为
a
n

（
nN
*
） ；
234n

要点诠释：
（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；
（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的。
如数列：1，0，1，0，1，0，…

1

1(1)
n1
n1
它的通项公式可以是
a
n

，也可以是
a
n
|cos

|
.
2
2
（3）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第
n
项，又是这 个数列中所有各项的
一般表示．
数列
{a
n
}
的前
n
项和通常用
S
n
表示，即
S
n
a
1
a
2

…
a
n
；
a
n
与
S
n
的关系：当
n1
时，
a
1
S
1
；
当
n2
时，
a
n
(a
1
a
2
La
n1
a< br>n
)(a
1
a
2
La
n1
)S
n
S
n1

n1

S
1
,
故
a
n


.
*
SS,n2且n N
n1

n
要点四、数列的表示方法
通项公式法（解析式法）：
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，数列是一种特殊的函数.
列表法
列表法就是通过列出表格来表示项数与项的关系，即
项数
项
1 2 3 …
…
n

…
…
a
1

a
2

a
3

a
n


图象法：
数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．
具体方法 ：以项数
n
为横坐标，相应的项
a
n
为纵坐标，即以
(n, a
n
)
为坐标在平面直角坐标
系中做出点；所得的数列的图形是一群孤立的点 。
递推公式法
递推公式：如果已知数列

a
n

的第1项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a
n1（或前
几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
递推公式也是给出数列的一种方法。如：
数列：-3，1，5，9，13，…，
可 用递推公式：
a
1
3,a
n
a
n1
4( n2)
表示。

数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，
可用递推公式：
a
1
3,a
2
5,a
n
a
n1
a
n2
(n3)
表示。

要点五、数列与函数
数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式；数列的项是函数值，序号 是自变量，数
列的通项公式就是相应函数的解析式。
（1）数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。

2

（2）数列的图象是落在
y
轴右侧的一群孤立的点
（3）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.
【典型例题】
类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:
3815
,,,…；
234
35
7
(2) 1, ,,,…；
49
16
(1) 0,
(3) 9, 99,999, 9999,…；
(4) 6, 1, 6,1,….
1
2
1
2
2
1
3
2
1
4
2
1
解：（1）将数列改写为 ，，，，…，
24
13
n
2
1
故
a
n

.
n
（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用
(1)n1
来表示；
其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，
故
a
n
(1)
n1

2n1
.
n
2
1
234
（3）将数列改写为
101
,
101
,
101
,
101
，…，
n
故
a
n
101
.
（4）将数列每一项减去6与1的平均值
75555
得新数列, -,, -,…，
22222
775
n1
5
故
a
n
( 1)
或
a
n
cos(n1)

.

2222
写通项时注意以下常用思路：
①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规 律再观察分子的规律，如(1)；特别注意
有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；
②注意
(1)
在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2).
③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。
④归纳猜想的关键是从特殊 中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的
变形，使规律明朗化.
⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：
n
数列-1，1，-1，1，…的通项 公式为
a
n
(1)
；
n
数列1，2，3，4，…的通项公式为
a
n
n
；

3

数列1，3，5，7，…的通项公式为
a
n
2n1
；
数列2，4，6，8，…的通项公式为
a
n
2n
；
2
数列1，4，9，16，…的通项公式为
a
n
n
；
数列1，
1111
，，，…的通项公式为
a
n

。
234n
【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 1, 1, 1, 1,…；
(2) -1, 1, -1, 1, …；
(3) 1, -1, 1, -1, …；
-，，-
, …； (4)
1，
(5) 2，0，2，0，….
解：
(1)
a
n
1
；
n2
(2)
a
n
(1)
；
n1
(3)
a
n
(1)
；
11
23
1
4
(4)
a
n
(1)
n1
1
；
n
(5)
a
n
1(1)
n1
；
类型二：通项公式的应用
例2．已知数列
{a
n
}
的通项 公式
a
n
3n2
, 试问下列各数是否为数列
{a
n
}
的项，若
是，是第几项？
(1)
94
； (2)
71
.
解：（1）设
943n2
, 解得
n32
.
故94是数列
{a
n
}
的第32项.
（2）设
713n2
，解得
n24N
.
故71不是数列
{a
n
}
的项.
判断某数是不是数列的项 ，一般是假设是它的项，去求相应的项数，看是不是正整数.
若是就是它的项，若不是正整数就不它的项 .
1
3
*

1
(n是奇数）

【变式1 】数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n

< br>n
它的前8项依次为

2n1（n是偶数）


4

解：
1,3,,7,,11,,15

【变式2】已知数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
(n1)(n2)
,
（1）若
a
n
9900
，试问
a
n是第几项？
（2）56和28是否为数列
{a
n
}
的项？
解：（1）98项；（2）56是，28不是.
类型三：递推公式的应用
例3. 设数列
{a
n
}
满足：
a
1
1
，
a
n
1
1
3
1
5
1
7
1< br>(n2)
，写出这个数列的前五项。
a
n1
解：据题意可知：< br>a
1
1
，
a
2
1
故数列的前5项为:
1
，
2
，
11315
8
2
，
a
3
1
，
a
4
1
，
a
5


a
2
2a
3
3
a
1
5
358
，，.
235
递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递 推公式，可以逐次写出数列的所
有项。
【变式1】已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
1
，
a
2
3
，
a
n2
a
n1
2a
n
(n1)
，写出前6
项.
解：
a
1
1
，
a
2< br>3
，
a
3
5
，
a
4
11，
a
5
21
，
a
6
43
. 【变式2】已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
2
，
a
n1
2a
n
，写出前5项，并猜想
an
．
23n
2
解：
a
1
2
，< br>a
2
222
，
a
3
222
，观 察可得
a
n
2

类型四：前
n
项和公式
S
n
与通项
a
n
的关系
例4．已知数列
{an
}
的前
n
项和公式
S
n
，求通项
a
n
.
2
（1）
S
n
2nn1
， (2)
S
n
log
2
(n1)
.
22
解： (1) 当
n2
时，
a
n
S
n
S
n1
(2nn1)[2(n1)(n1)1]4n3
，
2
当
n1
时，
a
1
S
1
21112413
，

2,(n1)
∴
a
n



*
4n3,(n2且nN)

(2)当
n2
时，
a
n
S
n
S
n1
log
2
(n1 )log
2
nlog
2
n1
，
n

5

当
n1
时，
a
1
S
1
log
2
(11)1log
2
∴
a
n
log
2
11
，
1
n1

(
nN
)为所求.
n
已知
S
n
求出
a
n
依据的是
S
n
的定 义：
S
n
a
1
a
2
...a
n< br>，分段求解，然后检验结果
能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式. 
【变式1】已知数列

a
n

的前n项和为
S
n
，且
a
n
0(nN)
，又
a
n< br>a
n1
S
n
,
则
a
3
a1

。
解：因为
a
1
a
2
S
1
a
1
,
解得
a
2
1,
又
a
2
a
3
S
2
a
1
a
2
,
解得
a
3
a
1

1. < br>【变式2】已知数列
{a
n
}
的前
n
项积
S
n
n2
，求通项
a
n

解：当
n2
时，
a
n

S
n
n2

， < br>S
n1
n1
当
n1
时，
a
1
S
1
123
12
，
11

3,( n1)

∴
a
n


n2
.
*
,(n2且nN)


n1

【巩固练习】
一、选择题
1.数列1,2,4,8,16,32，……的一个通项公式是（ ）
A.
a
n
2n1
B.
a
n
2
n1
C.
a
n
2
n
D.
a
n
2
n1

1234n
2.已知数列
,,,,…
……，则0.96是该数列的（ ）
2345n1
A.第20项 B.第22项 C.第24项 D.第26项

3n1(n为奇数)
3．已知数列的通项公式：
a
n


则a
2
·a
3
等于（ ）
2n2(n为偶数)

A．70
C．20
4．已知a
n
＝n
2
＋n，那么( )
A．0是数列中的项
C．3是数列中的项
B．20是数列中的项
D．930不是数列中的项
B．28
D．8
5．设数列
2，
5
，
22
，
11
，…则
25
是这个 数列的( )
A．第6项

6
B．第7项

C．第8项 D．第9项
二、填空题
6.已知数列
{a
n
}
的前n项和S
n
=3+2, 则a
n
=__________.
n
7.已知数列
{a
n
}
前n项和S
n
=5n-n, 则a
6
+a
7+a
8
+a
9
+a
10
=_________. 2
8.已知数列
{a
n
}
中，
a
1
 1
,
a
n1
2
_________.
4
. 那么数列
{a
n
}
的前5项依次为
a
n
2
9.数列{a
n
}的通项公式a
n
=n+n+1; 则273是这个数列的第_______项.
10．写出下列各数列的通项公式，使其前4项分别是:
2
149
16
, -,, -,
L
；
a
n

.
2510
17
24
68
(2) , , , ,
L
;
a
n

.
315
3563
(1)
(3) 5, 55, 555, 5555,
L
;
a
n

.
(4) 3,5,3,5,
L
.
a
n

.
三、
解答题

11．已知数列{a
n
}的前n项和S
n
满足关系式lg(S
n
-1)=n， 求a
n
.
12．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n1
＝
a
n
＋(2n－1) (
nN
*
)；
(2)
a
1
＝3,
a
n1
＝3
a
n
－2 (
nN
*
).
【答案与解析】
1.答案：B
解析： 容易观察，从第二项开始，每一项都是前一项的2倍，故，
a
n
2
n1< br>,
故选B.
2.答案：C
解析：易知数列的通项公式
a
n

故n=24
3. 答案： C
解析： a
2
＝2×2－2＝2
a
3
＝3×3＋1＝10
a
2
·a
3
＝20.故选C.

4. 答案： B
解析： 令n
2
＋n＝0，得n＝0或n＝－1，∵n∉N
*
，故A错．

7
9624n
n
，把0.96化为通项的形式
0.96
，

10025n1
n1

令n< br>2
＋n＝20，即n
2
＋n－20＝0，∴n＝4或n＝－5(舍)，
∴a
4
＝20.故B正确．
令n
2
＋n＝3，即n
2
＋n－3＝0.
∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C错．
令n
2
＋n＝930，即(n＋31)(n－30)＝0，
∴n＝30或n＝－31(舍)，∴a
30
＝930，故D错．

5. 答案： B
解析： 该数列通项公式为
a
n
3n1
.
令
3n125
，得n＝7.

5(n1)
6.答案：
a
n


n1
;
2(n2)
< br>解析：利用
a
n
S
n
S
n1
(n1 )
可求
a
n
2
n1
，另n=1时，
a
1
5,
∴
a
n


7.答案： 370; < br>解析：a
6
+a
7
+a
8
+a
9
+ a
10
=S
10
- S
5
,可求a
6
+a
7
+a
8
+a
9
+a
10
=370
8.答案 1,

5(n1)

2(n2)
n1

2121
,,,;
3253
4
42
. ∴
a
2
2
，同理可求其它项.
a
1
23
a
n
2
解析：∵
a
1
1
,
a
n1
2
9. 答案：16.
解析：令
n
2
n1273
；求得
n16

10．答案(1)
a
n
(1)
n1
n
22n

2
; (2)
a
n

;
n1
(2n1)(2n1)
5(10
n
1)
n
( 3)
a
n

; (4) a
n
=4+(-1)
9
11．答案：
a
n



11,(n1)
910,(n2)
n1

解析：

n1时， a
n
S
n
S
n1
10
n
10< br>n1
910
n1


11,(n1)
< br>n1
时，
a
n
S
1
11
，所以
a
n


n1
910,(n2)

12． 解析:
2
(1)
a
1
＝0,
a
2
＝1,
a
3
＝4,
a
4
＝9,
a
5
＝16, ∴
a
n
(n1)
；

8

2
01
(2)
a
1
3123
,
a
2
7123
,
a
3
19123
,
a
4
55123
3
,
a
5
163123
4

∴
a
n
123
n1
.

9