唱片骑师-失职检讨书

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型
牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数
各不相同， 求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，
所以草的存量随牛吃的 天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

（1）草的生长速度 ＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）
÷（吃的较多天数－吃的较少天数） ；

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（理解记忆）

（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。（理解记忆）

这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解 决消长问题的重点是要想办法从变化
中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但 由于是匀速生长，所以
每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基 本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又 有每天新
长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地
里原 有草的数量，进而解答题总所求的问题。

这类问题的基本数量关系是：

1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数- 吃的较少的
天数)=草地每天新长草的量。

2.牛的头数×吃草天数- 每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

简析

【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少
天？

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】C

【例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4
天？

A.20 B.25 C.30 D.35

【答案】C

【演变题目 例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽 ，17头牛吃28
公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少 头牛？

A.50 B.46 C.38 D.35

【答案】D

【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。
分析：要先求出“原有草量”和“每天新生长草量”，但因为这三块地面积各不相同，所以我们应该先找出“单一量”，也就是一公亩一天所生的草相当于几头牛吃一天，一公亩原有的
草相当 于几头牛吃一天。
22头牛54天吃完33公亩上的牧草，那么一公亩草地上原有的草量加上54天 新长的草，可
供22×54÷33＝36（头）牛吃一天。
17头牛84天吃完28公亩上 的牧草，那么一公亩草地上原有的草量加上84天新长的草，可
供17×84÷28＝5（头）牛吃一天 。
那么一公亩草地上2天新生长的草量就相当于1头牛吃一天的草量。30÷15＝2（天）也就是
一公亩草地上2天新长的草可供1头牛吃1天。
因为一公亩草地上2天新长的草可供1头牛 吃1天，所以一公亩54天新长的草可供27头牛
吃1天，33公亩草地上54天新生长的草可供27× 33＝891头牛吃1天。
而33公亩草地上54天的总草量可以供54×22＝1188头牛吃1 天，所以33公亩草地原有草
量可供1188－891＝297头牛吃1天，那么1公亩上原有草就可供 297÷33＝9头牛吃1天。
下面就可以分步列式求出答案了：
（1）一公亩一天新长草可供几头牛吃1天？ (17*8428-22*5433)(84-54)=0.5 （头）
（2）一公亩原有草可供几头牛吃1天？ (22*54-54*33*0.5)33=9 （头）
（3）40公亩24天的总草量可供几头牛吃1天？ 9*40=360（头）
（4）40公亩牧场的草24天几头牛才能吃完？ (360+0.5*24*24)24=35 （头）


下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法在真题中的应用。

【例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽< br>水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果
计划 用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？【广东2006上】

A.5台 B.6台 C.7台 D.8台

【答案】B

【例5】有一水池，池底有 泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8

小时，8台抽水机需抽12小 时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招2006】

A.16 B.20 C.24 D.28

【答案】C

【例6】林子里 有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周
内吃光，问如果有33只猴子 一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江
2007】

A.2周 B.3周 C.4周 D.5周

【答案】C

【例 7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小
时能应付80名顾客付 款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没
有顾客排队了，问如果当时开设两个 收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江
2006】

A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时

【答案】D

例题
旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站 放一
个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数
设一个检票口一分钟一个人
1个检票口30分钟30个人
2个检票口10分钟20个人
(30-20)(30-10)=0.5个人
原有1*30-30*0.5=15人
或2*10-10*0.5=15人

题目演变之一(青草减少)
由于天气逐渐变 冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛
吃5天，或可供16头牛吃6 天。那么，可供11头牛吃几天？
答案8（天）

题目演变之二(不同草地) < br>有三块地，面积分别为：4公顷、8公顷、10公顷。草地上的草一样厚，而且长的一样快。
第一 块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三快地可供50
头牛吃几周？
A 8 B 9 C 10 D 11 答案B