小鱼人出装-美国打朝鲜

--数形结合在小学数学解决问
题中的运用

数形结合在小学数学解决问题中的运用
许巷中心小学 傅玲玲
[摘要]数学是研 究现实世界的空间形式和数量
关系的科学，数与形是数学的基本研究对象，数
是形的抽象概括， 形是数的直观表现。数形结合
是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学
教材的一个重要特 点，更是解决问题时常用的方
法。它包含 “以形助教”、“以数解形”和“数
形互译”三个方 面。本文将结合小学数学中的教
学实例，阐述数形结合思想在解决问题这个方面
教学中的运用。
[关键词]数形结合；解决问题；小学数学
数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己 特定的研究对象，也就
是说，数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学。数形结合的思想是数学的重要思想之一。
［1］

数形结合就是通过数(数量关系)与形(空间形 式)的相互转化、互相作用来
解决数学问题的一种思想方法。其实质是将抽象的数学语言、数量关系与直 观
的几何图形、位置关系结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观
化、形象化、简 单化。
[2]

数形结合是指在数学问题解决过程中，结 合问题中各要素间的本质联系，
根据实际需要，将数量关系与几何图形相结合，依据数与形的对应关系， 通过
数与形相互转化的方式使问题得到巧妙解决的一种思想方法。在解决问题中，
其策略具体表 现为把有关数量关系的问题转化成图形性质的问题进行分析，或
者将有关图形性质的问题转化成数量关系 的问题加以讨论，最终解决问题。这
种思想方法不仅分析问题的代数含义，而且还要揭示其几何意义，把 抽象的数
学运算和直观的几何图形紧密地联系起来。这种思想方法具备了数的精确性和
形的直观 性的双重优势，以数精确地分析形，或以形直观地表示数，正如数学
家华罗庚所说：“数缺形时少直观， 形少数时难入微”。


故而，数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数 学教材的一
个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含 “以形助教”、“以数解形”
和“数形互译”三个方面。
本文将结合小学数学中的教学实例，阐述数形结合思想在解决问题这个方
面教学中的运用。
一、以数解形，使复杂的问题简单化
以数解形就是借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些 属性，即以数作
为手段，形作为目的。
[3]
有些图形过于简单，直接观察却看不出什 么规律，这时
就需要给图形赋值，如边长、角度等等。因为往往一些图形的性质，又可以赋
予数 量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，即可使几何问题代数化，以数
解形，用代数的方法使问题得到 解决。
如在学习了《异分母分数加减法》后曾出现这样一道题目：下列图形中阴
影部分的总和 分别是多少？（原正方形的面积是“1”）
图1

图2
图3

初看图形，图形很简单，但大多数学生不能马上得出答案，此时，必须要
借助数，通 过代数方法来计算出阴影部分的面积。已知原正方形的面积是“1”，

11< br>
24
通过观察，发现计算图1阴影的面积，即计算，学生是非常容易算的，可以
111

248
直接通分，然后求出结果。计算图2阴影的面积，即计算，难度也 不
大，通分照样能够解决问题，但是如果运用数形结合的思想，学生就会发现，
原来可以算得更 简单，阴影部分=1—空白部分，即
1－
17
=
88
；则图3阴影面 积等
1111115
+++=1-＝
1616
。依此类推，如果计算下一个图 形的阴影部分面积，于
24816
111111127
1128128128
即等于
24816
，就变得非常方便与简洁了。虽是
面积问题，但我们运用数形结合的思想，用代数方法以数解形，使复杂的问题
简单化。
二、以形助数，使抽象的问题形象化
以形助数是借助于形的直观性来阐述数之间的联系，即以 形作为手段，数
为目的。
[3]
在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征， 构造出相应的
几何图形，转化为几何问题，可以使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直
观， 使原本抽象而复杂的问题变得形象化、简单化。
分数应用题是小学应用题教学的重点和难点，由于抽象 程度比较高，学生
难以理解和掌握。在教学中，仅让学生凭借教师总结的解题技巧去按图索骥，
是难以达到预期效果的，要较好地解决这个问题，就必须运用数形结合的思想。
如：一篮鸡蛋，第一次 拿走整篮鸡蛋的
1
2
，第二次又拿走剩下的
1
2
，最后篮子里还有4个鸡蛋。你知道原来这个篮子里有几个鸡蛋吗?(三年级习题)
这道题单位“l”的 量发生变化，第一次是把“整篮鸡蛋”看作单位“1”
的量，第二次把“剩下的鸡蛋”看作单位 “1” 的量，因此学生在解答时往往
会感到困难。只要运用数形结合的思想帮助弄清题意，这道题就简便多了。 画
线段图如下：

1
4
单位“1”（一篮鸡蛋）
单位“1”
1
（剩下
2
篮鸡蛋）
1
航模小组人数＋航模小组人数× ＝美术小组的
人数
4
拿走
1
4
1
2
1
剩下
2
拿走剩下 还剩4个
的
1
鸡蛋
2

，还有4个鸡蛋，那么从上述线段图中可以很清楚地看 出，拿走剩下的
1
2
第一次拿走后“剩下的鸡蛋”的数量应该是4个的2倍，即8个。 所以整篮鸡蛋的
数量就是8个的2倍，即16个，列式为4×2×2=16(个)。如此抽象的思维有了 “形”
这个桥梁作为依托，思考起来既省时又省力。
又如：美术小组有25人，美术小组的人数比航模小组多 。航模小组有
多少人 ？（六年级解决问题）
这道题学生对于判断单位“1”到底是谁，谁比谁多了几人，到底应该用
乘还是除，很多学生不理解题目的真正意思，易混淆分数乘除法，到底应该怎
么做，学生经常会遇到困 难。因此我们可以通过画线段图理解题目意思。




1
要多，多了 ，可以通过线段图写出关系式：航模小组的人数＋美术小组比
4
航模小组多的人数＝美术小组的人数 ，即

单位“1”是航模小组，单位一未知，可以设航模小组人数为X人，则列式
为 X+ X = 25 ,解得X=20 ，则航模小组人数为20人。重点是学生通过线段
图可以清楚明确理解题中美术 小组的人数与航模小组的人数的关系，从而有助
于列出关系式并列式解答。
有的应用题，数量关系比较复杂，学生难以理解，借组线段图可以准确地
通过画线段图，可以清晰地看到是美术小组的人数比航模小组的人数

找出数量 间的对应关系，很容易解出要求的问题,,把抽象的问题形象化，清楚
明了，降低题目的难度，加深了学 生的理解，使学生真正懂得题目含义，便于
学生解题。
三、数形互译，使模糊的问题明朗化
在解决问题过程中，经常要用到“数与“形”互译的数形结合思想 ，即把
问题中的数量关系转译成图形，把抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观
察、分析、 联想，逐步译成算式，以达到问题的解决。
[4]
例如，五年级上册《鸡
兔同笼》一课 ：鸡兔同笼，有20个头、54条腿，鸡、兔各几只?本课的内容书本
上采用列表尝试法，如果采用“数 ”“形”互译的画图法，二年级的学生都能
解答，并且可以从画图法引出数量关系，列式解答。引导学生 画图如下：

（1）画20个头 （2）每个头添上2条腿 （3）再添上剩余
的14条腿
从图上可知兔有7只，鸡有13只。然后引导学生理解数量关系 ：首先假设20
只全是鸡，每只鸡身上长2条腿，共有20×2=40(条)腿，还剩余54—40=1 4(条)
腿，鸡身上再长2条腿变成兔子，直到14条腿长完为止。这样就得到兔子有14÷
( 4—2)=7(只)，鸡有20—7=13(只)，列综合算式为，兔子：(54—20×2) ÷(4
—2)= 7(只)。
从这个教学过程中不难看出：“数”“形”互译，使原本模糊的 问题一下
子变得清晰，学生根据图以及数量关系，能清楚地明白此方法。通过“数”“形”
互译 ，不仅解决了问题，又使学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进，
达到共同发展的结果。由于抽 象思维有形象思维作支持，运用此方法解“鸡兔
同笼”的问题就变得十分简明且巧妙了。
小学 数学教材编排是以数学知识的发生、发展、运用为主线，知识内容是
显而易见的
[5]
，但教材并未明确指出数学知识中所蕴含的数形结合思想，学生也

不易察觉， 这就需要教师从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有
目的、有计划、适时适度地进行渗透数 形结合思想的教学。
教师应在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系，借助数形结合
的“慧眼 ”，探索分 析问题和解决问题的方法。只有将数形结合思想方法的教
学落到实处，我们的学生才能逐步形成数形结合 思想，并使之成为学习数学、
运用数学和发展数学的工具。这样，学生变“学会”为“会学”，进而提高 自身
的数学素养，在数学学习中真正实现素质教育，这是我们数学教学着力追求的
目标。
参考文献：
[1]文志君.数形结合思想在数学教学中的应用[J].考试周刊.2009, （30）:75-76.
[2]夏志新.“数形结合”就是妙[J].新课程改革与实践.2010,（7）:57.
[3]黄晓波.数形结合思想专题精讲[J].中学生数理化·中考版[J].2010,（6）:17. [4]林振兴.“数形结合”思想在解题过程中的妙用[J].小学教学参考.2010,（5）:43.
[5]王彦伟,丁雁玲.数形结合思想在小学数学教学中的应用[J].中小学数学:小学版.2008 ，（11）:13.