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浅谈牛吃草问题

牛吃草问题是伟大的科学家牛顿在他所著的《普通算
术》一书中提出来的。【牛吃草问题】：牧场上有一片青草，
每天都在匀速地生长，这片青草可供10 头牛吃20天，或者
可供15头牛吃10天。如果有25头牛来吃，那么可以吃多
少天？这种题 目的难点在于草料总量未定，它随时间的增长
而不断增长。不过，因牧草是“匀速生长”的，可知每天生
长的草料是一定的，而牧场原有的草量也是一定的，这样，
我们通过分析就可以找到解决的方法 了。
一、

常规解法：
假定每头牛每天的吃草量为“1”，那么：
（1）10头牛20天的吃草量是：10×20=200
（2）15头牛10天的吃草量是：15×10=150
比较（1）和（2）的吃草量200 -150=50，这是（1）中
的草多长了10天的缘故，所以：每天长出的新草是50÷10=5
（3）牧场原有草是200-5×20=100，
（4）25头牛中有5头去吃新长的草，2 0头去吃原有的
草，可以吃的时间是：100÷20=5天。
所以，25头牛可以吃5天。
二、

工程问题：

我们知道原有 的草量不变，我们设为“1”，每天新长
的草也是不变的，这样每天吃新长出来的草的牛的头数是相同的。可以这样分析：
（1）10头牛中吃原有草的牛，20天吃完1，每天吃120;
（2）15头牛中吃原有草的牛，10天吃完1，每天吃110;
由于每天吃新长出来的草的 牛不变，（2）中比（1）中
就多5头牛吃原有的草，也就是5头牛一天吃草量是
110-12 0=120,每头牛每天吃草量是120÷5=1100.
（3）25头牛中吃原来草的牛比（2）中 多10头，每天
就多吃1100×10=110,每天吃的草量就是：110+110=15,
所以，吃完原来的草的时间是：1÷15=5（天）
三、

比例解法：
题中原有草的总量不变，那么吃原有草的牛的头数与所
吃的时间应该成反比例：
（1）10头牛中吃原有草的牛，共吃20天，
（2）15头牛中吃原有草的牛，共吃10天，
（1）与（2）中的时间比是2：1，则吃原 有草的牛的头
数比是1：2，它们的差是5头，所以（1）中有5头牛吃原
有的草，（2）中有 10头牛吃原有的草，吃新长草的牛就是
5头。

（3）25头牛中有20头牛 吃原来的草，（2）与（3）吃
原来草的牛的头数比是1：2，时间比是2：1，因此25头牛
吃10÷2=5（天）
四、方程解法：
设：草地原有草为“1”，每天长出的草是x（x为 分数），
10头牛20天的吃草量是1+20x，每头牛每天的吃草量是
（1+20x）(20 *10)，同样，15头牛10天的吃草量是1+10x，
每头牛每天的吃草量是（1+10x）（15 *10）, 由于每头牛每
天吃草量是相等的，可以依此列方程：（1+20x）(20*10) =
（1+10x）（15*10）,解得，x=120，每头牛每天吃草1100.
设25头牛吃y天，则有：(1+120*y)25y=1100，解得：
y=5
所以，25头牛可以吃5天。
这里我们用了四种方法解决牛吃草的问题，希望能对各
位同仁有所启发。