2017公务员-关于丝绸之路的故事

第26讲 牛吃草问题

“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛 吃几天？”这道题
太简单了，同学们一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一
堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草
每天都在生长，草的数量在不断变化 。这类工作总量不固定（均匀变
化）的问题就是牛吃草问题。

例1 牧场上一片 青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10
头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供2 5头牛吃几天？

分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，
我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有
的草和新生长出来的草两部分。牧场 上原有的草是不变的，新长出的
草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的
草量和每天新长出的草量这两个 不变量。

设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃
完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者
的总草量是150份， 前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有
的草加10天新长出的草。

200－150＝50（份），20—10＝10（天），

说明牧场10天长草50份， 1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新
长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的 草。
由此得出，牧场上原有草

（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。

现在已经知道原有草100 份，每天新长出草5份。当有25头牛时，
其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃 完需
100÷20＝5（天）。

所以，这片草地可供25头牛吃5天。

在例1的解法中要注意三点：

（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不 同情况吃掉的总草
量的差及吃的天数的差计算出来的。

（2）在已知的两种情况 中，任选一种，假定其中几头牛专吃新
长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有 的
草量。

（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃
原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。

例2一个水池装一个进水管和三个同 样的出水管。先打开进水管，
等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那
么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。
那么出水管比进水管晚开多少分 钟？

分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，
“水”相 当于“草”，进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的
水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解 法自然也与例1相似。

出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原< br>有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。

因为原有的水 量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排
水量入手解决问题。

设出 水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的
水是2×8＝16（份），3个出水管5分 钟所排的水是3×5＝15（份），这
两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的
进水量。两者相减就是在8-5=3（分）内所放进的水量，所以每分钟
的进水量是



有的水，可以求出原有水的水量为




解：设出水管每分钟排出的水为1份。每分钟进水量



答：出水管比进水管晚开40分钟。

例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大 ，反而以固定
的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头
牛吃6天 。照此计算，可供多少头牛吃10天？

分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草 ，而且原有的
草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的
草量和原有的 草量。

设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛 6天吃90
份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，
寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再
加上“寒冷”代表的10头牛同 时在吃草，所以牧场原有草

（20＋10）×5＝150（份）。

由 150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去
10头牛，所以，可供5头牛吃10天。

例4自动扶梯以均匀 速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从
扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15 级梯级，结
果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共
有多少级？< br>
分析：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，
“草”变成了“梯 级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草
问题。

上楼的速度可以分为两 部分：一部分是男、女孩自己的速度，另
一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5＝ 100 （级），女孩6
分钟走了15×6＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，
他上楼的速度是自己的 速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有

（20＋10）×5＝150（级）。

解：自动扶梯每分钟走

（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级），

自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。

答：扶梯共有150级。

例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数
一样多。从开始检票到等 候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30
分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检 票口，那么需
多少分钟？

分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当 于“草”，
“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。

旅客总数 由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有
旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。

设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票口30分钟通过
（4×30）份 ，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）
分钟内新来旅客（4×30-5×2 0）份，所以每分钟新来旅客

（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。

假设让2个检票口专门通过新来 的旅客，两相抵消，其余的检票
口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为

（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。

同时打开7个检票口 时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余
的检票口通过原来的旅客，需要

60÷（7-2）=12（分）。

例6 有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地 上的草一样厚，
而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12

头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

分析与解：例1是在 同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。
为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。
［5，6，8］＝120。

因为 5公顷草地可供11头牛吃10天， 120÷5＝24，所以120公顷
草地可供11×24＝264（头）牛吃10天。

因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草
地可供12 ×20＝240（头）牛吃14天。

120÷8＝15，问题变为： 120公顷草地可供19×15＝285（头）
牛吃几天？

因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：

“一块匀速生长的草地，可供 264头牛吃10天，或供240头牛吃14
天，那么可供285头牛吃几天？”

这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有

（240×14－2 64×10）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草
（264—180）×10＝840（份） 。可供285头牛吃

840÷（285—180）＝8（天）。

所以，第三块草地可供19头牛吃8天。





练习26


1.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头 牛吃6周

或供23头牛吃9周。那么，可供21头牛吃几周？

2.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30
天，或供19头牛吃 24天。现有 一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的
牛又吃了2天将草吃完，这群牛原来有多少头？

3.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人
生活300年。 假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有
不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？
4.有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20时可以把水
抽干；用15 部同样的抽水机，10时可以把水抽干。那么，用25部这样
的抽水机多少小时可以把水抽干？

5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一
样多。如果同时开放3个 检票口，那么40分钟检票口前的队伍恰好消
失；如果同时开放4个检票口，那么25分钟队伍恰好消失 。如果同时
开放8个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？

6.两只蜗牛由于耐 不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下
爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬2 0分米，另
一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结
果一只蜗牛恰 好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达
井底。那么，井深多少米？

7.两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩
可走27级梯级，女孩可走24级梯 级，结果男孩走了2分钟到达另一端，
女孩走了3分钟到达另一端。问：该扶梯共多少级？