五年级牛吃草问题
徐庶进曹营-比尾巴课件
牛吃草问题
牛吃草问题是经典的奥数题型之一，首先，先介绍一下这类问题的背景
一、定义
伟大的科学家牛顿著的《普通算术》一书中有这样一道题：“12头牛4周吃牧草
格尔，
同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。”（格尔——牧场
面积单位），以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。
二、特点
在“牛
吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题
的工作总量是不固定的，
一直在均匀变化。来看看这例题
例.有这样的问题：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6
周，或供23头牛吃
9周.那么它可供21头牛吃几周？
解答这类问题，困难在于草的总
量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间愈长，草
的总量越多.草的总量是由两部分组成的：①某个
时间期限前草场上原有的草量；②这个时间
期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找
出这两个量来。
下面就用开头的题目为例进行分析.（见下图）
从上
面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相
当于3周新生长的草
量.为了求出一周新生长的草量，就要进行转化.27头牛6周吃草量相当
于27×6＝162头牛一周
吃草量（或一头牛吃162周）.23头牛9周吃草量相当于23×9=207
头牛一周吃草量（或一头
牛吃207周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207-162）
÷（9-6）=15头
牛一周的吃草量。
需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减
去6周新
生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有草量。
所以牧场上原有草量为27×6-15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9-15×9=72）。
牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分.一部分
看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长的草.但是新生的草只能维持15头牛的吃
草量，且
始终可保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）.故分出15头牛
吃新生长的草，另
一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃72÷6=12（周），
也就是这个
牧场上的草够21头牛吃12周.问题得解。
三、例题讲解
例1 牧场上一
片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供
15头牛吃10天。问：可供
25头牛吃几天？
分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化。总草量可以分为
牧场上
原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因
为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下
面，就要设
法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。
设1头牛一天吃的草为1份。那么，10
头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃
150份，草也被吃完。前者的总草量是200份
，后者的总草量是150份，前者是原有的草加
20
天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。
200－150＝50（份），20—10＝10（天），
说明牧场10天长草50份，1天长草
5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，
5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此
得出，牧场上原有草
（l0—5）×
20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。
现在已经知道原有草100份，每天
新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长
出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需10
0÷20＝5（天）。
所以，这片草地可供25头牛吃5天。
在例1的解法中要注意三点：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计
算出来的。
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃
原
有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。
（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草
，其余的牛吃原有的草，根据原有的草
量可以计算出能吃几天。
例2. 12头牛28天
可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧
场上全部牧草.多少头牛126
天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相
等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）
？
分析：解题的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天，一公亩原有的草量
可供几头牛吃一天。
12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草.相当于一公亩原来的牧草加上2
8天新生长的草
可供33.6头牛吃一天（12×28÷10＝33.6）。
21头牛6
3天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于一公亩原有的草加上63天新生长的草
可供44.1头牛吃一天
(63×21÷30＝44.l）。
一公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天，即（44.l-33.6）÷（63-28）=0.3（头）。
一公亩原有的牧草可供25.2头牛吃一天，即 33.6-0.3×28=25.2（头）。
72公亩原有牧草可供14.4头牛吃126天.即 72×25.2÷126=14.4（头）。
72公亩每天新生长的草量可供21.6头牛吃一天.即
72×0.3=21.6（头）。
所以72公亩牧场上的牧草共可以供36（=14.4＋21.6）头牛吃126天.问题得解。
解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？
（63×2i÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3（头）。
一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？ 12×28÷10-0.3×28=25.2（头）。
72公亩的牧草可供多少头牛吃126天？ 72×25.2÷126+72×0.3=36（头）。
答：72公亩的牧草可供36头牛吃126天。
例3．两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向
井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不
同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。
黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度
却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用
了6个昼夜到达井底。
那么，井深多少米？
分析：大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？
蜗牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米
所以井深：（20+10）×5=150分米=15米
例4.一只船发现漏水时，已经进了一
些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；
如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，
要安排多少人淘水？
分析：这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量
是个变
量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的<
br>水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。
如果设每个人每小时的淘水
量为“1个单位”.则船内原有水量与3小时内漏水总量之和
等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1
×3×10＝30.
船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。
每小
时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40-30）÷（8-3）=2（即
每小时漏
进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。
船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水
量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于3
×2=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-（
2×3）=24。
如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2＝12（人），但与此
同时，每小时的
漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14（人）。
从以上这
两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时
间内增加的量，这两个量是
不变的量.有了这两个量，问题就容易解决了。
例5．一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水
机20小时可以把水抽干，用15部
相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少
小时可以把水抽干？
分析：设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：（20×10-1
5×10）÷(20-10)=5
份，池内原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25
部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时
例6. 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.
5台抽水机连续20天可抽干；6台同
样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样
的抽水机？
解：水库原有的水与20天流入水可供多少台抽水机抽1天？20×5=100（台）。
水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？6×15=90（台）。
每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？ （100-90）÷（20-15）=2（台）。
原有的水可供多少台抽水机抽1天？ 100-20×2=60（台）。
若6天抽完，共需抽水机多少台？ 60÷6＋2=12（台）。
答：若6天抽完，共需12台抽水机。
例8.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩
子要从扶梯上楼。已知男孩每
分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼
上，女孩用了6分
钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
分析：与例3比较，“总的草量
”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”
变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题
。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速
度。男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（级），女孩比男孩少走
了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达
楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有
（20＋10）×5＝150（级）。
解：自动扶梯每分钟走
（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级），
自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。
答：扶梯共有150级。
例9
.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到
等候检票的队伍消失
，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同
时打开7个检票口，那么需多少
分钟？
分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”
，
可以用牛吃草问题的解法求解。
旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排
队的原有旅客，另一部分是开始
检票后新来的旅客。
设1个检票口1分钟检票的人数为1
份。因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5
个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（
30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，
所以每分钟新来旅客
（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可
以求出原有旅客为
（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。
同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的
旅客，需要
60÷（7-2）=12（分）。
例10. 由于天气逐渐冷起来，
牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知
某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供1
5头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10
天？
分析与解：与例1不同的是，不仅没
有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我
们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原
有的草量。
设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，10
0-90=10（份），
说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。
由“草地上的
草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草
（20＋10）×5＝150（份）。
由
150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃
10天，寒冷占去10头牛，所以，可供
5头牛吃10天。
例11．一个牧场上的青草每
天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛
吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，
余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多
少头？
分析：设每头牛每天的吃草量为1份。
每天新生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）=15
份，原有的草量为（27-15）
×6=72份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量72+15
×8+2×4=200份。
所以这群牛原来有200÷8=25头
例12.一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供1
6头牛吃20天，或者供80只
羊吃12天.如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么1
0头牛与60只羊一起
吃可以吃多少天？
分析 由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃
草量，故60只羊每天的吃草量和15
头牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量与20头牛每天吃草量
相等。
解：60只羊每天吃草量相当多少头牛每天的吃草量？ 60÷4＝15（头）。
草地原有草量与20天新生长草量可供多少头牛吃一天？ 16×20=320（头）。
80只羊12天的吃草量供多少头牛吃一天？ （80÷4）×12=240（头）。
每天新生长的草够多少头牛吃一天？ （320-240）÷（20-12）=10（头）。
原有草量够多少头牛吃一天？
320-（20×10）＝120（头）。
原有草量可供10头牛与60只羊吃几天？
120÷（60÷4+10-10）＝8（天）。
答：这块草场可供10头牛和60只羊吃8天。
例13.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。
第一
块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19
头牛吃多少
天？
分析与解：例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，
只需将三块草地的面积统一起来。
［5，6，8］＝120。
因为
5公顷草地可供11头牛吃10天，
120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24＝
264（头）牛吃10天。
因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝
240
（头）牛吃14天。
120÷8＝15，问题变为：
120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：
“一块匀速生长的草地，可供264头
牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285
头牛吃几天？”
这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有
（240×14－264×1
0）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草（264—180）×10＝840
（份）。可供2
85头牛吃
840÷（285—180）＝8（天）。
所以，第三块草地可供19头牛吃8天。
练习
1.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周
或供23头牛吃9周。
那么，可供21头牛吃几周？
2.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃 24
天。现有
一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原来有多少
头？
3
.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地
球新生成
的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？
4.有一水池
，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20时可以把水抽干；用15部同样的
抽水机，10时可以把水
抽干。那么，用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？
5.某车站在检票前若干分钟就开始
排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放3
个检票口，那么40分钟检票口前的队伍恰好消失；
如果同时开放4个检票口，那么25分钟
队伍恰好消失。如果同时开放8个检票口，那么队伍多少分钟恰
好消失？
6.两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行
的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑
行
的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜
到达井底。那么
，井深多少米？
7.两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级梯
级，女孩
可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端。问：该扶梯<
br>共多少级？
答案与提示
1.解：设1头牛1周吃的草为1份。牧场每周新长草
（23×9-27×6）÷（9-6）=15（份）。
草地原有草（27-15）×6=72（份），可供21头牛吃72÷（21-15）=12（周）。
2.解：设1头牛1天吃的草为1份。牧场每天新长草（17×30－19×24）÷（30-24）=9
（份）。
草地原有草（17－9）×30=240（份）。
这群牛8天应吃掉草240＋9×8＋4×2＝320（份），
所以这群牛有320÷8=40（头）。
3.解：设1亿人生活1年的资源为1份。地球每年新生成资源
（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）。
当新生成的资源不少于每年消耗掉的资源时，地球上的资源才不致减少。所以地球最多
能养活70亿人。
4.解：设1部抽水机1时抽出的水为1份。水池中每小时涌出泉水（10×20－15×10）<
br>÷（20-10）＝5（份）。
水池中原有水（10-5）×20=100（份）。25部抽水机抽干需100÷（25-5）＝5（时）。
5.解：设1个检票口1分钟通过的旅客人数为1份。每分钟新来旅客
6.解：每夜下滑（20×5-15×5）÷（6-5）=10（分米），井深（20＋10）×5=150（分
米）
＝15米。
7.解：自动扶梯每分钟走[24×（180÷20）-27×（120÷2
0）]÷（3-2）=54（级）。
自动扶梯共有27×（120÷20）-54×2=54（级）。
巩固练习
1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10头牛吃40天，供1
5头牛吃20
天。可供25头牛吃＿＿天。 A. 10 B. 5 C. 20
解：A 假设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-
20）=5
（份）。那么愿草量为：10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长
出来的草，这
块牧场可供25头牛吃：200÷（25-5）=10（天）。
2.一块草地上
的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部
吃光，而14只羊则要1
0天吃光。那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要＿＿只
羊。 A. 22 B. 23
C. 24
解：B假设1只羊1天吃草的量为1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（
10-5）=8（份）
原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，
4天时间吃光这块草
地共需羊：60÷4+8＝23（只）
3．画展9时开门，但早有人来排
队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数
一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再
有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8
点＿分。A. 10 B. 12 C. 15
解：C假设每个人口每分钟进入的观众量是1份。
每分钟来的观众人数为（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）
到9时止，已来的观众人数为：3×9-0.5×9＝22.5（份）
第一个观众来到时比9时提前了：22.5÷0.5＝45（分）
所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分。
5. 快、中、慢三车同时从A地
出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时
24千米、20千米、19千米。快车追上
自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢
车追上自行车用（ ）小时。
解：自行车的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米小时）
三车出发时自行车距A地：（24-14）×6==60（千米）
慢车追上自行车所用的时间为：60÷（19-14）=12（小时）
6. 一水池中原有一
些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24根抽
水管抽水，6小时可以把池中的
水抽干，那么用16根抽水管，（ ）小时可将可将水池
中的水抽干。
解：18
设1根抽水管每小时抽水量为1份。
（1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）
（2）水池中原有的水量为：21×8-12×8＝72（份）
（3）16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小时）
7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把
它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车，10小时后增
加若干
辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（ ）辆。
解：设每两汽车每小时运的货物为1份。
（1）进水管每小时的进水量为：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）
（2）码头原有货物量是：9×12-12×5＝48（份）
（3）3辆汽车运10小时后还有货物量是：48+（5-3）×10=68（份）
（4）后来增加的汽车辆数是：（68+4×5）÷4-3=19（辆）
8．有一片草地，每
天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。如
果一头牛的吃草量等于4只
羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
解：（1）按牛的吃草量来计算，80只羊相当于80÷4=20（头）牛。
（2）设1头牛1天的吃草量为1份。
（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）
（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）
（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：120÷（10+60÷4-10）=8（天）
9. 某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不
变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一
个泄洪闸，3
0小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线。现在抗洪
指挥部要求在5.5小
时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？
解：设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份。
（1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）
（2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）
（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）
（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）
10. 现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如
果甲车以现在的速度去追乙车，3小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追，几小时后能
追上乙车？
解：设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=
0.5
乙车原来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5
所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5÷（1-0.5）=15（小时）