育儿保健-有关爱国的古诗

一．课题：
数列的有关概念
二．教学目标：理解数列的概念，了解数列通项公 式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方
法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解
a
n
与
S
n
的关系，培养观察能力和
化归能力．
三．教学重点：数列通项公式的意义及求法，
a
n
与
S
n
的 关系及应用．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．数列的有关概念；
2．数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法．
3．< br>a
n
与
S
n
的关系：
a
n


(n1)

S
1
．

S
n
S
n1
(n2)
（二）主要方法：
1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归；
2．数列前n
项的和
S
n
和通项
a
n
是数列中两个重要的 量，在运用它们的关系式
a
n
S
n
S
n1
时 ，
一定要注意条件
n2
，求通项时一定要验证
a
1
是否适合．
（三）例题分析：
例1． 求下面各数列的一个通项：
(1)
14916
,,,,
L
；
24578101113
(2)
数列的前
n
项的和

S
n
2n
2
n1
；
(3)
数列< br>
a
n

的前
n
项和
S
n
1ra
n
(r
为不等于
0,1
的常数)
．

n
2
解：（1）
a
n
(1)
．

(3n1)(3n1)
（2）当
n1
时
a
1
S
1
4
， 当
n2
时
a
n
S
n
S
n1

4n1
，显 然
a
1
不适合
a
n
4n1

n
(n1)

4
．


4n1(n 2)
（3）由
S
n
1ra
n
可得当
n2时
S
n1
1ra
n1
，
S
n
S
n1
r(a
n
a
n1
)
，
a
r
∴
a
n
ra
n
ra
n1，∴
a
n
(r1)ra
n1
,
∵
r1,
∴
n

，∵
r0
，
a
n1
r1
r
∴
{a
n
}
是公比为的等 比数列．
r1
11r
n1
()
． 又当
n1
时，
S
1
1ra
1
，∴
a
1
，∴
a
n

1r1rr1
说明：本例关键是利用
S
n
与
a
n
的关系进行转化．
∴
a
n



例2．根据下面各个数列

a
n

的首项和递推关系，求其通项公式：

1

*
（1）
a
1
1,a
n1

a
n
2n(nN)
；
n
a
n
(nN
*
)
；
n1
1
*
（3）
a
1
1,a
n1

an
1
(nN)
．
2
解：（1）
a
n 1
a
n
2n
，∴
a
n1
a
n2n
，
（2）
a
1
1,a
n1
∴
a
n
a
1
(a
2
a
1
)(a
3
a
2
)L(a
n
a
n1< br>)

12122L2(n1)

1n(n1)n
2
n1

a
n
a< br>n
a
a
12n11
（2）

n1
，∴
a
n
a
1

2

3
L
=
1L
．
a
n
n1
a
1a
2
a
n1
23nn
又解：由题意，
(n1)a< br>n1
na
n
对一切自然数
n
成立，
1
∴
na
n
(n1)a
n1
L1a
1
 1
，∴
a
n

．
n
11
（3）
a
n1
a
n
1a
n1
2(a
n< br>2){a
n
2}
是首项为
a
1
21
22
11
n1
1
n1
公比为的等比数列，
a
n
21(),a
n
2()
．
222
说明：（1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；
（2）若数列

a
n

满足
a
n

pa
n1
q
，则数列

a
n

< br>
q


是公比为
p
的等比数列．
1p


例3．设
{a
n
}
是正数组成 的数列，其前
n
项和为
S
n
，并且对所有自然数
n
，
a
n
与
2
的等差中项
等于
S
n
与
2
的等比中项，
(1)
写出数列
{a
n
}< br>的前三项；
(2)
求数列
{a
n
}
的通项公式(写出 推证过程)；
a
1
a
(3)
令
b
n
(
n1

n
)
(nN)
，求
b
1
b
2
b
3
Lb
n
n
．
2a
n
a
n1
a2
a2
解：（1）由题意：
n< br>2S
n

a
n
0
，令
n1
，
1
2a
1
，解得
a
1
2

22
a2
令
n2
，
2
2(a
1
 a
2
)
， 解得
a
2
6

2
a2
令
n3
，
3
2(a
1
a
2< br>a
3
)
， 解得
a
3
10

2
∴该数列的前三项为
2,6,10.

a2
11
2S
n
，∴
S
n
(a
n
2)
2< br>，由此
S
n1
(a
n1
2)
2
， （2）∵
n
288
1
22
∴
a
n1
S
n1
S
n
[(a
n1
2)(a
n2)]
，整理得：
(a
n1
a
n
)(a
n1
a
n
4)0

8
由题意：
(a
n1
a
n
)0
，∴
a
n1
a
n
40
，即
a
n1
a
n
4
，

2

∴数列
{a
n
}
为等差数列 ，其中
a
1
2,
公差
d4
，∴
a
n< br>a
1
(n1)d

4n2

（3）
b
n

14n24n2122
2
(
4n2

4n2
)
2
(1
2n1
1
2n1< br>)1
1
2n1

1
2n1

∴b
11111
1
b
2

L
b
n< br>n1
3

3

5

L
2n1

2n1
n
1
1
2n1
．

（四）巩固练习：
1．已知
a
1
1
1,a< br>n
1
a
(n2)
，则
a
8
5
．
n1
5
2
．在数列

a
1
n
中
a
n

nn1
，且
S
n9
，则
n
99
．





3