勇敢一点-上善若水任方圆

--
第六章 数 列
§6.1 数列的概念与简单表示法


考点梳理

１.数列的概念
(1)定义:按照一定顺序排列着 的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的
________.数列中的每一项都和它的序号 有关，排在第一位的数称为这个数列的第１项(通
常也叫做_
＿＿
___
＿< br>___),排在第
ｎ
位的数称为这个数列的第n项.所以,数列的一般形式可以
写成___
＿
______,其中a
n
是数列的第n项,叫做数列的通项．常 把一般形式的数列简记作
{a
n
}．
(２)通项公式:如果数列{a
ｎ
}的____
＿
_
＿＿＿
_与序号__________之间的 关系可以用一
个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
＊
(3)从函 数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N(或它的有限子集｛1,
２，3，…,n})的函 数(离散的),当自变量从小到大依次取值时所对应的一列_____
＿
_
＿
.
（4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项（或某一项）开
始的任一项__________与它的前一项_____
＿
__
＿
_ (或前几项)间的关系可以用一个公式来
表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
( 5)数列的表示方法有____
＿
_____、__
＿＿
_____
＿
、_
＿
______
＿
_、_
＿
______< br>＿＿．

2.数列的分类
(1)数列按项数是有限还是无限来分,分为
＿
___
＿＿
___
＿
、__
＿
____
＿
__.
(2)按项的增减规律分为__________、_____
＿＿＿< br>_
＿
、__
＿
_____
＿
_和______
＿＿＿
_．递增数列⇔a
n
＋
1
______a
n
；递减数列⇔a
ｎ
+
１
_
＿
___a
n
；常数列⇔
ａ
n+1
_____
＿
a
n
.递增数列
与递减数列统称为___
＿
______．
3．数列前
ｎ
项和S
ｎ
与
ａ
n
的关系
已知
Ｓ
n
,则a
ｎ
＝错误!
自查自纠:
1.(1)项 首项 a
１
，a
２
，a
3
,…，< br>ａ
n
,…
(2)第n项 n (3)函数值 (4）a
n

ａ
n-1

（5)通项公式法(解析式法） 列表法 图象法 递推公式法
2.(1）有穷数列 无穷数列 (2）递增数列 递减数列
摆动数列 常数列 > < ＝ 单调数列
3．
Ｓ
1

Ｓ
n
－S
n
－
1



典型例题讲练
--

--
类型一 数列的通项公式
例题1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式：
(1）-１,7,－13，19，…；
(２)错误!，错误!未定义书签。,错误!,错误!未定义书签。，错误!，…;
（3)错误!,２，错误!,8，错误!未定义书签。,…;
(4)5，５5,5５5,５ 555，….
解:(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式正负性可用(－1)
n
调节,观察各项的绝对值,后
一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a< br>n
=(-1）
ｎ
（６n－5)．
(2)这是一个分数数列，其分子构 成偶数数列,而分母可分解为1×3，3×5,５×7，7×9，
９×11，…,每一项都是两个相邻奇 数的乘积.故数列的一个通项公式为
a
n
=
＼
f(2n,（2n-1 ）(2n+１）).
（３)数列的各项,有的是分数,有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观 察.即
错误!，错误!,错误!，错误!未定义书签。，错误!未定义书签。，…,故数列的一个通项公 式
为
ａ
n
＝错误!未定义书签。.
5
×9９，
＼
f（5，9)×９99，…,易知数
９
5
列9,99,9９9，…的通项为1 0
ｎ
－1，故数列的一个通项公式为a
n
=(10
n
-1） .
9


变式1 写出下列数列的一个通项公式：
1
( 1)-１，错误!未定义书签。,-错误!未定义书签。，
＼
f(1，4)，－，…；
５
(２)3,5,９,17，33,…；
(3)错误!,－1,错误!,－错误!未定义书签。，错误!，….
(4）1，2,2，4，3，8,４，16,….

解:(1)a
n
＝(-1）
n
·错误!；
(４)将原数列 改写为错误!未定义书签。×９,
(2)
ａ
n
＝2
n
＋1;
5
(３）由于-1=－
，故分母为３,５,7,9,１1,…,即{2n＋1}，分 子为2,5,１０,17，26，…，
5
即{n
2
+１}．符号看作各项依次 乘１，－１,1,-1，…，即｛(-１）
n
+1
｝，故a
n
＝（－ １)
n
+
１
·错
误!未定义书签。.
(4)观察数列{a
n
}可知,奇数项成等差数列,偶数项成等比数列，∴a
n
＝错误!未定义书 签。

类型二 由前n项和公式求通项公式
例题2 （１）若数列{
ａ< br>n
｝的前n项和
Ｓ
n
=
ｎ
－10n，则此数列的通项 公式为
ａ
n
＝
＿
＿
___
＿
__
＿
_____．
ｎ
(2)若数列｛a
ｎ
｝的前n项和
Ｓ< br>n
＝2＋1,则此数列的通项公式为a
n
= .
解：(1）当n＝1时,
ａ
1
=S
1
=1－10=-9;
当n≥２时，
２
--

--
a
n
=
Ｓ
n
－S
ｎ
-１
=n
２
-10n－[ （n－1）
2
-１0(n－1)]＝2
ｎ
－1１
．

当
ｎ
=1时，2×1－11=-9=a
1
.∴a
ｎ
=２< br>ｎ
-11.
故填２
ｎ
－11.

(2）当n＝１ 时，
ａ
1
=S
１
＝2
1
+１＝3；
当n≥２时,
ａ
ｎ
=S
n
－S
ｎ
-1< br>＝(2
n
＋1）－（2
n
－
1
+1)
＝２
ｎ
-2
ｎ
－１
=2
n
-1
．

综上有 a
n
＝错误!未定义书签。
故填错误!


变式2 已知下列数列{
ａ
n
}的前n项和S
n
，分别求它 们的通项公式a
ｎ
．

２
（1）S
n
=２n－3
ｎ
； (2）
Ｓ
n
=３
n
+b.
解：(1)a
１
=S
1
＝2-３=-１,当n≥２时,
ａ
n
＝S
n
-S
n-1
=(2n
２
－3n)－[２（n-1)
2
－3 (n－1)］＝
４n－5,
a
１
也适合此等式,∴
ａ
ｎ
=4n-5.
(２)
ａ
１
=S
１
＝3+b，
当
ｎ≥2时，a
n
＝S
n
-S
ｎ
-1

= (３
ｎ
＋
ｂ
)－（３
n
-
１
＋b)=2· 3
n
-1
.
当b＝－1时,a
1
适合此等式．
当b≠－１时，a
1
不适合此等式．
∴当
ｂ
＝-1时，a
n
＝2·3
n
-
１
;
当b≠－1时，
ａ
ｎ
=错误!未定义书签。
类型三 由递推公式求通项公式
例题3 写出下面各数列{a
n
}的通项公式.
( 1)a
1
＝２,a
ｎ
+1
＝a
n
+
ｎ＋1；
(2）
ａ
1
＝1，前
ｎ
项和S
n＝错误!
ａ
n
；
（3)a
1
＝1,a
n＋
1
=3
ａ
n
+2.
解:(１)由题意得，当
ｎ
≥２时,a
n
－a
ｎ
－1
＝n，
∴a
n
＝a
1
+(a
２
－a
1
)+(a
3< br>－a
2
)＋…+（a
n
－a
n-1
)
＝2＋(2+3＋…+n)=2+错误!未定义书签。＝错误!＋１.
又
ａ
１
＝2=
＼
f（1×(1+1）,2)＋1，适合上式,
因此a
n
＝错误!未定义书签。+1.
（2)由题设知,
ａ
1
＝1.
当n≥2时，a
n
＝S
n
-S
ｎ
-1
=错误!未定义书签。a
n
－错 误!未定义书签。a
n－1
.
∴错误!未定义书签。＝错误!未定义书签。. ∴错误!=错误!，…，错误!未定义书签。=错误!未定义书签。,错误!＝错误!未定义书
--

--
a
２
签。,
ａ
1
＝3.
以上n-1个式子的等号两端分别相乘,
a
n
得到＝
＼ｆ
(
ｎ
(n＋１）,2)
．

a
1
又∵a
1
=1,∴a
n
=错误!未定义书签。.
(3)解法一：(累乘法）
ａ
ｎ
＋1
＝3a
ｎ
+２，得a
n+1
＋1＝3(
ａ
n
+1）,即
＼
f(a
n+１
＋１，a
n
＋１)＝3,
∴错误!未定义书签。=3，错误!未定义书签。＝3,
将这些等式 两边分别相乘得错误!=3
n
.
∵
ａ
1
=１,∴错误!未定义书签。=３
n
,
即a
ｎ
＋1
＝2×3
n
-１(
ｎ
≥1),
∴a
ｎ
＝2×3
n
-1
-1（
ｎ
≥2),
又
ａ
１
=1也适合上式,
故数列{a
n
}的一个 通项公式为a
n
＝2×３
n
-
１
－１
．

解法二：（迭代法)
=3，…，错误!＝3.
ａ
3
+１
a
4
＋１
ａ
n+1
＝3a
ｎ
＋２,
即a
n+1
＋1=3(a
ｎ
＋1)＝3
2
（
ａ
n-１
+1）
=３
3
(
ａ
n-2
＋1)
=…=3
n
(
ａ
1
＋1)=2×3
n
(
ｎ
≥1),
∴a
ｎ
=２×３
n
－１
-1(n≥2),
又a
1
＝1也满足上式，
故数列｛a
n
}的一个通项公式 为a
n
＝2×3
n
－
1
－1.


变式３ 写出下面各递推公式表示的数列｛
ａ
n
}的通项公式．
( 1)
ａ
1
＝2,
ａ
n
＋１
=a
n
+错误!未定义书签。；
ｎ
(２)a
1
=1，a
ｎ
＋1
＝2a
ｎ
；
(3)a
１
=1,a
ｎ
＋
1
＝2a
n
＋1.
解：(１)∵当n≥2时，a
n< br>-a
n－1
=错误!＝错误!-错误!未定义书签。,
∴当n≥2时，an
=（a
ｎ
-a
n-1
)+(a
ｎ
-1
-a
ｎ
-2
)+…＋（a
2
-a
1
)+a
1
=错误!未定义书签。＋错误!
＋…＋错误!+错误!未定义书签。＋2=３-错误!.
当n＝1时,适合．故a
n
＝３-错误!未定义书签。.
（2)∵
＼
f(a
n+1
，a
n
）=２
n
,∴错误!＝2< br>1
,错误!未定义书签。＝2
2
,…,错误!=2
n
－１,
将这n-1个等式叠乘，
得
＼
f(a
n
,a1
)＝2
1
＋
2+
…
＋（
ｎ
-1)< br>＝2错误!未定义书签。,∴a
ｎ
＝2错误!.
当n＝１时，适合．故
ａ
n
＝2错误!未定义书签。.
(３)由题 意知a
n＋１
＋1＝２(a
n
＋1),∴数列{
ａ
ｎ
+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a
n
＋1=2
ｎ
， ∴
ａ
ｎ
＝2
n
－1.
--

--
类型四 数列通项的性质
例题4 已知数列{a
n
}，且a
n＝(
ｎ
＋1)错误!未定义书签。错误!未定义书签。(
ｎ
∈N
）．求数列｛a
n
}的最大项.
解：因为a
n
＝(n＋1)错误!
错误
!
未定义书签。
是积幂形式的式子且
ａ
n
＞0 ,所以可用作
商法比较a
n
与a
ｎ
-1
的大小.
a
n
解：令
≥1（n≥2)，
＊
ａ
n－１
即错误!≥１，
整理得
错误
!
未定义书签。
≥错误!，解得n≤1０
．

令
错误
!未定义书签。
≥1，即
错误
!
未定义书签。
≥1,
整 理得
＼
f(n+１,
ｎ
＋2)≥
错误
!
未定义书签 。
，解得n≥9.
∴从第1项到第９项递增,从第１0项起递减.故a
9
＝
ａ
10
＝
错误
!
未定义书签。
最大.


变式4 数列{a
n
｝的通项a
n
=错误!未定义书签。 ,则数列{a
n
}中的最大项是( ）
A．3＼ｒ(10) B．19 C.错误! D.错误!未定义书签。
解：易得a
n
=错误!,运用基本不等式得 ，错误!未定义书签。≤错误!未定义书签。,由于
ｎ
∈Ｎ
*
，不难发现当n =9或１0时,a
n
＝
错误
!
未定义书签。
最大．故选C.



方法规律总结

１．已知数列的前几项，求数列的通项公式,应从以下几方面考虑:
ｎ
＋
( 1)如果符号正负相间，则符号可用（－１)或(－１)
n
1
来调节.
(2)分式形式的数列,分子和分母分别找通项,并充分借助分子和分母的关系来解决．
(３）对于比较复杂的通项公式,要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.
２．a< br>ｎ
=错误!注意a
n
=
Ｓ
ｎ
－S
n-1的条件是
ｎ
≥2,还须验证a
1
是否符合a
n
(n≥2 ),是则合
并，否则写成分段形式.
3．已知递推关系求通项
掌握先由a
1
和递推关系求出前几项，再归纳、猜想
ａ
n
的方法，以及“累加法”“累< br>乘法”等．
(1)已知a
1
且a
n
-a
n-
１
=f（n)，可以用“累加法”得：
a
ｎ
＝a
１
＋f(2)＋f（3）＋…＋f(n-1)＋f（n).
（2)已知
ａ
1
且错误!未定义书签。=
ｆ
(n）,可以用 “累乘法”得:
a
n
＝a
１
·f(2)·f(3)·…·
ｆ
(n-1)·f(n)．
注:以上两式均要求{f(n)｝易求和或积.
4.数列的简单性质
(1)单调性：若a
n+1
＞a
n
, 则{
ａ
n
}为递增数列;若a
ｎ
＋
1
n
，则｛a
n
}为递减数列．
(２)周期性：若a
ｎ
+k
=a
ｎ
(n∈N
*
,k为非零正整数)，则{a
n
}为周期数列，
ｋ
为｛a
n
}的一个
周期．
(3)最大值与最小值:若错误! 则a
n
最大;若错误! 则a
n
最小.

课后练习

1．１,２，错误!未定义 书签。,错误!未定义书签。,错误!未定义书签。，…中,2错误!未
定义书签。是这个数列的( )
--

--
A．第16项 B.第2４项
C.第２6项 D.第28项
解：观察
ａ
１
＝1=错误!，< br>ａ
2
＝2＝错误!，a
3
＝错误!未定义书签。，a
４
=错误!未定义书
签。，a
5
=错误!未定义书签。，…,所以
ａ
n
=错误!未定义书签。.令a
n
＝3n-2=２错误!未定义
书签。=76 ，得n=26.故选Ｃ.

2.数列{a
n
｝的前
ｎ
项积 为
ｎ
2
,那么当n≥2时,
ａ
n
=( )
A.２n-1 Ｂ.n
2
C.错误!未定义书签。 D.错误!
解 :设数列{a
n
}的前n项积为T
n
，则T
n
=n
2
，当n≥２时,a
n
=错误!未定义书签。＝
＼
f(
ｎ< br>2
，(n－1)
2
).故选D.
３．数列{a
ｎ
｝ 满足a
n+1
＋a
ｎ
＝２n-3,若
ａ
1
＝2,则
ａ
8
-a
4
=（ )
A．7 B．6 Ｃ.5 D．4
解：依题意得(a
n＋2
＋
ａ
n+1
)－（an＋1
+a
n
)=[2(n＋1)-3］－(２n-3)，即a
n+2< br>－
ａ
ｎ
＝２,∴
ａ
８
－a
4
＝(a
8
-a
6
)＋(a
6
-a
4
）=2＋2＝ 4.故选D.
4.已知数列{
ａ
n
｝的前n项和S
n
=2 a
n
-1,则满足错误!未定义书签。≤2的正整数n的集合为
( )
A.｛1,2} ﻩB．{１，2,3，４｝
Ｃ.{1,2,３} D．｛1，2,4}
解：B
5.在数列｛a
n
｝中,a
1
＝２，
ａ
n+1
=a
n
＋ｌg错误!未定义书签。，则a
n
的值为( )
A．２+lｇn ﻩ B．２+(n-1)lg
ｎ

C.２+nlｇn ﻩﻩD．1+nlgn
解法一：∵a
n+1
－a
ｎ
＝ｌg错误!未定义书签。,
∴a
ｎ
＝（
ａ
n
－a
ｎ
-1
)+(an－１
－a
ｎ
－2
）+…+(a
2
－a
1）＋a
1

=lg错误!＋lｇ错误!＋…＋ｌg错误!未定义书签。＋2
=lg错误!＋２=ｌgn＋2.
解法二：a
n＋1
=a
n
+ｌg(
ｎ
＋１)－ｌｇn，
a
n＋1
-lｇ（n+1)＝a< br>n
-lgn,所以数列{a
n
-lｇ
ｎ
}是常数列，a
n
－ｌgn=
ａ
１
-lg1＝2,
ａ
n
=2+l g
ｎ
.故选A．
6．若数列{
ａ
n
｝满足a
1< br>＝2，a
ｎ
＋
1
a
ｎ
＝a
n
-1， 则a
20
１
7
的值为( )
A.－1 Ｂ.错误! C．2 D.3
解：根据题意，∵数列{a
n
}满足a
1
=２，a
n＋1
ａ
n
=a
ｎ
-1，∴
ａ
ｎ
+1＝1-错误!未定义书签。,
1
∴
ａ
2
=
，a
3
＝-1,
ａ
4
＝2,…，可知数列的周期为３，∵2017=3×672＋ 1，∴a
20１7
＝a
1
=2.故选
2
Ｃ．
＊< br>７．已知数列｛a
n
}满足a
s
·
t
=a
s
a
t
(s，t∈
Ｎ
），且a
2
=２,则a
8
＝________.
解:令s=t=2，则
ａ
4
＝a
2
×
ａ
2
=４，令s=2， t＝4,则a
８
＝a
2
×
4
＝a
2
×
ａ
４
=8
．
故填8
．

8.下列关于星星图案的个数构成一个数列,该数列的一个通 项公式是a
n
=________.

解:从题图中可观察星星的个数构成 规律,
ｎ
=1时，有1个；n=２时，有3个;n=３时，
--

--
有6个；n＝4时,有10个；…，∴a
n
=１＋２+ 3+4+…＋n＝错误!.故填错误!.
9．若数列{
ａ
n
}满足＼ｆ(1 ,a
n+
１
)－＼ｆ(p
，
a
n
)=０,n∈Ｎ< br>*
，p为非零常数，则称数列{a
n
}为
“梦想数列”．已知正项数列 {错误!未定义书签。}为“梦想数列”，且b
1
b
2
ｂ
3
…b
99
＝2
9
，
则b
8
+b
９
2
的最小值是_＿_＿__＿_.
解：４
依题意可得b
n+１
＝pb
ｎ
，则数列｛
ｂ
n
}为等比数列．又b
1
b
2
b
３
…b
99
=2
99
＝b＼o＼aｌ （
99
,
50
)，
则b
５0
＝2.
９< br>ｂ
8
＋
ｂ
９２
≥2错误!未定义书签。=２b
５0< br>=４,当且仅当b
８
=
ｂ
9２
，即该数列为常数列时取
等号．

１0.已知数列｛
ａ
ｎ
｝的前n项和为S
n
.
１
（1)若S
n
＝(-1)
n
+
·n,求a
5
＋a
6
及a
n
；
ｎ
(2)若
Ｓ
ｎ
＝３＋２n+1，求a
ｎ
. 解:（1)
ａ
５
＋a
6
=S
６
－S
４
=（－6）-(－4)=-２，
当n=1时,
ａ
1
＝S
1
=1;
当n≥２时,
a
ｎ
=S
n
-S
n－1
＝(－1)
n＋１
·n－(－1)
ｎ
·(n-1)
＝(－1)
ｎ
+
１
·[n+(n-１)]
＝（-1)
n
+
１
·（2n-1）,
ａ
１
适合此式，
∴a
ｎ
=(-1)
ｎ
＋
1
·(２n－1).
(2)当
ｎ
=1时，
ａ
1
=S
1
=6;
当
ｎ
≥2时，
a
n
＝S
ｎ
-S
n－１
＝(３
n
+２n+１）－[3
n
－１
+2(
ｎ
-1)+1]
＝２·3
n
－
1
+２,a
1
不适合此式,
∴a
n
=错误!

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