初中数学竞赛牛吃草问题
四川大学分数线-徐莫庭
牛吃草问题
“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间.
难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定.
“牛吃草”问题是小学应用题中的难点.
解“牛吃草”问题的主要依据：
1.
草的每天生长量不变；
2. 每头牛每天的食草量不变；
3.
草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
4.
新生的草量=每天生长量×天数.
例1.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或
供23头牛吃9周.那么它可供21
头牛吃_____周.
[答疑编号5721240101]
【答案】12
【解答】
把1头
牛1周吃的草量记作单位1，那么27头牛6周吃27×6=162单位的草量，23头牛9周要
吃23
×9=207单位的草量，多出的207-162=45单位的草量就是牧场9-6=3周生长的草量，因此牧场
每周生长的草量是45÷3=15，牧场原有的草量是162-6×15=72.那么21头牛可以吃7
2÷（21-15）
=12周.
变形：
如果希望至少吃15周，那么最多可放多少头牛？
[答疑编号5721240102]
【答案】19
【解答】72÷15=4……12
那么最多可放15+4=19头牛
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
1.设定1头牛1天吃草量为“1”；
2.草的生长速度
=（对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数） ÷（较多天数－较少天数）；
3.原来的草量=对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
4.吃的天数=原来的草量÷（牛的头数－草的生长速度）；
5.牛的头数=原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度.
例2. 有一牧场，17头牛30天可将
草吃完，19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天
后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将
草吃完.问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？
[答疑编号5721240103]
【答案】40
【解答】
设1头牛1天的吃草量为“1”，
那么每天生长的草量为：
（17×30－19×24）÷（30－24）＝9，
原有草量为：（17－9）×30＝240 .
现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，
如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加4×2＝8才能恰好供这些牛吃8天，
所以这些牛的头数为（240＋8）÷8＋9＝40（头）.
例3. 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少.经计算，牧场上的草可供20头
牛吃5
天，或可供16头牛吃6天.那么，可供11头牛吃几天？
[答疑编号5721240104]
【答案】8
【解答】设1头牛1天的吃草量为“1”，6－5＝1天自然减少的草量
为20×5－16×6＝4，原
有草量为（20＋4）×5＝120
.若有11头牛来吃草，每天草减少11＋4＝15 ；所以可供11头牛吃
120÷15＝8（天）.
例4. 一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天.如果
一头牛一天吃
草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？
[答疑编号5721240105]
【答案】8
【解答】设1头牛1
天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所
以100只羊吃12天相当于
20头牛吃12天.那么每天生长的草量为：（16×20－20×12）÷（20－
12）＝10，原
有草量为：（16－10）×20＝120.
10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25
头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛
去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120÷1
5＝8天可以把原有草量吃完，即这块草地可供
10头牛和75只羊一起吃8天.
例5.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块
草地可供
11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？
[答疑编号5721240106]
【答案】8
【解答】5公顷11头牛10天共吃：11×10＝110（份），合每一公顷10天
（原有加10天新生）110÷5＝22（份），列成综合算式为：11×10÷5＝22（份）
由第二块情况可知：12×14÷6＝28（份），
这是每一公顷原有草量加14天新生草量
（28－22）÷（14－10）＝1.5（份）一公顷每天新生草量
22－1.5×10＝7（份）一公顷原有草量
则8公顷的原有草为7×8＝56（份）
每天新生草为1.5×8＝12（份）
第三块地供19头牛可吃：56÷（19－12）＝8（天）
例6.如图，一块正方形
的草地被分为完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同
样速度匀速生长。老农带着一群牛
先在1号草地上吃草，2天后把草吃光（同时其它草地的草正常
生长）。然后他让一半牛在2号草地，一
半牛在3号草地吃草，6天后把草吃光。然后老农把 的
牛放在阴影部分，而
的牛放在4号草地，结果同时把草吃光。如果一开始就把这群牛放在整块
草地上吃草，那么吃完这些草需要多少时间？
[答疑编号5721240107]
【答案】30
【解答】45÷（6－4.5）=30天