瞬间搞定牛吃草问题概念及公式
献给爱丽丝吉他-友人
牛吃草问题概念及公式
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场 牛吃草问题的·历史起源：英国数学家牛顿
(1642—172
7)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐
述理论时，总是把许
多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和
头数的题目，人们称之为牛顿的牛
吃草问题。，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固
定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的
天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于
吃的天数不同，草又是天天在生
长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四
个基本公式，分别
是︰
假设定一头牛一天吃草量为“1”
1）草的生
长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷
（吃的较多天数－吃的较少
天数）；
2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化
中找
到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以
每天新长出的草量
应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
牛吃草问题经常给出不
同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新
长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若
干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每
日新长草的数量，再求出草地
里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的基本数量关系是：
1.(牛的头数×吃草较多的天数-
牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的
天数)=草地每天新长草的量。
2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量。
解多块草地的方法 多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这
样
可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。
“牛吃草”问题分析
【牛老师例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头
牛吃10天，则它可供25头牛
吃多少天？
A.3 B.4 C.5
D.6
【牛老师答案】C
【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y
天
根据核心公式 代入
(200-150)(20-10)=5 10*20-5*20=100
100(25-5)=5(天）
【牛老师例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头
牛吃4天？
A.20 B.25 C.30 D.35
【牛老师答案】C
【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，
根据核心公式代入
(20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30(头）
【牛老师例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩
牧场的草，
84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？
A.50
B.46 C.38 D.35
【牛老师答案】D
【牛老师解析】
设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有
牧草量为Y ，
24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛
根据核心公式：
，代入
，因此 ，选择D
【牛老师注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。
下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。
【牛老师例4】有一个灌溉
用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用
2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果
用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。
问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？【
广东2006上】
A.5台 B.6台 C.7台 D.8台
【牛老师答案】B
【牛老师解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y台抽水机
有恒等式：
解 ，得 ，代入恒等式
【牛老师例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把
水池的水抽干，10台抽水机需
抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少
小时？【北京社招
2006】
A.16 B.20 C.24
D.28
【牛老师答案】C
【牛老师解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y小时
有恒等式：
解 ，得 ，代入恒等式
【牛老师例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子
可在9周内吃光，21只猴子可
在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定
野果生长的速度不变）
【浙江2007】
A.2周 B.3周 C.4周 D.5周
【牛老师答案】C
【牛老师解析】设每天新生长的野果足够X只猴子吃，33只猴子共需Y周吃完
有恒等式：
解 ，得 ，代入恒等式
【牛老师例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾
客前来排队付款，每一个收银
台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台
，付款开始4小
时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了
【浙
江2006】
A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时
【牛老师答案】D
【牛老师解析】设共需X小时就无人排队了。
例题 1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车
站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所
有乘客O
K了 求增加人数的速度还有原来的人数
设一个检票口一分钟一个人
1个检票口30分钟30个人
2个检票口10分钟20个人
(30-20)÷(30-10)=0.5个人
原有1×30-30×0.5=15人
或2×10-10×0.5=15人
2、有三块草地，面积分别是5，15，24
亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第
一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛
吃45天，问第三块地可供多少头牛
吃80天？
这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。
把每头牛每天吃的草看作1份。
因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份
所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份
所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份
所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份
所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份
所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份
第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份
新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要
够
吃80天，因此288÷80＝3.6头牛
所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。
两种解法：
解法一：
设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天
的总草量为：10*305=60；每亩45天的总草
量为：28*4515=84那么每亩每天的新生
长草量为(84-60)(45-30)=1.6每亩原有草量为
60-1.6*30=12，那么24
亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，
24亩8
0天共有草量3072+288=3360，所有336080=42(头)
解法二：10头牛
30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15亩，
可以推出15亩每天新长
草量 (28×45-30×30)(45-30)=24；15亩原有草量：1260-24×45=180；
15亩80天所需牛18080+24(头)24亩需牛：(18080+24)*(2415)=42
头