河北科技理工学院-知函

数列知识点归纳及例题分析

《数列》知识点归纳及例题分析

一、数列的概念：
1.归纳通项公式：注重经验的积累
例1.归纳下列数列的通项公式：
(1)0，-3,8，-15,24，.......
(2)21,211,2111,21111,......
379
(3)
,1,,,......

21017
a
1
,(n1)
2.
a
n
与
S
n< br>的关系：
a
n



SS,(n2)
n 1

n
注意：强调
n1,n2
分开，注意下标；
a
n
与
S
n
之间的互化（求通项）

3,n1
例2：已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S< br>n


2
，求
a
n
.

n1,n2
3.数列的函数性质：
（1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法
（2）最大（小）项问题：单调性法；图像法
（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）
1

2a,0a< br>nn

2
，
a
3
，求
a
. 例3 ：已知数列
{a
n
}
满足
a
n1

< br>2017
1
1
5

2a
n
1,a
n
1
2

二、等差数列与等比数列
1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）
等差数列 等比数列
a
n1
q
（
q
是常数，且
q0< br>，
a
n

定义
a
n1
a
n< br>d
（
d
是常数
n1,2,3
，…）
n1,2, 3
，…）
通项
公式
a
n
a
m

nm

d

a
n
a
1


n1

d

a
n
a
1
q
n1

推广：
a
n
a
m
q
nm

n

a
1
a
n

n

n1
求和
S
n
na
1
d

2
2
公式

na
1
(q1)


S
n


a

1q
n

aaq
1n
1
(q1)

1q

1q
aa
nk< br>中项
A
nk
（
n,kN
*
,nk0
）
公式
2

Ga
nk
a
nk
（
n,kN
*
,nk0
）

重要1、等和性：
a
m
a
n
a
r
a
s

性质
（
m,n,r,sN
*
,mnrs
）
1、等积性 ：
a
m
a
n
a
r
a
s

（
m,n,r,sN
*
,mnrs
）
a
n
a
m
(nm)d

2、（第二通项公式 ）
a
n
a
m
q
nm

2、（第二通项公式）
a
n
a
m
a
n

nm
q
及
nm
a
m
3、从等差数列中抽取 等距离的项组成
的数列是一个等差数列。 3、从等比数列中抽取等距离的项组成的
数列是一个等比数列。
如：
a
1< br>,a
4
,a
7
,a
10
,
（下标成等 差数列）
如：
a
1
,a
4
,a
7
,a< br>10
,
（下标成等差数列）
4、
s
n
,s< br>2n
s
n
,s
3n
s
2n
成等差数列
4、
s
n
,s
2n
s
n
,s
3 n
s
2n
成等比数列。
S
n
5、
{}
是等差数列
n
（仅当公比
q1
且
n
为偶数时，不成
及
d
立）
1.定 义：
a
n
－
a
n
－1
＝
d
(
n
≥2)
{a
n
}
是
等差数列
2. 等差中项：2
a
n
＋1
＝
a
n
＋
a
n
＋2
{a
n
}
是
等差数列
3.通项公式：
a
n
knp
（
k,p
为常数）
等价
 {a
n
}
是等差数列
条件
4.前
n
项和：S
n
An
2
Bn
（
A,B
为常
数 ）
{a
n
}
是等差数列


联系
例题：
a
1.定义：
n
q
(
n
≥2)
{a
n
}
是等比数
a
n1
列
2.等比中项：
222
a
n1
a
n
an2
(a
n
0){a
n
}
是等比数
列
3.通项公式：
a
n
cq
n
（
c,q0且为常
数）
{a
n
}
是等比数列
4.前
n
项和：
S
n
kq
n
k
（
k,q0
且为
常数）
{a
n
}
是非常数列的等比数列

真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比。
31
例4（等差数列的判定或证明）： 已知数列{
a
n
}中，
a
1
＝，
a
n＝2－ (
n
≥2，
n
5
a
n
－1
1
**
∈N)，数列{
b
n
}满足
b
n
＝ (
n
∈N)．
a
n
－1
(1)求证：数列{
b
n
}是等差数列；
(2)求数列{
a
n
}中的最大项和最小项，并说明理由．
11
(1)证明 ∵
a
n
＝2－ (
n
≥2，< br>n
∈N
*
)，
b
n
＝.
a
n－1
a
n
－1
11
∴
n
≥2时，
b< br>n
－
b
n
－1
＝－
a
n
－1
a
n
－1
－1

11
＝－
1

a
n
－1
－1


2－

－1
a
n
－1

a< br>n
－1
1
＝－＝1.
a
n
－1
－1
a
n
－1
－1
5
∴数列{
b
n
}是以－ 为首项，1为公差的等差数列．
2
712
(2)解 由(1)知，
b
n
＝
n
－，则
a
n
＝1＋＝1＋，
2
b
n
2
n
－7
2
设函数
f
(
x< br>)＝1＋，
2
x
－7
7

7

易知
f
(
x
)在区间

－∞，

和
，＋∞

内为减函数．
2

2
∴当
n
＝3时，
a
n
取得最小值－1；当
n
＝ 4时，
a
n
取得最大值3.
例5（等差数列的基本量的计算）设a
1
，d为实数，首项为a
1
，公差为d的等差
数列{a
n
} 的前n项和为S
n
，满足S
5
S
6
＋15＝0.
(1)若S
5
＝5，求S
6
及a
1

(2)求d的取值范围．
－15
解 (1)由题意知
S
6
＝＝－3，
a
6
＝
S
6
－
S
5
＝ －8.
S
5


5
a
1
＋10
d
＝5，
所以


a
1
＋5
d
＝ －8.

解得
a
1
＝7，所以
S
6
＝－3 ，
a
1
＝7.
(2)方法一 ∵
S
5
S
6
＋15＝0，
∴(5
a
1< br>＋10
d
)(6
a
1
＋15
d
)＋15＝0 ，
2
即2
a
2
1
＋9
da
1
＋ 10
d
＋1＝0.
因为关于
a
1
的一元二次方程有解，所以
Δ
＝81
d
2
－8(10
d
2
＋1)＝
d
2
－8 ≥0，
解得
d
≤－22或
d
≥22.
方法二 ∵
S
5
S
6
＋15＝0，
∴(5
a
1< br>＋10
d
)(6
a
1
＋15
d
)＋15＝0 ，
9
da
1
＋10
d
2
＋1＝0.
2 22
故(4
a
1
＋9
d
)＝
d
－8.所以
d
≥8.
故
d
的取值范围为
d
≤－22或
d
≥22. 例6（前n项和及综合应用）(1)在等差数列{
a
n
}中，已知
a1
＝20，前
n
项和为
S
n
，且
S
1 0
＝
S
15
，求当
n
取何值时，
S
n取得最大值，并求出它的最大值；
(2)已知数列{
a
n
}的通项公式 是
a
n
＝4
n
－25，求数列{|
a
n
| }的前
n
项和．

解 方法一 ∵
a
1
＝20，
S
10
＝
S
15
，
10×915×145
∴10×20＋
d
＝15×20＋
d
，∴
d
＝－.
223

565

5

∴
a
n
＝20＋(
n
－1)×

－

＝－< br>n
＋.
33

3

∴
a
13＝0，即当
n
≤12时，
a
n
>0，
n
≥14 时，
a
n
<0，
∴当
n
＝12或13时，
Sn
取得最大值，且最大值为
S
13
＝
S
12
＝ 12×20＋
＝130.
5
方法二 同方法一求得
d
＝－.
3
25

3 125
nn
－151255
5

∴
S
n
＝20
n
＋·

－

＝－
n
2
＋
n
＝－

n－

2
＋.
2

2666

24< br>
3

∵
n
∈N
*
，∴当
n
＝12或13时，
S
n
有最大值，且最大值为
S
12
＝< br>S
13
＝130.
(2)∵
a
n
＝4
n< br>－25，
a
n
＋1
＝4(
n
＋1)－25，
∴
a
n
＋1
－
a
n
＝4＝
d
， 又
a
1
＝4×1－25＝－21.
所以数列{
a
n
}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．

a
n
＝4
n
－25<0， ①
令

a
n
＋1
＝4
n
＋1－25≥0， ②
12×11

5

×

－

2

3



11
由①得
n
<6； 由②得
n
≥5，所以
n
＝6. 即数列{|
a
n
| }的前6项是以21为首项，
44
公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的 等差数列，
而|
a
7
|＝
a
7
＝4×7－24＝3.
设{|
a
n
|}的前
n
项和为
T
n
，则
n

21
n
＋

T
＝



66＋3
n
n
－1
2
×－4
n
≤6
n
－7
×4
n
－6＋
n
－6
2
n
≥7


2

－2
n
＋23
n

n
≤6，
＝

2

2
n
－23
n
＋132
n
≥7.


例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公
差为 3
S
n
7n+45
=
例8等差数列
{a
n
},{b
n
}
的前
n
项和分别为
{S
n
},{T
n
}
，且
T
n
n-3
,则使a
n
得
b
n
为正整数的正整数
n
的个数是 3 . （先求anbn n=5,13,35）
2
2S
n
例9已 知数列

a
n

中，
a
1

1< br>，当
n
≥
2
时，其前
n
项和
S
n< br>满足
a
n

，则
3
2S
n
1
1

n1


3
数列

a
n

的通项公式为
a
n


2
n
≥
2


2

14n


2lnn
例10在数列
{a
n
}
中，
a
1
2
，
a
n1
a
n
ln(1
1
)
，则
a
n

.
n
例11 设
3b是1a和1a
的等比中项，则
a
+3
b
的最大值为 2 .
例12 若数列1, 2cosθ, 2
2
cos
2
θ,2
3
cos
3
θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值
为

2k


2

,kZ
（ ）
3
例13 △ABC的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边
三角形_
三、数列求和：
（1）倒序相加法
112m
如：已知函数
f(x)
x
( xR)
，求
S
m
f()f()Lf()
________ _
42mmm
（2）错位相减法：

a
n
b
n

其中{
a
n
}是等差数列，

b
n< br>
是等比数列。

（3）裂项相消法：形如
a
n

（4）拆项分组法：形如
a
n
b
n
c
n
，
1111
()

(AnB)(AnC)CBAnBAnC
6n5(n
为奇数
)
如：
a
n
2n3
，
a
n


n
，
a
n
 (1)
n1
n
2

(n
为偶数
)

2
n
练习：
1
11
，，···，的前n项和为（ B ）
12
12 3
12n
n2
2nn
2n
A． B． C． D．
n1
2n1n12n1
1、数列
1
，
1111
2、数列
1,3,5,7,,
前
n
项和S
n

．
24816
3、数列< br>
a
n

的通项公式为
a
n

1< br>n1n
，则S
100
＝_________________。
4、设
S
n

1111
3

L
，且
S
n
S
n1

，则
n
．6
2612n

n1

4
5、设
nN*< br>，关于
n
的函数
f(n)(1)
n1
n
2< br>，若
a
n
f(n)f(n1)
，则数列
{a
n
}
前
100
项的和
a
1
a
2
 a
3
a
100

________．答案：
100< br>．
解答：
a
n
f(n)f(n1)(1)
n1
n
2
(1)
n
(n1)
2
(1)< br>n
[(n1)
2
n
2
]
，
(1)
n
(2n1)
，所以
a
1
a
2
a< br>3
a
100
(3)5(7)9(199)201

250100
．
四、求数列通项式 < br>2
（1）公式法：
a
n1
a
n
1
，< br>2a
n
a
n1
a
n
a
n1
，
a
n1

a
n
等
2a
n
1

（2）累加法：形如
a
n
 a
n1
f(n)(n2)
或
a
n
a
n1
f(n)
，且
f(n)
不为常数
（3）累乘法：形如
a
n
a
n1
f(n)(n2)
且
f(n)
不 为常数
（4）待定系数法：形如
a
n1
ka
n
b, (k0,1
,其中
a
1
a
)型

a
1
,(n1)
（5）转换法：已知递推关系
f(S
n
,a
n
)0

S
n
a
n


< br>SS,(n2)
n1

n

a
1
,( n1)
解题思路：利用
a
n




S
n
S
n1
,(n2)
变化（1）已知
f(S
n1
,a
n1
)0
；（2）已知
f(S
n
, S
n
S
n1
)0

（6）猜想归纳法（慎用）
练习：
考点三：数列的通项式
1、在数列

a
n

中，前
n
项和
S
n
4n
2
n8
，则通项公式
a
n

_______________

5
3、已知数列的前
n
项和
S
n
32
，则
a
n

_______________
a
n


n1

2
n
n1
n2

4、已知数列

a
n

，
a
1
2，
a
n1
3n
2
n
a
n
3n 2
，则
a
n


,(nN
*
)

2

1

5、 在数列

a
n

中，
a
1
2,a
n1
a
n
lg

1

（
nN
*
），则
a
n
＝ .

n
6、如果数列

a
n

满足
a
1< br>3，a
n
a
n1
5a
n
a
n1< br>(nN

)
，则
a
n

________ ________
7、
{a
n
}
满足
a
1
1
，
a
n1

a
n
1
，则
a
n
=_______
3n2
3a
n
1
8、 已知数列

a
n

的首项
a
1
2
，且
a
n1
2a
n
1
，则通项公式
an


2
n1
1

9、 若数列

a
n

满足
a
1
2,a
n1
3a
n
2

nN
*

，则 通项公式
a
n


10、如果数列

a
n

的前n项和
S
n



A．
a
n
2(n
2
n1)

C．
a
n
3n1





3
那么这个数列的通项公式是（ D ）
a
n
3，
2
B．
a
n
32
n

D．
a
n
23
n

五、数列应用题：
等差数列模型
1、一种设备的价格为450000元，假设维护费第一年为1000元，以后 每年增加
1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更
新年 限为 。30年

2、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：
甲公司：第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230
元；
乙公司：第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上
递增5%.
设某人年初同时被甲、乙公司录取，试问：
（1）若该人打算连续工作
n
年 ，则在第
n
年的月工资收入分别是多少元？
（2）若该人打算连续工作10年，且只 考虑工资收入的总量，该人应该选择哪家
公司？为什么？(精确到1元)
解：（1）设在甲公 司第
n
年的工资收入为
a
n
元，在乙公司第
n
年的 工资收入为
b
n
元
则
a
n
23 0n1270
，
b
n
20001.05
n1
（2）设工作10年在甲公司的
总收入为
S
甲
，在甲公司的总收入为
S
乙


S
甲
(10150045230)12304200

2000(11.05
n
)
12301869

S
乙

11.05
由于
S
甲
S
乙
，所以该人应该选择甲公司.
等比数列模型
例 从社会效益和经济效益出发 ，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展
1
旅游产业，根据计划，本年度投入
8 00
万元，以后每年投入将比上一年度减少，
5
本年度当地旅游业收入估计为
400
万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预
1
计今后的旅游业收入每年会比上 一年增加。
4
（1）设
n
年内（本年度为第一年）总投入为
an
万元，旅游业总收入为
b
n
万元，

写出
a
n
、
b
n
的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（精确到整数）
参考解答：

1

1

1

（1）
a
n
800800

1

800

1

800

1


5

5< br>
5

2n1

n1

4

4

2


4

n


4



800

1




4000

1




5



5

5



5





1

1

1


b
n
400400

1

400

1
400

1


4

4

4

2n1

n1

4

4

2


5

n


4



400

1 




1600


 1



5



5

5



4



（2）解 不等式
b
n
a
n
，得
n5
，至少经过5年，旅 游业的总收入才能超过
总投入.
六、2017年高考题
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. (2017年新课标Ⅰ) 记
S
n
为等差数列
{a
n
}的前
n
项和．若
a
4
a
5
24
，
S
6
48
，则
{a
n
}
的公差为（ ）

A.1

B.2

C.4

D.8

2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如 下问题：“远
望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：
一座
7
层塔共挂了
381
盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的< br>2
倍，
则塔的顶层共有灯（ ）
A.1
盏
B.3
盏
C.5
盏
D.9
盏
3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列

a
n

的首项为
1
，公差不为
0
．若
a
2
,a
3
,a
6
成
等比数列，则

a
n

前
6
项的和为（ ）
A.24

B.3

C.3

D.8

4. (2017年浙江卷) 已知等差数列
{a
n
}
的公差为
d
，前
n
项和为
S
n
，则“
d0
”
是“< br>S
4
S
6
2S
5
”的（ ）

A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必
要条件
5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.
为激发 大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活
动.这款软件的激活码为下面数学问 题的答案：已知数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,
其 中第一项是
2
0
，接下来的两项是
2
0
,2
1，再接
下来的三项是
2
0
,2
1
,2
2
，依此类推.求满足如下条件的最小整数
N:N100
且
该数列的前
N< br>项和为
2
的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）
A.440

B.330

C.220

D.110

二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）
6. (2017年北京卷理) 若等差数列

a
n

和等比数列

b
n

满足
a
2
a
1
b1
1,a
4
b
4
8
，=_______. < br>b
2
7.(2017年江苏卷)等比数列
{a
n
}
的 各项均为实数，其前
n
项和为
S
n
，已知
763
S
3
,S
6

，则
a
8
=_______ ________．
44
8.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，
a< br>3
3
，
S
4
10
，
则

1

．
S
k1k
n
9.(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列

a
n

满足
a
1
a
2
1,a
1
a< br>3
3
，则
a
4

__．
三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
10.( 2017年新课标Ⅱ 文)已知等差数列
{a
n
}
前
n
项和为
S
n
，等比数列
{b
n
}
前
n
项
和为
T
n
,a
1
1,b
1
1,a
2
 b
2
2.
（1）
若
a
3
b
3
5
，求
{b
n
}
的通项公式；
（2）若
T
3
21
，求
S
3
.

11.(2017年新课标Ⅰ文) 记
S
n
a
S2,S
3
6.
为等比数列

n

的前
n
项和， 已知
2

（1）求

a
n

的通项公式； （2）求
S
n
，并判断
S
n1
,S
n
, S
n2
是否成等差数列
。








12. ( 2017年全国Ⅲ卷文)设数列

a< br>n

满足
a
1
3a
2
…+
< br>2n1

a
n
2n


a
< br>（1）求数列

a
n

的通项公式； （2）求数列

n

的前
n
项和；

2n1












*
13.(2017年天津卷文)已知
{a
n
}
为等差数列，前
n
项和为
S
n< br>(nN)
，
{b
n
}
是首项

为
2
的等比数列，且公比大于
0
，
b
2
b< br>3
12,b
3
a
4
2a
1
,S
11
11b
4
．
（1）求
{a
n
}
和
{b
n
}
的通项公式； （2）求数列
{a
2n< br>b
n
}
的前
n
项和
(nN
*
)< br>．





14.(2017年山东卷文)已知
{a
n
}
是各项均为正数的等比数列,且
a
1
a
2
6,a
1
a
2
a
3
.
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；

b

（2）
{b
n
}
为各项非零等差数列,前
n
项 和
S
n
,已知
S
2n1
b
n
b
n1
,求数列

n

前
n

a
n

项和
T
n





15. (2017年天津卷理)已知
{a
n
}
为等差数列，前n
项和为
S
n
(nN

)
，
{b< br>n
}
是首
项为
2
的等比数列，且公比大于
0
，
b
2
b
3
12
,
b
3
a
4
2a
1
，
S
11
11b
4
.
（1）求
{a
n
}
和
{b
n
}
的通项公式； （2）求数列
{a
2n
b
2n1
}
的前
n
项和
(nN

)
.





16. (2017年北京卷理) 设
{a
n
}
和
{b
n
}
是两个等差数列，记

< br>c
n
max{b
1
a
1
n,b
2
a
2
n,,b
n
a
n
n}
(n1, 2,3,)
，
其中
max{x
1
,x
2
, ,x
s
}
表示
x
1
,x
2
, ,x
s
这
s
个数中最大的数．
（1）若
a
nn
，
b
n
2n1
，求
c
1
,c
2
,c
3
的值，并证明
{c
n
}
是等差数 列；
（2）证明：或者对任意正数
M
，存在正整数
m
，当
nm
时，
在正整数
m
，使得
c
m
,c
m 1
,c
m2
,
是等差数列．
17.(2017年江苏卷 )对于给定的正整数
k
，若数列
{a
n
}
满足：
a
nk
a
nk1
La
n1
a
n 1
La
nk1
a
nk
2ka
n
对任 意正整数
n(nk)
总成立，则称
c
n
M
；或者存n
数列
{a
n
}
是“
P(k)
数列”．
（1）证明：等差数列
{a
n
}
是“
P(3)
数列”；
（2）若数列
{a
n
}
既是“
P(2)
数列 ”，又是“
P(3)
数列”，证明：
{a
n
}
是等差
数列．
18.（本小题满分12分）
已知
{x
n
}
是 各项均为正数的等比数列，且
x
1
x
2
3,x
3
x
2
2.

（Ⅰ）求数列
{x
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系
xOy
中，依次连接点
P
1
(x
1
,1),P(x
2
,2),,P
n1
(xn1
,n1)
得到折线
P
1
P
2
Pn1
，
求由该折线与直线
y0,xx
1
,xx
n1
所围成的区域的面积
T
n
.
19.(2017年浙江卷) 已知数列
{x
n
}
满足：
x
1
1,x
n
x
n1
ln(1x
n1
)(nN
*
) .

证明：当
nN
*
时，
（1）
0x
n1
x
n
； （2）
2x
n1
x
n




x
n
x
n1
11
； （3）
n1
x
n

n2
.
222