万年青的象征意义-英语名言名句

第八讲牛吃草问题
牛吃草问题概念及公式

牛吃草问题又称为消长 问题或牛顿牧场，
牛吃草问题的历史起源
是17世纪英国伟大的科学家
牛顿
1 642—1727)
提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数
的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的
天数不同，草 又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题
常用到四个基本公式，分别 是︰
五大基本公式:
1) 设定一头牛一天吃草量为“1”
2）草的生长速度＝草量差÷时间差；
3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这五个公式是解决牛吃草问题的基础。首 先一般假设每头牛每天吃草量不变，设为，解题关键
是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新 长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进
而解答题总所求的问题。
牛吃草问题是经典 的奥数题型之一，这里我先介绍一些比较浅显的牛吃草问题，后面给大家开
拓一下思维，首先，先介绍一 下这类问题的背景，大家看知识要点
求天数
例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速 生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片
牧草可供25头牛吃多少天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份
草每天的生长量：（200-150）÷（20-10）=5份
10×20=200份=原草量+20天的生长量 原草量：200-20×5=100份 或
15×10=150份=原草量+10天的生长量 原草量：150-10×5=100份
100÷（25-5）=5天
答：这片牧草可供25头牛吃5天？


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练习1（求时间）
1．1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草 可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。可供25
头牛吃＿＿天。 （ ）
A. 10 B. 5 C. 20
答案：A 假设1头牛1天吃草 的量为1份。每天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。
那么愿草 量为：10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：
200÷（25-5）=10（天）。

2． 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又 在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，23头
牛9天把草吃尽。如果有牛21头， 几天能把草吃尽？

3．有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃40天 ，或6供头牛吃30天。如果4头牛
吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？

4．牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供 15头牛吃10
天，如果要供18头牛吃，可吃几天？

5．由于天气逐渐寒冷，牧 场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可
供25头牛吃9天，那 么可供21头牛吃几天？

6． 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定 的速度在减少，如果某块草地上的草可供25
头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃 多少天？
7．一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么 可供18头牛吃几
天？
8．有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供25头牛吃多少天 ？

9．牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10 天。可供25头牛吃
几天？
10.有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？
A.3 B.4 C.5 D.6
【牛老师答案】C
【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天
根据核心公式 代入
(200-150)(20-10)=5 10*20-5*20=100 100(25-5)=5(天）
【牛老师例5】
A.16 B.20 C.24 D.28
【牛老师答案】C

林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子
一起吃，则需要几周吃光？ （假定野果生长的速度不变）
A.2周 B.3周 C.4周 D.5周
【牛老师答案】C

一片牧草，每天生长的速度相同．现在这片牧草可供2 0头牛吃12天，或可供60只羊吃24天．如果1头牛
的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与 88只羊一起吃可以吃多少天？
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< /p>

8．有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12 天。如果一头牛的吃
草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
8天
（1）按牛的吃草量来计算，80只羊相当于80÷4=20（头）牛。
（2）设1头牛1天的吃草量为1份。
（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）
（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）
（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：120÷（10+60÷4-10）=8（天）
1、牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供 21头牛吃几周？

求牛的数量
例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长 大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头
牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计 算，可供多少头牛吃10天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份
草每天的减少量：（100-90）÷（6-5）=10份
20×5=100份„„原草量-5天的减少量 原草量：100+5×10=150 或
15×6=90 份„„原草量-6天的减少量 原草量：90+6×10=150份
（150-10×10）÷10=5头
答：可供5头牛吃10天？
总结 ：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速
生 长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。
练习2（求牛数）
1)
有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天 ．假设草的每天生长速度不变．现有羊若干只，吃
了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完， 问有羊多少只？


2) 有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。12头牛4周吃完6 公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草．假
设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变．问多少 头牛8周吃完16公顷的牧草？

3) 有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。这个牧场可供 17头牛吃30天，可供19头牛吃24天。现有牛若干头
在吃草，6天后，杀了4头牛，余下的牛吃了 2天将草吃完。问原来有牛多少头？

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4) 有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供牛22头吃54天；第二 牧场28公亩，可供17头牛吃84天，第
三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？（每块地每公亩草 量相同且都是匀速生长）

5) 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17 头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干
头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2 天将草吃完，问原来有牛多少头？


6) 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供几头牛吃20天？


7) 一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12头牛与36只 羊吃25天，如果1头牛每天的吃草
两相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只 羊一起吃，刚好16天吃完？

8) 有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水 吊水，如果每分吊 4桶，则
15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水 ？

9) 有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完 ，如果派19人去割草，则
24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？


10) 有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可 喝完；如果由4人喝，
5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？



11) 一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水 机连续15天可抽干。若
要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？



12) 有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供多少头牛吃4天 ？
22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽； 17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽； 多少头牛吃
40公亩牧场的草，24天可以吃尽？
有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？
A.20 B.25 C.30 D.35
【牛老师答案】C
【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，
根据核心公式代入
(20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30(头）

如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽 ，那么要
在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？
A.50 B.46 C.38 D.35
【牛老师答案】D
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【牛老师解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为Y ，
24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛
根据核心公式：
，代入
，因此 ，选择D
【牛老师注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。
下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。 、
一块草地上的草以均 匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14
只羊则要10天吃光 。那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要＿＿只羊。
（ ）
A. 22 B. 23 C. 24
假设1只羊1天吃草的量为1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量 是：20
×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊 ：60÷4+8＝23（只）

练习：因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀 的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃
5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多 少头牛吃10天?















13.有一牧场，牧草每 天匀速生长，可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16天，现在开始只有4头牛吃，从第7天开始，又增加了若干头牛，再用6天吃光所有的草，问增加了几头牛？

有一片匀速生长的牧草， 可供17头牛吃30天，或可供19头牛吃24天。原来有若干头牛在草地上吃草，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问原来有牛多少头？
3、有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派 17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如
果需要6天割完，需 要派多少人去割草？


牛的数量变化
例3：一个牧场上的青草每 天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛
吃了4天后卖掉2头， 余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？
解：设每头牛每天的吃草量为1份。
每天新生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，
原有的草量为（27-15）×6=72份。
如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量
72+15×8+2×4=200份。
所以这群牛原来有200÷8=25头



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草地大小变化
例4：有三 块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛
吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？

这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。
把每头牛每天吃的草看作1份。
因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份
所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份
所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份
所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份
所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份
所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份
第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份
新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天 ，因此288÷80
＝3.6头牛
所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。
解法一：
设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*305=60；
每亩45天的总草量为：28*4515=84
那么每亩每天的新生长草量为(84-60)(45-30)=1.6
每亩原有草量为60-1.6*30=12，
那么24亩原有草量为12*24=288，
24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，
24亩80天共有草量3072+288=3360，
所以336080=42(头)
解法二：根据10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，
根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量 (28×45-30×30)(45-30)=24；
15亩原有草量：28×45-24×45=180；
15亩80天所需牛18080+24(头)
24亩需牛：(18080+24)*(2415)=42头
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练习：有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8 公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一
块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供1 2头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天？

有三片草地，面积分别为4公顷， 8公顷和10公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一片草地上的草可供24头牛吃6
周，第二 片草地上的草可供36头牛吃12周．问：第三片草地上的草可供50头牛吃几天？





求最大量
例5：经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或 可供80亿人生活300年。假设地球 新生成的资源增
长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（ ）亿人。 70
解：设1亿人1年所消耗的资源为1份
那么地球上每年新生成的资源量为 ：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）
只有当地球每年新生资源不 少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多
只 能养活：70÷1=70（亿人）

练习3（求最多）


1)
有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完草，如果放< br>牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？




假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此 推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供
90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那 么地球最多可以养活多少亿人？



有一片牧场，24头牛6天 可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧
几头牛？




新型牛吃草
检票口吃人
例1：旅客在车站 候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小
时把所 有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人
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数
解：设一个检票口一分钟一个人
1个检票口30分钟30个人
2个检票口10分钟20个人
(30-20)÷(30-10)=0.5个人
原有1×30-30×0.5=15人
或2×10-10×0.5=15人
练习：一游乐场在开门前有100人排队等候，开 门后每分钟来的游客是相同的，一个入口处每分钟可以放入10
名游客，如果开放2个入口处20分钟就 没人排队，现开放4个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？


物美超市的收 银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天
某时刻， 超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款
开 始几小时就没有顾客排队了？ D
A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时


画展9时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观 众人数一样多。如果开3个入
场口，9点9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点＿＿ 分。
（ ）
A. 10 B. 12 C. 15
C假设每个人口每分钟进入的观众量是1份。
每分钟来的观众人数为（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）
到9时止，已来的观众人数为：3×9-0.5×9＝22.5（份）
第一个观众来到时比9时提前了：22.5÷0.5＝45（分）
所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分。
禁毒图片展8点开门，但很早便有 人排队等候入场。从第一个观众到达时起，每分钟来的观众人数一样多。如果
开3个入场口，8点9分就 不再有人排队；如果开5个入场口，8点5分就没有人排队。第一个观众到达时距离
8点还有多少分钟？


画展9点开门，但早就有人排队入场。以第一个观众来到时起，每分钟来的观众人 数一样多。如果开3个入场口，则9分钟后就不
再有人排队；如果开5个入场口，则5分钟后就不再有人 排队。那么第一个观众到达的时间是几点几分？



电梯吃人
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例1、自动 扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女
孩每 分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
解析：男孩：20×5 =100（级） 自动扶梯的级数-5分钟减少的级数
女孩;15×6=90（级） 自动扶梯的级数-6分钟减少的级数
每分钟减少的级数= (20×5-15×6) ÷(6-5)=10(级)
自动扶梯的级数= 20×5+5×10=150（级）
例 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方 向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶
梯的一端到达另一端男孩走了100 秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？
3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数
2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数
每秒新增的级数：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）
自动扶梯级数= 3×100-100×1.5=150（级）
自动扶梯以均匀速度 由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走
20级台阶，结果 小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？

商场的自动滚梯 以均匀的速度由下往上行驶着,两个孩子嫌滚梯走的太慢，于是在行驶的滚梯上,男孩每秒钟向上走1 级台阶， 女
孩每3秒向上走2级台阶，结果男孩用50秒到达搂上，女孩用了60秒到达搂上。问商场的自动滚梯 共有多少级？







水管抽水
例1、水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样 的抽水机连续15天可抽干，
若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？

分析：
5台 20天 原有水+20天入库量
6台 15天 原有水+15天入库量
？台 6天 -原有水+6天入库量
解答：设1台1天抽水量为，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90
每天入库量(100-90)÷(20-15)=2
20天入库2×20=40，
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原有水100-40=60
6天的总水量60+2×6=72
72÷6=12（台）

练习：一个水池，池底有水流均匀涌出．若将满池水抽干，用1 0台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小
时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少 台？
设每台水泵每小时抽水量为一份．
（1）水流每小时的流入量：
（5×7-10×2）÷（7-2）=3（份）
（2）水池原有水量：
5×7-3×7=14（份）
或 10×2-3×2=14（份）
（3）半小时内把水抽干，至少需要水泵：
（14+3×0.5）÷0.5=31（台）
练习：有一水井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用3架抽水机来抽水，36分钟可以
抽完，如果使用5架抽水机来抽水，20分钟可抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少架？

有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用 40分钟能排完；
如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完， 需要多少台抽水机？ 【牛
老师答案】B
A.5台 B.6台 C.7台 D.8台
一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内 ，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀
完。如果只有5个人舀水，要10小时才 能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？





例：有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，如用10台抽水机需抽8小时；如用8台抽水机需
抽12小时。那么，如果用6台抽水机，需抽多少小时？
解答：
设一台抽水机一小时抽水一份。
则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，
池内原有的水是：（10-5）×20=100份.
所以,用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时

练习：一个水池，池 底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可
把水抽干 。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？



有一水池，池 底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如
果用 6台抽水机，那么需抽多少小时？





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蜗牛爬山
例：两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行 20分
米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好 用了5个昼夜
到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？
蜗牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米
所以井深： （20+10）×5=150分米=15米
点评：此题按牛吃草问题来处理，考察了学生的思维和推理能力．







5. 快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自 行车。三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。
快车追上自行车用了6小时，中车追上 自行车用了10小时，慢车追上自行车用（ ）小时。
自行车的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米小时）
三车出发时自行车距A地：（24-14）×6==60（千米）
慢车追上自行车所用的时间为：60÷（19-14）=12（小时）
甲、乙、丙三辆车同时 从A地出发，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员，过了2分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车
也超了过去．已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，求丙车的速度.
10. 现有 速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在的速度去追乙< br>车，3小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？
15小时
设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：
（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5
乙车原来与甲车的距离为：
2×5-0.5×5＝7.5
所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：
7.5÷（1-0.5）=15（小时

6. 一水池中原有一些水，装有一根进水 管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24根抽水管抽水，6小时可以把池中
的水抽干，那么用16 根抽水管，（ ）小时可将可将水池中的水抽干。

设1根抽水管每小时抽水量为1份。
（1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）
（2）水池中原有的水量为：21×8-12×8＝72（份）
（3）16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小时）
7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运 完，如果用8辆汽车，
16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过 4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（ ）
辆。
1设每两汽车每小时运的货物为1份。
（1）进水管每小时的进水量为：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）
（2）码头原有货物量是：9×12-12×5＝48（份）
（3）3辆汽车运10小时后还有货物量是：48+（5-3）×10=68（份）
（4）后来增加的汽车辆数是：（68+4×5）÷4-3=19（辆）
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9. 某水库建有10个泄洪闸，现在水 库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，
需开闸泄洪。假设每个 闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10
小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？
4个 设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份。
（1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）
（2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）
（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）
（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）
其它情形
漏水问题，排队等候问题...等均可看作这种问题。 “牛吃草”问题分析


5． 答案仅供参考：
1．设1头牛吃一天的草量为一份． 60只羊相当于60÷4=15头牛
（1）每天新长的草量：
（15×24-20×12）÷（24-12）=10（份）
（2）原有草量：
20×12-10×12=120（份）
或 15×24-10×24=120（份）
（3）12头牛与88只羊吃的天数：
120÷（12＋88÷4-10）=5（天）

3．设一只羊吃一天的草量为一份．
（1）每天新长的草量：
（8×20-14×10）÷（20-10）=2（份）
（2）原有的草量：
8×20-2×20=120（份）
（3）若不增加6只羊，这若干只羊吃6天的草量，等于原有 草量加上4＋2=6天新长草量再减去6只羊2天吃的草量：
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120＋2×（4＋2）-1×2×6=120（份）
（4）羊的只数：
120÷6=20（只）
4．设1头牛吃一周的草量为一份．
（1）每公顷每周新长的草量：
（20×6÷12-12×4÷6）÷（6-4）=1（份）
（2）每公顷原有草量：
12×4÷6-1×4=4（份）
（3）16公顷原有草量：
4×16=64（份）
（4）16公顷8周新长的草量：
1×16×8=128（份）
（5）8周吃完16公顷的牧草需要牛数：
（128+64）÷8=24（只）
5．（1）长跑运动员的速度：
[800×（6+2）-1000×6]÷2=200（米分）
（2）三车出发时，长跑运动员与A地的距离：
1000×6-200×6=4800（米）
（3）丙车行的路程：
4800+200×（6+2+2）=6800（米）
（4）丙车的速度：
2、有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水 吊水，如果每 分吊4桶，
则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少 桶水？
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4、有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5 天可喝完。
这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？
5、一水库存水量一定，河水均匀入库 。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需
要多少台同样 的抽水机？
6800÷10=680（米分）
1、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天 以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那
么，可供11 头牛吃几天？
2、有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8时 ，8台抽水机需抽12时。如果用6台抽水机，
那么需抽多少小时？
3、有一个水池，池 底有一个打开的出水口。用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠
出水口出水，那么多长时间能把水漏完？
4、 5、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每 分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开
5个检票口则需要30分钟，若 同时开6个检票口则需要20分钟。如果要使队伍10分钟消失，那么需要同时开几个检票口？
1、牧 场长满牧草，每天牧草匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问可供25头牛吃几 天？
2、 3、一片牧草，可供9头牛吃12天，也可供8头牛吃16天。现在开始只有4头牛 吃，从第7天起又增加了若干头牛来
吃草，再吃6天吃完了所有的草。问从第7天起增加了多少头牛（草 每天匀速生长，每头牛每天的吃草量相等）？
4、一片牧草，可供16头牛吃20天，也可供80 只羊吃12天，如果每天1头牛的吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10头
牛与60只羊一起吃这一 片牧草，问几天可以吃完这片牧草（牧草每天生长的速度相同，每只羊、每头牛每天的吃草量相同）？
5、哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级，相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上 走到顶，共走
了50级。若哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍。那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能 看到的部分有多少级？
1. 一片牧场长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，或可供15
头牛吃10天，问：可供多少头牛吃5天？
2. 一片均匀生长的牧草，如果9头牛吃,12天吃光所有的草,如果8头牛吃16天吃完所有的
草。如果13头牛吃，多少天可以把草吃完？
3. 有一片牧场,草每天生长的速度相同 。草地上的草可供10头牛吃10周，或可供24只羊吃20周。已知每周1头牛和3只羊的
吃草量相同 ，那么10头牛和12只羊一起吃草，可以吃多少周？
3. 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏水时，船已经进了一些水。如果
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用12个人来淘水，3小时可以淘光 ，如果用5个人来淘水，10小时才能淘光。现在要2小时淘光，需要安排多少人淘水？
4. 一 水库存原有水量一定，河水每天均匀入库。用5台同样的抽水机连续20天可将水抽干；用6台同样的抽水机连续 工作15天
可将水抽干。若想6天将水库里的水全部抽干，需要多少台同样的抽水机？
5. 公路客运站早上5点开始售票，但早就有人排队等候买票了，每分钟来的旅客一样多，
从开始售票到等候买票的队伍消失，如果同时开5个售票口需30分钟，如果同时开6个售票口需20分钟。如果 让队伍10分钟消
失，那么要同时开几个售票口？
67. 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。男孩20秒走了27级，女孩走了24级，按
此速度男孩子2分钟到达另一端，而女孩需3分钟才能到达。问该自动扶梯共有多少级?
8. 由于天气逐渐变冷，牧场上草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头
牛吃5天，或可供16头牛吃6天，则11头牛可以吃多少天？
10. 12.




















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例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。
例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。
例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。
例4： 有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，
这个年级至少有多少人 ？
题中9、7、5三个数两两互质。

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则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔 9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。
例5： 有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225； 使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。





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