六年级上册数学讲义-牛吃草问题-人教版(含答案)
88年属什么的-采薇hita
牛吃草问题
课程目标
1.
理解牛吃草这类题目的本质和解题步骤,掌握牛吃草问题的解题思路。
2.
初步了解牛吃草的变式题,会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系。
课程重点
1.
掌握牛吃草问题的解题思路;
2.
掌握变式的牛吃草问题与牛吃草问题的区别与联系。
课程难点
教学方法建议
1.
会正确熟练解不同类型的牛吃草问题,找出其中不同的部分。
2.
掌握变式的牛吃草问题的区别与联系。
使学生理解基本牛吃草问题的解题思路及方法,同时学会类比出同类题型。
一、知识梳理
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中,有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即
牛在牧场上
吃草,牧场上的草在不断的、均匀的生长.后人把这类问题称为牛吃草问题或
叫做“牛顿问题”. <
br>“牛吃草”问题主要涉及三个量:草的数量、牛的头数、时间.难点在于随着时间的
增长,草也在
按不变的速度均匀生长,所以草的总量不定.“牛吃草”问题是小学应用题
中的难点.
解“牛吃草”问题的主要依据:
① 草的每天生长量不变;
② 每头牛每天的食草量不变;
③ 草的总量
草场原有的草量 新生的草量,其中草场原有的草量是一个固定值
④
新生的草量
每天生长量 天数.
二、方法归纳
同一片牧场中的“牛吃草”问题,一般的解法可总结为:
⑴设定 1
头牛 1 天吃草量为“1”;
⑵草的生长速度
(对应牛的头数
较多天数
对应牛的头数 较少天数) (较多天数
较少天数);
⑶原来的草量
对应牛的头数
吃的天数
草的生长速度 吃的天数;
⑸牛的头数
原来的草量 吃的天数 草的生长速度.
“牛吃草”
问题有很多的变例,像抽水问题、检票口检票问题等等,只有理解了“牛
吃草”问题的本质和解题思路,
才能以不变应万变,轻松解决此类问题.
三、课堂精讲
(一)、草匀速增长,不同头数的牛吃同一片次的草:
例 1.
牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长,这片牧草可供 10 头牛吃 20 天,可供 15 头
牛吃 10 天,那么,供 25 头牛吃多少天?
【规律方法】掌握牛吃草问题的解题步骤及解题思路。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 A
1.
牧场上有一片牧草,供 24 头牛 6 周吃完,供 18 头牛 10
周吃完。假定草的生长速度不
变,那么供 19 头牛几周吃完?
2.
牧场上有一片匀速生长的草地,可供 27 头牛吃 6 周,或供 23 头牛吃 9
周,那么它可供多
少头牛吃 18 周?
头牛吃几周?
例
2.一片牧草,每天生长的速度相同,现在这片牧草可供 16 头牛吃 20 天,或者可供 80
只羊吃 12 天,如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量,那么 10 头牛与 60
只羊一起
吃可吃多少天?
【规律方法】理解把两种不同动物的吃草量转化为同一种动物的吃草量。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
4.
一片牧草,每天生长的速度相同。现在这片牧草可供
20 头牛吃 12 天,或可供 60 只羊
吃 24 天。如果 1
头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量,那么 12 头牛与 88 只羊一起吃可以
吃几天?
将草吃完(4 只羊 1 天的吃草量相当于 1 头牛 1
天的吃草量),那么,17 头牛和 20 只
羊多少天可将草吃完?
例
3.一水库存水量一定,河水均匀入库。5 台抽水机连续 20 天可抽干;6 台同样的抽水
机连续
15 天可抽干。若要求 6 天抽干,需要多少台同样的抽水机?
【规律方法】掌握牛吃草问题的变形,会类比牛吃草问题解决问题。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
6.一只船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果用 12
人舀水,6 分钟可以舀完。如果只有 5 人舀水,要 20 分钟才能舀完。现在要想
2 分钟舀
完,需要多少人?
例 4.某超市平均每小时有 60
人排队付款,每一个收银台每小时能应付 80 人,某天某时
段内,该超市只有一个收银台工作,付款开始 4 小时就没有顾客排队了,如果当时有
两个收银台工作,哪么付款开始几小时后就没有人排队了?
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
8. 画展 9
点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样
多,如果开 3
个入场口,9 点 9 分就不再有人排队;如果开 5 个入场口,9 点 5
分就没有人
排队。求第一个观众到达的时间?
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
9.
由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。如果牧场上
的草可供 20
头牛吃 5 天,或者供 15 头牛吃 6 天,那么可供多少头牛吃 10 天?
(三)、草匀速增长,不同头数的牛吃同不同片草地的草
例 6.有三块草地,面积分别是
5 公顷,15 公顷和 24 公顷。草地上的草一样厚而且长得一
样快。第一块草地可供 10
头牛吃 30 天;第二块草地可供 28 头牛吃 45 天。那么第三块草
地可供多少头牛吃
80 天?
【规律方法】掌握草匀速增长,不同头数的牛吃同不同片草地的草的题型的解决方法。
等,且每公亩牧场上每天生长草量相等)?
11. 牧场有三块草地,面积分别是 4、8、12
公亩,草地上的草一样密,生长一样快.第一块地
可供 10 只小梅花鹿吃 15 天,第二块地可供
14 只小梅花鹿吃 25 天,第三块地可供 15 只小梅
花鹿吃多少天?
2.
林子里有猴子喜欢吃的野果,23 只猴子可在 9
周内吃光,21 只猴子可在 12 周内吃光,
问如果 33
只猴子一起吃,需要几周吃完?(假定野果生长的速度不变)
3. 一片茂盛的草地,每天的生长速度相同,现在这片青草 16 头牛可吃 15
天,或者可供
100 只羊吃 6 天,而 4 只羊的吃草量相当于 l 头牛的吃草量,那么 8
头牛与 48 只羊一起
吃,可以吃多少天?
5. 画展 8 点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,
如果开 3 个入场口,8 点九分就不再有人排队。如果开 5 个入场口,8 点 5
分就没有人排队。
第一个观众到达的时间是多少?
6. 一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 17 头牛吃 30 天,或供 19 头牛吃
24
天。现有一群牛,吃了 6 天后卖掉 4 头,余下的牛又吃了 2
天将草吃完,这群牛原来有多
少头?
8. 有三块草地,面积分别为 4 公顷、8 公顷和 10
公顷。草地上的草一样厚,而其长得一样
快。第一块草地可供 24 头牛吃 6 周,第二块草地可供
36 头牛吃 12 周。问:第三块草地可
供 50 头牛吃几周?
2.
有两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走。男孩每秒可以走 3 梯级,女孩每秒可
以走 2 级梯级,结果从附扶梯的一端到达另一端,男孩走了 100 秒,女孩走了 300
秒。请
问:该扶梯共有多少级梯级?
3.
天山草场,假设每天草都均匀生长。这片草场经过测算可供 100 只羊吃 200 天,或可供
150 只羊吃 100 天。问:如果放牧 250
只羊可以吃多少天?放牧这么多羊对吗?为防止草
场沙化,这片草场最多可以放牧多少只羊?
5.
经测算,地球上的资源可供 100
亿人生活 100 年,或可供 80 亿人生话 300
年.假设地球新
生的资源增长的速度是一定的,为使人类有不断发展的潜力,地球最多能养活多少人?
6. 某火车站的检票口开始检票前已有 945
名旅客排队等待检票。此时,每分钟还有固定的若
干人前来进口处准备进站。如果开放 4
个检票口,15 分钟可放完旅客;如果开放 8 个检票
口,7
分钟可以放完旅客。照此放人的速度,现要想在 5 分钟内放完所有旅客,需要开放几
个检票口?
8. 一片匀速生长的牧草,如果让马和牛去吃,15
天将草吃尽;如果让马和羊去吃,20 天将
草吃尽;如果让牛和羊去吃,30 天将草吃尽。已知牛和
羊每天的吃草量的和等于马每天的
吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草,几天可以将这片牧草吃尽?
9.(2016
年第二十一届“华赛杯”决赛)有一片草场,10 头牛 8 天可以吃完草场上的草;
15 头牛,如果从第一天开始每天少一头,可以 5 天吃完。那么草场上每天都长出来的草够
头牛吃一天。
原有草量(10-5)×20=100 或 200-5×20=100.
25 头牛分两组,5 头去吃生长的草,其余 20 头去吃原有的草那么
100÷20=5(天)
答:可供 25 头牛吃 5 天.
【搭配课堂训练题】
1.设 1 头牛吃一周的草量的为一份.
(1)24
头牛吃 6 周的草量
24 6 144
(份)
(2)18 头牛吃
10 周的草量
1810 180
(份)
(3)
(10 -
6)
周新长的草量
180 -144 36
(份)
(4)每周新长的草量
36 (10 - 6) 9
(份)
(5)原有草量
24 6 - 9 6 90
(份)或
1810 - 910 90
(份)
(6)全部牧草吃完所用时间
不妨让 19 头牛中的 9
头牛去吃新长的草量,剩下的 10 头牛吃原有草量,有
90 (19 - 9) 9
(周)
答:供 19 头牛吃 9 周.
2.如果每 1 头牛 1 周吃草 1 份,则
27 头牛 6 周吃
27×6=162 份
23 头牛周天吃 23×9=207 份
所以牧场每周长新草(207-162)÷(9-6)=15 份
原来牧场有草
162-15×6=72 份
18 周共有草 15×18+72=342 份
342÷18=19 头
答:可供 19 头牛吃 18 周
=15(份);
草地原有的草的份数:
27×6-15×6,
=162-90,
=72(份);
每周生长的 15 份草可供 15 头牛去吃,那么剩下的 21-15=6 头牛吃
72 份草:
72÷(21-15),
=72÷6,
=12(周);
答:这片草地可供 21 头牛吃 12 周.
例 2 设每头牛每天吃草 1 份,把羊的只数转化为牛的头数为:
80÷4=20(头),60÷4=15(头);
草每天生长的份数:
(16×20-20×12)÷(20-12),
=(320-240)÷8,
=80÷8,
=10(份);
草地原有的草的份数:
(16-10)×20=120(份);
10 头牛和 60 只羊就相当于有牛:10+15=25(头);所吃天数为:
120÷(25-10),
=120÷15,
=8(天);
答:10 头牛和 60 只羊一起能吃 8 天.
(15×24-20×12)÷(24-12)
=(360-240)÷12
=120÷12
=10(份)
草地原有的草的份数:
(20-10)×12=120(份)
12 头牛和 88
只羊就相当于有牛:12+22=34(头);所吃天数为:
120÷(34-10)
=120÷24
=5(天)
答:12
头牛和 88 只羊一起能吃 5 天
5.
设一头牛一天的吃草量为 1
份,
那么 70 只羊,20 只羊转化成牛的头数是:
70÷4=17.5(头),20÷4=5(头);
草每天的生长速度是:
(14×30-17.5×16)÷(30-16),
=140÷14,
=10( 份 ),
原有的草是:
14×30-30×10=120(份),
那么 17 头牛和 20
只羊也就相当于牛的头数是:
17+5=22(头);
那么每天生长的 10
份的草就够 22 头牛中的 10 头牛吃的,剩下的牛去吃 120 份需要的天数
是:
120÷(22-10),
例 3 1 台抽水机
1 天抽水量为 1,
河水每天均匀入库量:(20×5-15×6)÷(20-15),
=10÷5,
=2,
水库原有存水量:20×5-2×20=60,
6
天抽干,需要同样的抽水机的台数:(60+2×6)÷6,
=72÷6,
=12(台),
答:6 天抽干,需要 12 台同样的抽水机,
【搭配课堂训练题】
6.
设每人每分钟舀的水是 1 份。
12 人 6 分钟:
12 6 72
份
5 人 20 分钟:
5 20 100
份
也就是
20 - 6 14
分钟进水量为
100 - 72 28
份
进水速度:
28
14 2
份每分钟
初始进水量为
72 - 6 2 60
份
要 2 分钟舀完,总工作量:
60 2 2 64
份
需要人数:
64 2 32
人
答:需要 32 人舀水。
7.
设一部抽水机 1
小时的抽水量为 1 份
泉水每小时涌进进的量为:(10×20-15×10)÷(20-10)=5(份)
例 4 80×4-4×60=80(人) ,已经有 80
人在排队
设
x
小时后没有顾客排队,根据题意可得方程:
80×2×
x
=80+60
x
,
100
x
=80,
x
=0.8,
答:付款开始 0.8 小时就没有排队的人了.
【搭配课堂训练题】
8.
设每个入场口每分钟能进入的观众为 1 份.
如果开三个入场口,从 8 点到 8 点 9 分进入的观众数是:
3
分)
如果开五个入场口
,从 8 点到 8 点 5 分进入的观众数是:
9
5
分)
5 5
2(
7
每分钟来的观众数为
(27 - 25)
(9 - 5) 0.(5 分)
8 点前来的观众数是:
25
- 5 0.5 22.(5 分)
这些观众来到需要:
22.5 0.5 4(5
分)
∵,8
点
- 45
分钟=7 点 15 分
答:第一个观众到达时间是 7 点 15
分
例 5 假设每头牛每天吃青草 1 份,
青草的减少速度为:
(20×5-16×6)÷(6-5),
=4÷1,
=12(份);
那么 11 头牛每天吃青草 11
份,青草每天减少 4 份,可以看作每天有(11+4)头牛
吃草,草地原有的 120
份草,可吃:
120÷(11+4),
=120÷15,
=8(天);
答:可供 11 头牛吃 8 天.
【搭配课堂训练题】
9.
每头牛吃草的速度一样,假设一头牛一天吃单位 1 的草
草以每天 y 的速度在减少
则吃 5 天时:
20 51 5y 15 61 6 y
解得:
y 10
;
又草原总的草数为:
20
51 y 5 150
可供吃 10 天的牛数为:
150 -10 y
5
10
答:可供 5 头牛吃
10 天。
例 6 设每头牛每天的吃草量为 1,则每公顷 30
天的总草量为:10×30÷5=60; 每
公顷 45 天的总草量为:28×45÷15=84;
那么每公顷每天的新生长草量为:(84-60)÷(45-30)=1.6;
每公顷原有草量为:60-1.6×30=12;
那么 24
公顷原有草量为:12×24=288;
【搭配课堂训练题】
10.每公顷牧场每天草的生长量:
设 1 头牛 1 天吃 1
份牧草,则:(21×63÷30-12×28÷10)÷(63-28)=0.3(份)
每公顷牧场的原有草量:
21×63÷30-0.3×63=25.2(份)
72 公顷牧场 126 天可提供牧草:
(25.2+
0.3×126)×72=4536(份)
可供多少头牛吃 126 天:
4536÷126=36(头)
答:可供 36 头牛吃 126 天.
11. 假设每只小鹿每天吃草 1 份
第二块面积是第一块的
8÷4=2 倍
可供 10×2=20 只小鹿吃 15 天
20
只小鹿,15 天吃草 20×15=300 份
14 只小鹿,25 天吃草
14×25=350 份
第二块地,
每天长草:(350-300)÷(25-15)=5
份
原来有草:300-5×15=225 份
第三块地,面积是第二块的 12÷8=1.5 倍
每天长草:5×1.5=7.5 份
原来有草:225×1.5=337.5 份
可供 15
只小鹿吃:337.5÷(15-7.5)=45 天
每天长草:(450-406)÷(9-7)=22 份
草地原来有草:406-22×7=252 份
可供 252÷6+22=64 头牛吃
6 天
答:可供 64 头牛吃 6 天。
2.把每只猴吃一周的野果数量视为 1 份
23 只猴 9 周吃掉 23×9=207
份
21 只猴 12 周吃掉 21×12=252 份
那么
12 周与 9 周时间相差的 252-207=45 份就是 12-9=5 周新长的
则每周新长(252-207)÷(12-9)=15 份
原来一开始吃之前已经有
207-15×9=72 份
把 33 只猴分成 2
批,一批每周去吃新长出来的,一批去吃原来就有的 72 份,
当把原有的 72
份都吃光的同时刚好另一批把新长的也吃光.
72÷(33-15)=4 周吃光
答:需要 4 周吃完。
3.100÷4=25 头
100 只羊吃 6 天=25 头牛吃 6 天
令 每 头 牛 每 天 吃 草
为 1
16×15×1=240
25×6×1=150
每天草产出:(240-150)÷(15-6)=10
原来有草:240-15×10=90
48÷4=12 头
48
只羊相当于 12 头牛
4.
设 1 个检票窗口 1
分钟检票 1 个单位.
则每分钟产生的旅客:(30×4-20×5)÷(30-20)=2 单位
在检票开始前有旅客:30×4-30×2=60 单位所
以开 7
个检票窗口需:60÷(7-2)=12 分钟.
答:需要 12 分钟检完。
5.
设每个入场口每分钟能进入的观众为 1 份.
从 9 点到
9 点 9 分进入的观众数是:
3x9=27(份)
从 9
点到 9 点 5 分进入的观众数是:
5x5=25(份)
9 点前来的观众数是:
(27-25)
(9-5)=0.5(份)
每分钟来的观众数为:
27-9
0.5=22.5(份)
或:25-5
0.5=22.5 (份)
这些观众来到需要:
22.5
0.5=45(分钟)
9 点-45 分钟=8 点 15 分
答:第一个观众到达时间是 8 点 15 分
6.
按一头牛一天吃草的量为单位 1
30 天草的总量为:30
17=510(表示可供 510 头牛吃 1 天的量)
24 天草的总量为:24
19=456(表示可供 456 头牛吃 1 天的量)
24 天到 30
天,草 6 天生长的量为:510-456=54(表示草可供 54 头牛吃 1 天的量)
所以 8 天草的总量为=原来的草+8 天里生长的草=240+9
8=312(表示可供 312 头牛吃 1 天
的量)
假如后 2 天 4 头牛没有卖掉,它门会吃掉的量将是 4
2=8
所以这群牛的总头数为:(312+8)÷8=40(头)
7.一只蜗牛恰好用 5 个昼夜到达井底,白天爬;
20x5=100(分米)
另一只蜗牛恰好用 6 个昼夜到达井底,白天爬:
15
6=90(分米)
黑夜里往下滑,两只蜗牛滑行的速度却是相同的。说明,每夜下滑:
100-90=10(分米)
那么井深就是:
(10+20)
5=150(分米)=15 米
或: (15+10)
6=150(分米)=15 米
答:井深 15 米。
8.设一头牛一周吃草量为 1 份
第一块的 24 头牛 6
周吃总草量:1×24×6=144(份)
第二块的 36 头牛 12
周吃总草量:1×36×12=432(份)
1
公顷一周新生草量:(432÷8-144÷4)÷(12-6)=3(份)
1
公顷原有草量:(144-3×4×6)÷4=18(份)
10
公顷一周新生草量:3×10=30(份)
10
公顷原有草量:18×10=180(份)
50 头牛分工:30
头牛专吃新生草,剩余 20 头牛专吃原有草。
所以可供 50
头牛吃:180÷20 =9(周)。
12 人 3
小时舀水=12×3=36 份;
8 人 5 小时舀水=8×5=40 份;
每小时漏进船的水=(40-36)÷(5-3)=2 份;
原来船内就有的水=36-3×2=30 份;
2
小时漏进船的水=2×2=4 份
要 2
小时舀完水,需要的人数=(30+4)÷2=17 人
答:要 2 小时舀完水,需要 17 个人。
2.
扶梯每秒自动下降:
[(300×2)-(3×100)]÷(300-100)
=[600-300]÷200,
=300÷200,
=1.5
(级). 该扶
梯共有: 300-
100×1.5
=300-150,
=150(级).
答:扶梯共有
150 级扶梯.
3.
根据题意可得:每只羊每天吃草量为 1
份;
新生草量:(100×200-150×100)÷(200-100)=50(份);
原有草量:100×200-50×200=10000(份);
250
只羊可吃:10000÷(250-50)=50(天);
放牧这么多羊不对.
最多放牧 50 只羊,因为每天新增草 50 份,刚好够 50 只羊吃.
36÷3=12(头)
草每天生长的份数:
18×40-24×25)÷(40-25)
=120÷15
=8(份)
草地原有的草的份数:
(18-8)×40=400(份)
16 天吃完,需要牛的头数是:
(400+8×16)÷16=33(头)
(33-17)×3
=16×3
=48(只)
答:这片草地让
17 头牛与 48 只羊一起吃,刚好 16 天吃完.
5.100×100=10000(份),
80×300=24000(份),
24000-10000=14000(份),
14000÷200=70(亿人),
答:地球最多能养活 70
亿人.
6.设每个窗口,每分钟可以通行的旅客为 1 份
4 个窗口,15 分钟可通行:4×15=60 份
8 个窗口,7
分钟可通行:8×7=56 份
相差 60-56=4 份
这 4 份,就是
15-7=8 分钟来排队的人
每分钟通行:55÷5=11
份
需要开 11 个检票口
7.设每头牛每天吃草为 1 份
则:30×6×1=180 份
5×40×1=200 份
则草每天生长:(200-180)÷(40-30)=2
份
原来有草:180-30×2=120 份
4
天后有草:120+2×30-4×30×1=60 份
还能吃:
60 ÷(
4 + 2)×1- 2
= 15天
8.设马每天吃的草为 1 份
牛羊 30 天吃完,相当于马
30 天吃完
一共吃了 30 份
即:
原有牧草+30
天长出牧草=30 份(1)
牛马 15 天吃完,则:
原有牧草+15
天长出牧草=15 份+牛 15 天吃草
与(1)比较,得:
15 天长出牧草=15
份-牛 15 天吃草
1 天长出牧草=1 份-牛 1 天吃草
马羊 20 天吃完,则:
原有牧草+20 天长出牧草=20 份+羊 20
天吃草
与(1)比较,得:
牛马 15 天,一共吃草:
(2+3)
15=75 份
马羊 20 天,一共吃草:
(1+3)
20=80 份
草地每天长草:
(80-75)
(20-15)=1 份
草地原来有草:
75-15
1=60 份
马牛羊同时吃,每天能吃:1+2+3=6 份
除了每天长出的 1
份,还要吃掉原来的:6-1=5 份
吃尽需要:60
5=12 天
9.设草场原先有草 a 千克,每天长出草 x 千克,每头牛每天吃掉 y
千克,
因为 10 头牛 8 天可以吃完草场上的草,
所以
a 8x 108y
①
如果从第二天开始每天少一头,可以 5 天吃完,
所以
a
5x 15y 14 y 13y 12 y 11y
②
①-②得
3x 15y
,
即
x 5 y
,
所以草场上每天长出来的草够 5 头牛吃一天。