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鸡蛋冷却实验问题研究


1.鸡蛋冷却实验 研究背景：
将一个已经煮熟的鸡蛋放置于空
气中进行对流冷却的研究。主要的研究方向为随着时 间的变化鸡蛋温
度的变化情况。在此问题中，我们将鸡蛋简化为一个球体，并根据实
际情况将鸡 蛋的直径记为d=0.04m。将鸡蛋的密度设为1000kgm^3。
鸡蛋的比热记为3310J(k g*k)。鸡蛋的导热系数记为0.5W（m*k）。


2.鸡蛋冷却实验问题分析 ：
因为我们已经将鸡蛋简化为了一
个球体，所以在球坐标下，可以将此问题认为为无内热源的一 维非稳
态导热问题（将该问题的导热系数假设为常数）取温度差为10摄氏
度，将对流换热系数 看做不变(例如在80—70摄氏度的温度区间内，
将对流换热系数取为温度为75摄氏度时候空气的对 流换热系数）。
研究在一维方向上温度随着径向方向的变化，并且画出鸡蛋的温度随
着时间的变 化图像，和理论温度进行比较，并且对最后形成的差异做
出一定的理论分析。

3. 对问题进行数值求解：
（1）利用集总参数法将80℃~30℃
之间的温度分为5个区间，并且 认为每个区间内的对流换热系数视为
不变（例如：80℃~70℃区间内，取温度为75℃时候的对流换 热系数）

根据等温球体表面的自然对流传热可知，其特征式关联式可用下式进
行计算：
Gr
g.a.t.l
3

2

11

（t1t2）t
其中球的特征长度为直径D,其中特征温度为Tm=

,然

2

2

后根据特征温度查附录5可以得到空气的 各种物性参数。
又因为：

Nu2
0.589(GrPr)
1
4
(1(0.469Pr))
94
169


得到
h

Nu
d


cV
hA
ln
利用公式τ=-

可得到下表，如图所示：

0
温度区间 特征温度t1
80-70 50
70-60 45
60-50 40
50-40 35
40-30 30
v
1.798*10^(-5)
1.750*10^(-5)
1.702*10^(-5)
1.665*10^(-5)
1.608*10^(-5)
G
9.8
9.8
9.8
9.8
9.8
温差
50
40
30
20
10
膨胀系数
0.003095975
0.003144654
0.003194888
0.003246753
0.00330033

Gr
300326.85
257610.0629
207521.8619
146911.8586
80055.52913

Pr
0.7228
0.7241
0.7255
0.7268
0.7282

Nu
10.0010157
9.706136217
9.306971438
8.707853543
7.768210154

空气导热系数 h
0.02735 6.838194484
0.02699 6.549215413
0.02662 6.193789492
0.02625 5.714528888
0.02588 5.02603197

时间
646.37
847.13
1197.86
1948.68
4736
9376.04

根据上表可以做出理论上鸡蛋表面的温度随着时间的变化曲线
由实验数据，可以得到鸡蛋表面的温度变化曲线
理论温度随着时间的变化：
图表



实际测得的鸡蛋中心点的温度随着时间的变化情况：
实际测量所得数据

时间
0
30
50
70
100
120
150
170
200
220
250
温度
72.1
62.3
56.6
52.1
47.2
44.7
41.7
40
38
36.8
35.3

270
300
350
400
450
500
550


34.4
33.3
31.8
30.6
29.6
28.7
28

图表



（2）研究一维径向上温度随着X的变化
简化的鸡蛋问题对其列数学描述：
t a
2
t

2
(r)


rrr< br>
边界方程为：

0,tt0;

t
r0,0;

r
（在此分析中，鸡蛋中心只有导热，没有对流）

rr3时，-

t
h(tt)

r
(边界上时，只有对流，没有辐射换热）

将鸡蛋分为0,1，2,3,4共5个节点，分别对其列节点方程
4r
3
t0t0r
2
tt
0
)4

()

对于节点0：

c

(
32

2r

化简得：
t
0
i1
i1i
i
1
i(16F
0
)t
0
6Ft
ii
01

a

1
,即

27.5833
收敛条件 ：
F
0

2
r6
对于内部节点
i1
1
i
，2，3；
tt
m
4

c

{

(m0.5)r

3


(m0.5 )r

3
}
m
3

iiii
2
t
m1
t
m
2
t
m1
t
m4


(m0.5)r

4


(m0.5)r

rr
3F
0
(4m
2
4m1)3F
0
(4m
2
4m1)3F
0(8m
2
2)
ii1ii
化简得：t
m
t
m1
t
m1
[1]t
m
222
12m112 m112m1


12m
2
1
收敛条件为：F
0
a
2

r3(8m
2
2)
由于函数< br>F
0

是一个单调递增的函数（m>0），得出



71.71
对于边界点4，节点方程为：

t
M
i 1
24M
2
B
i
6F
o
(4M
2
4M1)6F
o
(4M
2
4M1)24M
2
F
o
Bi
ii
tt
M1
(1)t
M
12M
2
6M112M
2
6M112M
2
6M1
收敛条件为：
F
0


a

2
，得出



12.3。
r

4.对鸡蛋问题进行数值分析：
利用Excel进行迭代
前三十次的迭代图如下：
节点编号
时间
i
0 1 2 3 4
0 72.1 72.1 72.1 72.1 72.1
1 72.1 72.1 72.1 72.1 71.85736094
2 72.1 72.1 72.1 72.09802354 71.61874231
3 72.1 72.1 72.09998173 72.09412768 71.38405673
4 72.1 72.09999977 72.09992767 72.08836799 71.15321885
5 72.09999999 72.09999887 72.09982104 72.0807986 70.92614535
6 72.09999995 72.09999664 72.09964577 72.07147221 70.70275482
7 72.09999983 72.09999224 72.09938648 72.06044015 70.48296779
8 72.09999956 72.09998465 72.09902844 72.04775241 70.26670662
9 72.09999902 72.09997268 72.09855758 72.03345767 70.0538955
10 72.09999806 72.09995496 72.09796045 72.01760333 69.84446036
11 72.0999965 72.09993 72.09722419 72.00023555 69.6383289
12 72.09999409 72.09989615 72.09633655 71.98139927 69.43543045
13 72.09999054 72.09985163 72.09528581 71.96113828 69.23569603
14 72.09998551 72.09979455 72.09406083 71.93949519 69.03905824
15 72.09997859 72.09972289 72.09265097 71.9165115 68.84545124
16 72.09996932 72.09963453 72.09104611 71.89222763 68.65481073
17 72.09995719 72.09952726 72.08923664 71.86668293 68.46707389
18 72.09994161 72.09939877 72.0872134 71.8399157 68.28217936
19 72.09992193 72.09924666 72.08496771 71.81196325 68.10006721
20 72.09989746 72.09906848 72.08249134 71.7828619 67.92067887
21 72.09986742 72.09886168 72.07977647 71.75264701 67.74395715
22 72.09983097 72.09862367 72.07681571 71.72135301 67.56984614
23 72.09978722 72.09835178 72.07360207 71.68901342 67.39829127
24 72.0997352 72.0980433 72.07012896 71.65566087 67.22923918
25 72.09967388 72.09769549 72.06639015 71.62132713 67.06263777
26 72.09960219 72.09730553 72.06237977 71.58604314 66.89843611
27 72.09951896 72.0968706 72.05809233 71.54983899 66.73658447
28 72.09942298 72.09638783 72.05352264 71.512744 66.57703422
29 72.09931299 72.09585434 72.04866586 71.47478671 66.41973789
30 72.09918764 72.0952672 72.04351745 71.43599488 66.26464905

最后的迭代情况如下:

9594 32.07472546
9595 32.07472537
9596 32.07472529
32.074723 32.07471589 32.0747051
5
32.07472291 32.07471581 32.0747050
9
32.07472283 32.07471574 32.0747050
32.0746922
8
32.0746922
4
32.0746922
9597 32.0747252
9598 32.07472511
9599 32.07472502
9600 32.07472493
9601 32.07472484
9602 32.07472475
9603 32.07472467
9604 32.07472458
9605 32.07472449
9606 32.0747244
9607 32.07472431
9608 32.07472423
9609 32.07472414
9610 32.07472405
9611 32.07472396
9612 32.07472388
9613 32.07472379
32.07472274
32.07472266
32.07472257
32.07472249
32.0747224
32.07472232
32.07472223
32.07472215
32.07472206
32.07472198
32.07472189
32.07472181
32.07472173
32.07472164
32.07472156
32.07472148
32.07472139
32.07471566
32.07471559
32.07471551
32.07471544
32.07471536
32.07471529
32.07471521
32.07471514
32.07471506
32.07471499
32.07471492
32.07471484
32.07471477
32.07471469
32.07471462
32.07471455
32.07471447
3
32.0747049
7
32.0747049
1
32.0747048
5
32.0747047
9
32.0747047
3
32.0747046
7
32.0747046
1
32.0747045
5
32.0747045
32.0747044
4
32.0747043
8
32.0747043
2
32.0747042
6
32.0747042
32.0747041
4
32.0747040
8
32.0747040
2
32.0746921
6
32.0746921
2
32.0746920
7
32.0746920
3
32.0746919
9
32.0746919
5
32.0746919
1
32.0746918
7
32.0746918
3
32.0746917
8
32.0746917
4
32.0746917
32.0746916
6
32.0746916
2
32.0746915
8
32.0746915
4
32.0746915

9614 32.0747237 32.07472131
9615 32.07472362 32.07472122
9616 32.07472353 32.07472114
9617 32.07472344 32.07472106
9618 32.07472336 32.07472098
32.0747144 32.0747039
6
32.07471432 32.0747039
1
32.07471425 32.0747038
5
32.07471418 32.0747037
9
32.0747141 32.0747037
32.0746914
6
32.0746914
2
32.0746913
8
32.0746913
4
32.0746913
9619 32.07472327
9620 32.07472318
9621 32.0747231
9622 32.07472301
9623 32.07472293
9624 32.07472284
9625 32.07472275
32.07472089
32.07472081
32.07472073
32.07472064
32.07472056
32.07472048
32.0747204
32.07471403
32.07471396
32.07471389
32.07471381
32.07471374
32.07471367
32.0747136
3
32.0747036
7
32.0747036
2
32.0747035
6
32.0747035
32.0747034
4
32.0747033
8
32.0747033
3
32.0746912
6
32.0746912
1
32.0746911
7
32.0746911
3
32.0746910
9
32.0746910
5
32.0746910
1

鸡蛋内部各节点随时间变化情况图表



5.结果误差分析
本次实验把鸡蛋简化为一个球体探究一维 径向温度分布随着时间变
化的思想，极大地简化了对鸡蛋内部温度温度分布的分析与探究，但
是 由于理论数据和实际数据有很大的误差，现将可能导致误差的原因
分析如下：
1）由于该问题中的Bi=
会存在较大的误差；
2）集总参数的问题是考虑鸡蛋平均的温度变化，并不能直观的反映
鸡蛋内部温度的分布情况；
3）由于理论上我们只考虑了鸡蛋表面的对流换热，没有考虑鸡蛋与
周围环境之间的辐射换热的 影响，
4）我们查表所得到的是干空气的物性参数，并没有考虑空气的浓度，
hR
> >0.1所以在采用集总参数法进行计算时


湿度，室内空气的流速对物性参数 的影响，
5）我们在划分温度是


=10℃，沿鸡蛋径向分布所取的步长
x
=0.005m,所取间隔较大，导致较大的误差；
6）我们所取的对流换热系 数在每个时间段内为定值，而在实际情况
中对流换热系数随着温度的变化而不断地变化，这与我们的假设 所不
符，从而导致一定的误差。