同乡-郭敬明爱情语录

精选牛吃草问题(含例
题、答案、讲解)

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小学数学牛吃草问题知识点总结:
牛吃草问题：牛吃草问 题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科
学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假 设草的生长速度固定不变，不
同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可 以
吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的
天数不断地变化 。
小升初冲刺第2讲
牛吃草问题
基本公式:
1) 设定一头牛一天吃草量为“1”
2）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数× 吃的较少
天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速 生长，这片牧草可供10头牛吃20
天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150）÷
（20-10）=5份
10×20=200份……原草量+20天的生长量 原草量：200-20×5=100 或150-10×
5=100份
15×10=150份……原草量+10天的生长量 100÷（25-5）=5天
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[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这 片牧场上的草可
供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（180-150）÷
（20-10）=3份
9×20=180份……原草量+20天的生长量 原草量：180-20×3=120份 或150-10×
3=120份
15×10=150份……原草量+10天的生长量 120÷（18-3）=8天
例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减
少。已知某块
草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少
头牛吃10天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（100-90）÷
（6-5）=10份
20×5=100份……原草量-5天的减少量 原草量：100+5×10=150 或90+6×
10=150份
15×6=90份……原草量-6天的减少量 （150-10×10）÷10=5头
[自主训练] 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天 以均匀的速度减少，经
测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛
吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（240-225）÷
（9-8）=15份
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30×8=240份……原草量-8天的减少量 原草量：240+8×15=360份或220+9×
15=360份
25×9=225份……原草量-9天的减少量 360÷（21+15）=10天
例3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。
已知男孩每 分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，
女孩用了6分钟到达 楼上。问：该扶梯共有多少级？
男孩：20×5 =100（级） 自动扶梯的级数-5分钟减少的级数
女孩;15×6=90（级） 自动扶梯的级数-6分钟减少的级数
每分钟减少的级数= (20×5-15×6) ÷(6-5)=10(级)
自动扶梯的级数= 20×5+5×10=150（级）
[自主训练] 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3
级阶梯，女 孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100
秒，女孩走了300秒。问该扶梯共 有多少级？
3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数
2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数
每秒新增的级数：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）
自动扶梯级数= 3×100-100×1.5=150（级）
1. 有一片牧场，操每天 都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头
牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃 完草，设每头牛每天的吃草量
相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？
假设1头1天吃1个单位
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24*6=144
21*8=168
168-144=24
每天长的草可供242=12头牛吃
最多只能放12头牛
2，有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃40天，或6
供头牛吃30天 。如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还
可以再吃几天？
假设1头1天吃1个单位
5*40=200；6*30=180
200-180=20
每天长的草:20(40-30)=2
原有草：200-2*40=120
4*30=120 ，30*2=60 604=15天
3，假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供
110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那么地
球最多可以养活多 少亿人？
假设1亿人头1天吃1个单位
110*90=9900；90*210=18900
18900-9900=9000
9000(210-90)=75
4，一游乐场在开门前有100人排队等候，开门后每分钟 来的游客是相同的，一
个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处20分钟就没人排队，现开放4个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？
2*20*10=400
400-100=300
30020=15
100+15*4=160
160(4*10)=4
（1）因为草量=原有草量+新长出的草量，而且草量是均匀增长的。
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所以“对应的牛头数×吃的较多天数”就代表了第一次情况下的总草量， 即
为：吃的较多天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度*较多天数时的时
间。
同理“相应的牛头数×吃的较少天数”代表了第二次情况下的总草量，即为：
吃的较少天数时的总草量 =草地原有草量+草的生长速度*较少天数时的时间。
两个一做差，式子中的“原有草量”就被减掉了 ，等号的左边就是两次情况之
下总草量的差，右边等于草的生长速度*两次情况下的时间差，所以直接把 时间
差除到左边去，就得到了草的生长速度了。
（2）牛吃的草的总量包括两个方面，一是原 来草地上的草，而是新增长出来的
草。所以“牛头数×吃的天数”表示的就是牛一共吃了多少草，牛在这 段时间
把草吃干净了，所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量。当然草的总量减去
新增长出来 的草的数量，就剩下原来草地上面草的数量了。
牛吃草问题概念及公式
牛吃草问题又称 为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家
牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的 生长速度固定不变，不同
头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃
的天数不断地变化。解决 牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
1) 设定一头牛一天吃草量为“1”
1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃
的较少天数）÷（吃的较多天数 －吃的较少天数）；
2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
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3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是
要想办法从变化中找 到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在
变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量 应该是不变的。正是由于
这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
牛吃草问题经 常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的
草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不 同，求若干头牛吃的这片地
的草可以吃多少天。
解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分 析，从而求出每日新长草的数
量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的基本数量关系是：
1.(牛的头数×吃草较多的天数- 牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的
天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。
2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。
解多块草地的方法
多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样
可以减少运算难度，但如果数据 较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单
些。
“牛吃草”问题分析
华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员 姚璐
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【华图名 师姚璐例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃1
0天，则它可供25头牛吃多少天？
A.3 B.4 C.5 D.6
【华图名师姚璐答案】C
【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片
草场可供25头牛吃Y天
根据核心公式 代入
(200-150)(20-10)=5 10*20-5*20=100 100(25-5)=5(天）
璐例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可
供多少头牛吃4天？
A.20 B.25 C.30 D.35
【华图名师姚璐答案】C
【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，
根据核心公式代入
(20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30(头）
【华图名师姚璐例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃
尽，17头牛吃28公亩牧场 的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40
公亩牧场的草，需要多少头牛？
A.50 B.46 C.38 D.35
【华图名师姚璐答案】D
【华图名师姚璐解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1
天，每公亩草场原有牧草量为Y ，
24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛
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根据核心公式：
，代入
，因此 ，选择D
【华图名师姚璐注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草
量不再是常量。
下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。
【华图名师姚璐例4】有一 个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里
灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完 ；如果用4台
同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完，需
要多 少台抽水机？【广东2006上】
A.5台 B.6台 C.7台 D.8台
【华图名师姚璐答案】B
【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水
量，共需Y台抽水机
有恒等式：
解 ，得 ，代入恒等式
【华图名师姚璐例5】有一水池，池底有 泉水不断涌出，要想把水池的
水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台 抽
水机，那么需抽多少小时？【北京社招2006】
A.16 B.20 C.24 D.28
【华图名师姚璐答案】C
【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水
量，共需Y小时
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有恒等式：
解 ，得 ，代入恒等式
【华图名师姚璐例6】林子里有猴子喜欢 吃的野果，23只猴子可在9周
内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则 需要
几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】
A.2周 B.3周 C.4周 D.5周
【华图名师姚璐答案】C
【华图名师姚璐解析】设每天新生长的野果足够X只猴子吃，33只猴
子共需Y周吃完
有恒等式：
解 ，得 ，代入恒等式
【华图名师姚璐例7】物美超市的收银台 平均每小时有60名顾客前来排
队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市 如
果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设
两个收银台，则付 款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】
A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时
【华图名师姚璐答案】D
【华图名师姚璐解析】设共需X小时就无人排队了。
例题：
1、旅客在车站候车室 等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度
也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客 解决完毕,当开放2个检
票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数
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设一个检票口一分钟一个人
1个检票口30分钟30个人
2个检票口10分钟20个人
(30-20)÷(30-10)=0.5个人
原有1×30-30×0.5=15人
或2×10-10×0.5=15人
2 、有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且
长得一样快。第一块草地可供1 0头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃
45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？
这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。
把每头牛每天吃的草看作1份。
因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝30
0份
所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝
1260份
所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份
所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份
所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份
所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份
第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有2
4×12＝288份
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新生长的 每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么
原有的草就要够吃80天，因此288 ÷80＝3.6头牛
所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。
两种解法：
解法一：
设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30 5=60；
每亩45天的总草量为：28*4515=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)
(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24 =
288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+
288=3360，所有336080=42(头)
解法二：
10头牛30天吃 5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天
吃15亩，可以推出15亩每天新长草量 ( 28×45-30×30)(45-30)=24；15亩
原有草量：1260-24×45=180； 15亩80天所需牛18080+24(头)24亩需
牛：(18080+24)*(2415)=42 头

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