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《数学文化与数学思维》报告
通过学习《数学文化与数学思维》这门课程, 我印象最深的还是关于微积分,当
然,微积分也是和我们热能与动力专业密切相关的,因为,微积分帮我 们解决了很多生
活中实际的问题,在工业中的应用自然也是相当的大的,当然,我们要研究微积分与我< br>们的专业知识的应用,首先我们就应该研究它的起源。
从微积分成为一门学科来说,是在十七世 纪,但是,微分和积分的思想在古代就已
经产生了。根据有关资料显示,早在公元前三世纪,古希腊的阿 基米德在研究解决抛
物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含< br>着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的
论述。比如我国 的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,
万世不竭”。三国时期的刘徽 在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以
至于不可割,则与圆周和体而无所失矣。”这 些都是朴素的、也是很典型的极限概
念。当然这在我们学习圆周率时就已经有所接触,这也许就是我国的 一些早期微积
分思想吧。
而到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使 微积分产生
的因素。归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现
的,也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是
求函数的最大值和最小 值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围
成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物 体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问 题作
了大量的研究工作,如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;
德国 的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创
立做出了贡献。
十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼
茨分别在自己的国度里独 自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步
的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关 的问

题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题,一个是求积问题(积分学的
中心问题。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也
称为无穷小分析, 这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积
分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是 侧重于几何学来考虑的。
随后,牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》,这本书直到1736
年才出版,它在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以
前自己认为的 变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量,把这些流
动量的导数叫做流数。牛顿在流数术 中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径,
求给定时刻的速度(微分法;已知运动的速度求给定时间 内经过的路程(积分法。
再与此同时,德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他发表了 现在世界
上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大
极小 和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计
算》。就是这样一篇说理也 颇含糊的文章,却有划时代的意义。它已含有现代的微
分符号和基本微分法则。1686年,莱布尼茨发 表了第一篇积分学的文献。他是历史
上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的 符号,这对微积分
的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
随后,微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的
问 题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力。
前面已经提到,一门科学的创立决不是 某一个人的业绩,他必定是经过多少人的
努力后,在积累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总 结完成的。微积分也
是这样。

不幸的是,由于人们在欣 赏微积分的宏伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立
者的时候,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲 大陆的数学家和英国数学家的长期
对立。英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族
偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百
年。
其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究,在大体上相近的时间里先后完成
的。比较特殊的是牛顿创立 微积分要比莱布尼茨早10年左右,但是正式公开发表微
积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年 。他们的研究各有长处,也都各有短
处。那时候,由于民族偏见,关于发明优先权的争论竟从1699年 始延续了一百多年。
应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿< br>和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不
一,十分含糊。 牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量;莱布尼
茨的也不能自圆其说。这些基础方 面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生。
直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首, 对微积分的理论进行了认真
研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化 ,使极限
理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。
任何新兴的、具有无 量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分
的历史上也闪烁着这样的一些明星:瑞士的雅科 布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、
欧拉、法国的拉格朗日、柯西……
欧氏几何也好,上古 和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正
的变量数学,是数学中的大革命。微积分是 高等数学的主要分支,不只是局限在解决
力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立 了数不清的丰功伟
绩。
而我觉得,微积分最重要的思想在于,它完美的运用了化繁为简,将一 些无用的东
西敢于丢掉,留下对计算有用的东西,而在最后保留的结果中又能完美的做到不影响

计算结果,这不得不令人感慨,其中的思想我们可以大概概括为,在一个无限 小的范围
内可以看做其函数值并未发生变化,做了这个近似处理以后,那么我们对其所有范围
内 的值都做这个处理,那么出来的结果将只会与真实值相差很小很小,当然,我们不得
不承认,做
了这样的处理之后,其值会有误差,但是,这个误差相对来说是可以忽略的,其误差
值将是一个n阶无 穷小,这是完全可以忽略的。当然,经过这样的处理后,我们得到的
东西,及得到的答案,使我们对生活 中的很多问题得到了解决,而我们最看重的还是它
的实际应用价值。
在如今的工业中,微积分 得到了大量的运用,而联系本专业的《工程热力学》,会
发现其中有许多知识都会对微积分有运用,他们 的主要思想还是将微积分的计算用
于工业计算,比如,在工程热力学的热力学第一定律中,Q=ΔU+∫ pdv,当压强p随体积v
变化的时候,功w=∫pdv是对dv积分,在这个积分式中,它依然是用的 微积分的思想,由
于PV=nRT,∫pdv
中的的P可以由V表示,即P随V变化,即原式 可以变为∫nRTvdv,同样可以定义
函数:f(v= nRTv,那么当V发生微小变化dv时,f (v近似不变,则相当于用f(v*dv,则求
∫nRTvdv相当于对∫f(vdv求积分,这就是对 做功w的积分计算方法,它帮助我们将以
前不能解决的常规工业问题用微积分的思想解决掉了,这也是对 工程热力学的理论
研究的巨大帮助。
当然,在工程热力学中还有其他利用微积分方式解决的例 子,又比如,在工程热力
学的一般关系中,按照热力学第一定律和热力学第二定律,简单可压缩系工质在 可逆
变化过程中的能量平衡方程式可表达为:
Tds=du+pdv 记为1式
也可写为du = Tds –pdv记为2式
而对于我们的工程热力学来说,可以从能量角 度来看,式中Tds是工质在可逆过
程变化中的吸热量,pdv仍然是工质在可逆过程中的做功量,上式 为可逆过程能量平

衡方程式的微分形式,但是这些主要参数都是状 态函数关系,就这方面而言,上式是平
衡状态参数间的关系,是函数F(u,s,v=0,的全微分表达 式,当然,这也是将微积分的思
想运用于工程热力学的计算理解之中的又一壮举。同时,上式表明,热力 学基本定律
不仅揭示了热力过程中各种能量之间的转换规律,引出了温度、热力学能、熵三个
热 力学参数,而且还通过准平衡变化确定了热力学参数之间的关系。式中导得其他
一般关系式的热力学依据 是基本热力学关系式,而当我们引入其他微分
表达式的时候,还可以得到很多其他的组合表达式,这也 是微分与工程热力学完
美结合的体现。比如:
引入组合参数焓h=u+pv,dh=du+pdv+vdp,可将2式变为:
dh=Tds+vdp记为3式
引入组合参数自由能f=u-Ts,df=du-Tds- sdT,可将1式变为:
df=-sdT-pdv记为4式
引入组合参数自由焓g=h-Ts,dg=dh-Tds-sdT可将3式变为:
dg=-dT+vdp记为5式
以上3、4、5式都是全微分表达式。从以上方程中,经过一 系列的微积分变换,
结合工程热力学的专业状态函数表达出:
(dudsv=(dhdsp=T
-(dudss=-(dfdvT=p
(dhdps=(dgdpT=v
-(dfdTv=-(dgdTp=s

由以上关系,在状态函数F(u,s,v=0、F(h,s,p=0、F(f ,T,v=0、F(g,T,p=0中,只需要
知道任一个就可以用偏微商的方法得到所有的状态函数, 利用微积分的大量知识可
以将工程热力学的计算得到大量简化。
当然在微积分的运用使我们的 社会得到了大量的发展,正如一本书上所说:微积
分的建立是人类头脑最伟大的创造之一,一部微积分发 展史,是人类一步一步顽强地
认识客观事物的历史,是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法, 开创了科
学的新纪元,并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说:
2010 级热能与动力工程专业一班 邓康杰 20103923 “在一切理论成就中，未必
再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那 样被看作人类精神的最高胜利了。如果
在某个地方我们看到人类精神的纯 粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。” 有了微
积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有 了工业革命，有了大工
业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机。宇宙 飞船等现代化交通工具都是微
积分的直接后果。在微积分的帮助下，万有 引力定律发现了，牛顿用同一个公式
来描述太阳对行星的作用，以及地球 对它附近物体的作用。从最小的尘埃到最遥
远的天体的运动行为。宇宙中 没有哪一个角落不在这些定律的所包含范围内。这
是人类认识史上的一次 空前的飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的
社会影响。它强 有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主
义、迷信和 神学。一场空前巨大的、席卷近代世界的科学运动开始了。毫无疑
问，微 积分的发现是世界近代科学的开端。