高考艺术类分数线-观后感500字

小学数学牛吃草问题
吃草问题是小学奥数五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比 较复
杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽
水等等。

那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。

一、解决此类 问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度
不变??2、草场原有草的量不变 。草的总量 由两部分组成，分别为：牧
场原有草和新长出来的草。新长出来草的数量随着天数在变而变。

因此孩子要弄清楚三个量的关系：

第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少）

第二：求出原有草量

第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。注意问题的变形：如果题
目为抽水机问题的话，会 让求需要多少台抽水机

二、解题基本思路

1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。

2、在求出“每天新增长的草量”和 “原有草量”后，已知头数求时间
时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的
差）”求出天数。

3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原
有草量”。

4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数

三、解题基本公式

解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为：

1、草的生长速度＝ 对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃
的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）

2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数

3、吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）

4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度

四、下面举个例子
例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把
草吃尽。如果养牛21头， 那么几天能把牧场上的草吃尽呢并且牧场上
的草是不断生长的。

一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有：

（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的
草和6天新长的草。）
（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 （这207包括牧场原有的
草和9天新长的草。）
（3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15
（4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
（5）每天新长的草足够15头牛吃 ，21头牛减去15头，剩下6头吃原
牧场的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天）
所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽

公式解法：

（1）草的生长速度=（207－162）÷（9－6）＝15
（2）牧场上原有草=（27－15）×6＝72

再把题目中的21头牛分成两部 分，一部分15头牛去吃新长的草（因为
新长的草每天长15份，刚好可供15头牛吃，剩下（21-1 5=6）头牛吃
原有草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天））所以养21头牛，12天才< br>能把牧场上的草吃完。



方程解答：

设草的生长速度为每天x份，利用牧场上的原有草是不变的列方程，则
有

27×6-6x =23×9-9x

解出x=15份

再设21头牛，需要x天吃完，同样是根据原有草不变的量来列方程：
27×6-6×15 =23×9-9×15=（21-15）x

解出x=12（天）

所以养21头牛。12天可以吃完所有的草。

牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难
度．

牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.
下面给出几例牛吃草及其相关问题．
1. 草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或 供23头牛吃9周，那么它可供
21头牛吃几周?(这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”． )
【分析与解】 27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周
新长的草；
23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；
于是，多出 了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草．所以45÷3=15头牛1周可以吃
1周 新长出的草．即相当于给出15头牛专门吃新长出的草．于是27-15=12头牛6周吃完原
有的草， 现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草；
所以需要12×6÷6=12(周)，于是2l头牛需吃12周．
评注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程
问题了．
一般方法：
先求出变化的草相当于多少头牛来吃：(甲牛头数×时间甲- 乙牛头数×时间乙)÷(时间
甲-时间乙)；
再进行如下运算：(甲牛头数- 变化草相当头数)×时问甲÷(丙牛头数-变化草相当头
数)=时间丙．
或者：(甲牛头数-变化草相当头数)×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数．
2．有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一
样快．第一块草 地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地
可供50头牛吃几周?
【分析与解】 我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的
草).36×12=432头牛吃一周吃4个(2公顷+2公顷12周长的草)．于是144÷2=72头牛吃一
周吃2公顷+2公顷6周长的草．432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草．所< br>以108-72=36头牛一周吃2公顷12—6=6周长的草．即36÷6=d头牛1周吃2公顷1周长 的
草．
对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好．于是4公顷，配4÷2×6=1 2头牛专吃新
长的草，即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃6×1÷(4÷2)= 36周吃完2公
顷．
所以10公顷，需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草，剩 下50-30=20头牛来吃10公顷
草，要36 ×(10÷2)÷20=9周．
于是50头牛需要9周吃10公顷的草．
3．如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的 阴影部分，已知草在各处都是
同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号 草地的草吃
光．(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草
地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把
1
3
的牛放在阴影部分的 草地中吃草，另
外号的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让 这
群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间
【分析与解】 一群牛，2天，吃了1块 +1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8
天新长的；即3天，吃了1块+1块8天 新长的.即
1
6
群牛，1天，吃了1块1天新长的.

又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外
吃完.所以，
1
3
2
的牛放在④号草地吃草，它们同时
3
19193

块地.那么需要

群牛吃新长的草，
22624
193193
于是.所以需要吃：
（1）2
=现在
（1）（1）2（1）=30
天.
6 24624
③=2

阴影部分面积.于是，整个为
4
所以，一开始 将一群牛放到整个草地，则需吃30天.
4．现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需 要45天吃完，于是马、羊吃需要
60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为 马吃草的速度，求马、
牛、羊一起吃，需多少时间?
【分析与解】 我们注意到：
牛、马45天吃了 原有+45天新长的草①

牛、马90天吃了
2原有+90天新长的草⑤
马、羊60天吃了 原有+60天新长的草②
牛、羊90天吃了 原有+90天新长的草③
马 90天吃了 原有+90天新长的草④
所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊 吃了90天，吃了
90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．
所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．
现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.
所需时间为l÷
(
11
)
=36天.
9060
1
公顷、
3
所以，牛、羊、马一起吃，需36天．
5. 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快．它们的面积分别是
3
10公顷和24公顷．已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧
场的草 ，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?
【分析与解】 由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1
公顷时的情形．
所以表1中，3.6-0.9=2.7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草，那么18星期吃完1 公
顷原有的草需要2.7÷(18÷4)=0.6头牛，加上专门吃新长草的O．9头牛，共需0.6+ 0.9=1.5
头牛，18星期才能吃完1公顷牧场的草．
所以需1.5×24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草．
一个牧场长满青草，牛在吃草而草 又不断匀速生长，27头牛6天可以把牧场上的草全部吃
完；23头牛吃完牧场全部的草则要9天，若2 1头牛来吃，几天吃完
最佳答案 这种问题叫:牛顿问题 完整解题思路: 假设每头牛每天的吃草量 为1,则27头6天
的吃草量为27×6=162；23头牛9天的吃草量为23×9=207。207 与162的差就是（9-6）天
新长出的草，所以牧场每天新长出的草量是（207-162）÷（9- 6）=15 因为27头牛6天吃
草量为162，这6天新长出的草之和为15×6=90，从而可知牧 场原有的划量为162-90=72 牧
场每天新长的草够15头牛吃一天，每天都让21头牛中的15 头牛吃新长出的草，其余的
21-15=6（头）专吃原来的草。所以牧场上的草够吃72÷6=12（ 天），也就是这个牧场上的
草够21头牛吃12天。
综合算式：[27×6-（23×9-2 7×6）÷（9-6）×6]÷[21-（23×9-27×6）÷（9-6）]=12（天）

牛吃草问题是小学奥数的一类难题,记得在某本书上看到过：“牛吃草问题就是追及问题，牛
吃 草问题就是工程问题。”对于前半句很好理解，给孩子讲的时候，也是按追及问题的思路
来讲的。而对于 后半句，直到上周才算明白。
这个问题是在仁华学校课本六年级下册第六讲最大与最小问 题中出现的。现暂且把这
个题放下，看看以前我是如何讲牛吃草问题的。
例1 小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧场可供10头牛
吃20天，可供12 头牛吃15天。如果小军家养了24头牛，可以吃几天
草速：（10×20－12×15）÷（20－15）=4
老草（路程差）： 根据：路程差=速度差×追及时间
（10－4）×20=120 或 （12－4）×15=120
追及时间=路程差÷速度差： 120÷（24－4）=6（天）
例2 一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每
天相等，每头 牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天
草速：（50×9－58×7）÷（9－7）=22
老草（路程差）： (50－22）×9=252 或 (58－22）×7=252
求几头牛就是求牛速,牛速=路程差÷追及时间＋草速 252÷6＋22=64(头)
现在回头看看仁华学校课本那道题吧!
例3 一个水池，底部安有一个常 开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当
打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开 2个进水管时，需要15小时才能注满
水池；现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进 水管
分析 本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.
解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速 度和排水速度，故需引入参数.
设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的 容量不变，我们得
方程（4a-b）×5=（2a-b）×15，化简，得：
4a-b=6a-3b，即a=b.
这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.
再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得
（xa-a）×2＝（2a-a）×15，
化简，得 2ax-2a=15a，
即 2xa=17a.（a≠0）
所以x=8.5
因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.
注意：x=8.5，这里若开8个水 管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切
实际.因此至少开9个进水管才行.
以上是书中给出的解法,考虑到此解法不适合给小学孩子讲,所以把此题当作牛吃草问题
来讲的.
把进水管看成牛排水管看成草满池水就是“老草”
排水管速：（2×15－4×5）÷（15－5）=1
满池水（路程差）： (2－1）×15=15 或 (4－1）×5=15
几个进水管：15÷2＋1=8.5（个)
我和学生都有个好习惯，解完一道题后 要反思，这道题既然是工程问题，那么，可不可
以用工程问题的解法来做呢之后在课堂上当时做了尝试， 结果答案是肯定的！
当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池，那么4个进水管和1 个排水管的效率

就是15。
当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池，那么2个进水管和1个排水管的效率
就是115。
两者之间差了（4－2=）2个进水管的效率，于是1个进水管的效率是：
（15－115）÷（4－2）=115
1个排水管的效率是：
4×115－15=115 或者 2×115－115=115
现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管
（12＋115）÷115=8.5（个)
让我们用这个方法验证一下例2吧
例2 一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天
牛速：（17－19）÷（58－50）=1252
草速： 58×1252－17=11126 或者 50×1252－19=11126
多少头牛：（16＋11126）÷1252=64（头)
有这样的问题，如：牧场上有一片 匀速生长的草地，可供27头
牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么它可供21头牛吃几周
这类问题称为“牛吃草”问题。
解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均 匀
地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量是由两部分组成的：（1）
某个时间期限前草场 上原有的草量；（2）这个时间期限后草场每天
（周）生长而新增的草量。因此，必须设法找出这两个量 来。
下面就用开头的题目为例进行分析。（见下图）
从上面的线段图可以看出23头牛9周 的总草量比27头牛6周的
总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量。为了求出一周新生长
的草量，就要进行转化。27头牛6周吃草量相当于27×6=162头牛
一周吃草量（或一头牛吃16 2周）。23头牛9周吃草量相当于23×
9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）。这样一 来可以认为每
周新生长的草量相当于（207－162）÷（9－6）=15头牛一周的吃草
量 。

需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少用27头牛6周
的总吃草量 减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）
即为牧场原有的草量。
所以牧 场上原有草量为26×6－15×6=72头牛一周的吃草量（或
者为23×9－15×9=72）。
牧场上的草21头牛几周才能吃完呢解决这个问题相当于把21
头牛分成两部分。一部分看成专 吃牧场上原有的草，另一部分看成专
吃新生长的草。但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终保
持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）。故分出
15头牛吃新生长的草，另 一部分21－15=6头牛去吃原有的草。所以
牧场上的草够吃72÷6=12周，也就是这个牧场上的 草够21头牛吃
12周。
例2：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果
10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完。如果要求2小时淘
完，要安排多少人淘水
分析与解答：这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的
延长而增加。所以总水量是个变 量。而单位时间内漏进船的水的增长
量是不变的。船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也
是不变的量。对于这个问题我们换一个角度进行分析。
如果设每个人每小时的淘水量为“1个 单位”，则船内原有水量
与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1
× 3×10=30。

船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。
每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40
－30）÷（8－3）=2（即每小 时漏进水量为2个单位，相当于每小时
2人的淘水量）。
船内原有的水量等于10人3小时淘 出的总水量－3小时漏进水
量，3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量。所以船内原有
水量为30－2×3=24。
如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2=12人。但
与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需要12＋
2=14人。
从 以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须
求出原有的量及单位时间内增加的量，这两 个量是不变的量。有了这
两个量，问题就容易解决了。
例3：12头牛28天可以吃完10公 亩牧场上全部牧草，21头牛63天
可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72 公亩
牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场每天生
长草量相等）
分析：解量的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛
吃一天，一公亩原有的草量可供几头牛 吃一天。
12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原来的
牧草加上28天新 生产的草可供33.6头牛吃一天（12×28÷10=33.6）。
21头牛63天吃完30公亩牧 场上的牧草，相当于1公亩原有的

草加上63天新生长的草可供44.1头牛吃一天（6 3×21÷30=44.1）。
1公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天，即：
(44.1－33.6)÷(63－28) = 0.3（头）
1公亩原有的牧草可供25.2头牛吃一天，即：
33.6－0.3×28=25.2（头）
72公亩原有牧草可供14.4头牛吃126天，即：
72×25.2÷126=14.4（头）
72公亩每天新生长的草量可供21.6头牛吃一天，即：
72×0.3=21.6（头）
所以72公亩牧场上的牧草可供36（=14.4＋21.6）头牛吃126天，
问题得解。
解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天
（63×21÷30－12×28÷10）÷（63－28）=0.3（头）
一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天
12×28÷10－0.3×28=25.2（头）
72公亩的牧草可供多少头牛吃126天
72×25.2÷126＋72×0.3= 36(头)
例4：一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛
吃20天，或 者供80只头吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4
只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一 起吃可以吃多少天
分析：由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故
60只羊每天 的吃草量和15头牛每天的吃草量相等，80只羊每天吃草

量与20头牛每天吃草量相等 。
解：60只羊每天吃草量相当于多少头牛每天的吃草量
60÷4=15（头）
草地原有草量与20天新生长草量可供多少头牛吃一天
16×20=320（天）
80只羊12天的吃草量可供多少头牛吃一天
80÷4×12=240（头）
每天新生长的草量够多少头牛吃一天
（320－240）÷（20－12）=10（头）
原有草量可够多少头牛吃一天
320－20×10=120（头）
原有草量可供10头牛与60只羊吃多少天
120÷（60÷4＋10－10）=8（天）
例5：一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。5 台抽水机连续
20天可抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，
需要多少 台同样的抽水机
解：水库原有的水与20天流入水可供多少台抽水机抽1天
20×5=100（台）
水库原有水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天
6×15=90（台）
每天流入的水可供多少台抽水机抽1天
（100－90）÷（20－15）=2（台）

原有的水可供多少台抽水机抽1天
100－20×2=60（台）
若6天抽完，共需抽水机多少台
60÷6＋2=12（台）
例6：有三片草场，每亩原有草量相同，草的生长速度也相同。三片
草场的面积分别为
3
亩、10亩和24亩。第一片草场可供12头牛吃
4周，第二片 草场可供21头牛吃9周。问：第三片草场可供多少头
牛吃18周
用方程解：
解：设每亩草场原有的草量为a，每周每亩草场新生长草量为b。
依题意
第一片草场（
3
亩）原有的草与4周新生长的草量之和为：
（
3
）a＋（4×
3
）b
每头牛每周的吃草量为（第一片草场
3
亩）：
1
3
111 0(a4b)5(a4b)
[
(3)a4(3)b
]÷(12×4)== (1)
33312472
1
3
1
3
1
31
3
第二片草场（10亩）原有的草与9周生长出来的草为：
10a＋(10×9)b
每头牛每周的吃草量为：（第二片草场）

10a(109)b
(2)
219
由于每头牛每周吃草量相等，列方程为：

10a(109)b5(a4b)
(3)

21972
5a=60b

a=12b（表示1亩草场上原有草量是每周新生长草量的
12倍）
将a=12b代入（3）的两边得到每头牛每周吃草量为
10
b
。
9
设第三片草场（24亩）可供x头牛吃18周吃完，则由每头牛每
周吃草量可列出方程为：
24ab(1824)10b
(4)

18x9
x=36
答：第三片草场可供36头牛18周食用。
这道题列方程时引入a、b两个辅助未知数，在解 方程时不一定
要求出其数值，在本题中只需求出它们的比例关系即可。
习 题 九
1． 一场牧场长满草，每天牧草都均匀生长。这片牧场可供10头牛
吃20天，可供15头牛 吃10天。问：可供25头牛吃多少天
2． 22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完；17头 牛吃28亩
同样的草地上的草，84天可以吃完。问：同样的牧草40亩可
供多少头牛食用24 天（每亩草地原有草量相等，草生长速度相
等）
3． 有一牧场，17头牛30天可将草吃完 ；19头牛则24天可以吃完。
现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天
便 将草吃完。问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）
4． 现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速 流入池塘。若用8
台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：若

要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水