小学奥数牛吃草问题教案课程一
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奥数十二讲
牛吃草问题（一）
牛吃草问题也叫牛顿问题或是消长问题，因由
牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。英国
著名的物理学家学家牛顿曾编过这样一道数
学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10
头牛吃，可以吃22天，或者供给1
6头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？
解题关键
牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：
1、求出每天长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；
4、最后求出可吃天数
想：这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的
总量与16头牛10天吃的总
量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草
，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛
一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，
把所有头牛分成两部分来研究，用其中头吃掉
新长出的草，用其余头数吃掉原有的草，即可求出全部头牛
吃的天数。
设一头牛1天吃的草为一份。
那么10头牛22天吃草为1×10×22=220份，16头牛10天吃草为1×16×10=160份
（220-160）÷（22-10）=5份，说明牧场上一天长出新草5份。
220-5×22=110份，说明原有老草110份。
综合式：110÷（25-5）=5.5天，算出一共多少天。
牛顿曾提出的问题
<
br>牛顿在其著作《普遍的算术》(1707年出版)中提出如下问题：条公牛在四个星期内吃掉了三又
三分之一由格尔的牧草；21条公牛在9星期吃掉10由格尔的牧草，问多少条公牛在18个星期内吃掉24<
br>由格尔的牧草？
（由格尔是古罗马的面积单位，1由格尔约等于2,500平方米）
。这个著名的公牛问题叫做“牛
顿问题”。牛顿曾说过：“如果我看得比别人更远些，那是因为我站在巨
人的肩膀上”。
牛顿的解法是这样的：在牧草不生产的条件下，如果12条公牛在四星期内吃掉三又三
分之一由格尔的牧
草、则按比例36头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内
吃掉10由格尔的牧
草，由于牧草在生长，所以21头公牛9星期只吃掉10由格尔牧草，即在随后的五
周内，在10由格尔的
草地上新长的牧草足够21-16=5头公牛吃9星期，或足够52头公牛吃18
个星期，由此推得，14个星
期（即18个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个
星期，因为5：14=52：7。前
已算出，如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供八头公牛吃18个
星期，现考虑牧草生长，故应加上7
头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由
此按比例可算出。24由格尔草地的牧
草实际可供36头公牛吃18星期。
牛顿还给出代数解法：他设1由格尔草地一个星期内新长的牧草相当于面积为y由格尔，由于每头
公牛每
个星期所吃牧草所占的面积看成是相等的，
根据题意，设若所求的公牛头数为x，则（103+
103）
*4y(12*4)=(10+10*9y)(21*9)=(24+24*18y)18x
解得x=36 即36条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。
还有一种方法就是使用方程式的解法。
例如有一块牧场，可供9头牛吃3天，或者5头牛吃6天，请问多少牛能够2天吃完？
我们做方
程式：设牧场原有草量为y，每天新增加的牧草可供x头牛食用，N头牛能够2
天将草吃完，根据题目条
件，我们列出方程式：
y=(9-x）×3
y=(5-x) ×6
y=(N-x) ×2
解方程组得x=1 y=24 N=13
其实这种牛吃草问题的核心公式是：原有草量=（牛数-
单位时间长草量可供应的牛的数
量）×天数
解法二：
牛吃草
问题的关键点在于这个问题隐藏了一个基本的平衡在其中，那就是：假若每头牛每天的吃草
速率和吃草量
都不相同，那么此题无解，为什么？因为很可能一头牛心情好一天就能吃完这些草，也可
能10头牛食欲
不佳一个月吃都不完这些草，因此每头牛每天的吃草速率和数量必须都是相同的是这个问
题成立并且能够
得到答案的充要条件。
得到这个结论后，我们就要开始确定一个平衡的方程式出来，如何确定？
不难想到，可以是吃草量
和草本身量之间的平衡，也就是吃草量=草总量。于是我们就可以假设一头牛一
天的吃草量为M，并假设
第三种情况牛吃草的天数为N；接下来开始寻找平衡方程，我们可以看到，在问
题提供的条件中，第一
种情况的草地总量为10×M×22，第二种情况的草地总量为16×M×10，
第三种情况的草地总量为
25×M×N。
然后我们开始寻找方程的平衡：既然我们现在
已经找到三种情况里草地的总量，那么不
难想到方程的另一边就要靠草的量来进行平衡，于是，我们假设
原有草量为Y，草每天的生
长量为X，得到如下方程组：
10×M×22=22X+Y
16×M×10=10X+Y
25×M×N=NX+Y
解此方程组，可得X=5，Y=110，N=5.5，因此25头牛用五天半的时间就能吃
完这些草。
规律总结
牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解
答这类题目的关键是想办法
从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新
长的草量。显而易见，原
有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另
一个不变量——每天（每
周）新长出的草的数量。
方法指导：通常思路
①把每头牛每天（周）的吃草量看作是“1”；②求出每天（周）的新生长的草量是多少；③求出原来的
草量
是多少；④假设几头牛专门去吃新生长的草，剩下的牛吃原来的草所用几天（周）数即为所求。由于
牛吃草的天
数不同。
例题：例1 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛
吃6天或23头牛吃9天。问可
供21头牛吃几天？
【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在
变化。解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。因
为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出
的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，
因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变
的。
从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊
？草是以匀速
生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就
是我们解题的关键。
这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们
设牛每天吃草的数量为1份，
具体1份是多少我们不知道，也不用管它，设草每天增长的数量是a份，设
原来的草的数量为b份，那么我们可
以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a
【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供
18头牛吃几天？
15天．设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷
(1
0-6)=14份，原来的草量是（24-14）×6=60份。可供18头牛吃60÷（18-14）=15天
例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头
牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?
【分析】与例
1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以
用类似的方法求出
每天减少的草量和原来的草的总量
【思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少
，经计算，牧场上的草可供20头
牛 吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？
8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4
份，原来的
草量：（20+4）× 5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。 <
br>总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速
生
长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而
解。
知识衍变
牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题
，驴吃草问题也知道怎么做，甚至，以下
这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法
例3 自动
扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽
每分钟走2
0级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？
【
分析
】
在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛
”变成了
“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。
【思考3】两只蜗牛同时从一
口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只
每天爬行20分米，另一只每天
爬行15分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛
恰好用了5个昼夜到达井底
，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？
大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？
15米。
蜗牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米
所以井深：（20+10）×5=150分米=15米
例4 一条船有一个漏洞，水以均匀的
速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，
3小时舀完。如果只有5个人舀水，
要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？
【
分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键
【思考4】一个
水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽
水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？
5小时。设一台抽水机
一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，
池内
原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时
1、
2、
3、
4、
牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。
这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃
几天？
一
个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2
个出
水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管
晚开多少分钟？
由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草
地上的草可供20头牛吃5天，或
可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女
孩每分钟走15级
梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少
级？