皮几万-新年主题

农妇卖蛋问题与倒推法



江苏省连云港市教育局 臧雷



一农妇卖鸡蛋，第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个；第二次卖出 剩下鸡
蛋的一半又半个；第三次卖去所剩下鸡蛋的一半又半个，第四次又卖去所剩
鸡蛋的一半又 半个，这时鸡蛋恰好卖完，问农妇开始至少有鸡蛋多少个？

按常规思路来解答，过程较为繁琐 ，而数学大师欧拉独出心裁，给出了
一个别具一格的解法，其解法大意是：

第三次卖 完后所剩（第四次卖去）的鸡蛋为1个（一半又半个）；第二
次卖完后所剩鸡蛋数为（3＋0.5）×2 =7个，所以农妇原来至少有鸡蛋（7＋
0.5）×2=15个．

把这个问题稍加改变，就是下面的题目：

把一堆西瓜的一半又半个分给第一人，再把 剩下的一半又半个分给第二
个人，„把每上一次所剩西瓜数的一半又半个分给下一个人，照此办理，分< br>给第n个人后恰好分完，问这堆西瓜至少有多少个？

假设这堆西瓜至少有S
0
个，分给第i个人后剩下的西瓜为S
i
个，则


S
n
=0．于是可推知S
n-1
，S
n－2
，„，S
1，从而可推出S
0
．当n=3时，就是农妇
卖蛋问题．

由此给我们的启示是：某些数学问题，如能从反面想一想，可能容易解
决．

一般地，从结论开始、执果索因、逆向推导、逐步还原、解决问题的方
法称为逆推法．

例1 100个人站成一横排，自1起报数，凡报奇数者离队，留下的再次自
1起报数，凡报奇 数者又离队，这样反复下去，最后留下一个人，问这人第
一次报数为多少？

解：最后 被留者在倒数第1轮必报2，在倒数第2轮必报4，在倒数第3轮
必报8，„，于是容易得出，倒推过去 此人报的是16，32，64．因为只有100
个人，故这个人第一次报数是64．

例2 设有n个球，甲乙两人按下法做游戏：两人轮流取球，每人一次，
可随意拿一个或两个球 ，但不准不拿，谁取得最后一个球谁败．规定甲先拿，
问甲是否一定取胜？

分析：反 过来考虑：失败者最后只拿一只球，倒数第二次拿球时，球数
必定是3个或2个这两种情况之一．这样， 只要球数剩下4只，该谁拿谁失败．

当n=3k＋1时，甲必败，因为乙可采取这样的策略： 甲取一个（或2个）
时，乙接着取2个（或1个），保证余下的球是3t+1，每一轮都如此，最后必< br>然会出现剩下4个球的情形，这时轮到甲拿，甲必然输了．

当n=3k（或3k＋2） 时，甲只要先取2个（或1个）剩下的球数是“3t＋1”
形数，乙就代替了上述情况里的甲，乙就会输 ．

例3 如图1，图中的一支箭头表示为一段有方向的路，E至I的两个“立
交桥（图中弯曲处）表示EI与GF，HF的两个箭头不相交，试计算顺着箭头
方向，从A到I 有多少条不同的路线．

分析：从A要到达I，无论怎么走，都必须经E，F，H之一，如果用 S
I
，
S
E
，S
F
，S
G
，S< br>H
表示从A分别到达I，E，F，G，H的路线数（其余记号S
B
，
S
C
„„类似）．则有S
I
=S
E
＋S
F
＋ S
H
．对E，F，G作类似的逆推，有S
E
=S
B
+SC
+S
D
，
S
F
=S
B
＋S
E
＋S
G
＋S
H
，如此倒推下去，最终归结为求S
B
，S
C
，S
D
．

解：首先有S
B
=S
D
=1，S
C
=1＋S
B
＋S
D
=3，接 着算得S
E
=S
B
+S
C
+S
D
＝5，< br>S
G
=S
H
=S
E
+S
D
=6，S
F
=S
B
+S
E
+S
G
＋S
H< br>=1＋5＋6＋6=18．最后得S
I
=S
E
＋S
F
＋
S
H
=5+18＋6=29．即从A到I共有29条不同的路线．

练习题：


上还留下10只桃子，树上原来至少有多少只桃子？（答案：100只）

2．现对甲 、乙、丙三个小组的人员作调整：第一次丙组不动，甲、乙
两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组 不动，甲、丙两组中的一组调
出7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出7人给另一组 ，
三次调整后，甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人，问各组原有几人？（答；
甲5人，乙 13人，丙6人）