正青春-一厘米

6-1-10.牛吃草问题（一）


教学目标


1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.
2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系

知识精讲


英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题， 即牛
在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做
“牛顿问题”．
“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增
长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的
难点 ．
解“牛吃草”问题的主要依据：
① 草的每天生长量不变；
② 每头牛每天的食草量不变；
③ 草的总量

草场原有的草量

新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
④ 新生的草量

每天生长量

天数．
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度

(对应牛的头数

较多天数

对 应牛的头数

较少天数)

(较多天数

较少天数)； < br>⑶原来的草量

对应牛的头数

吃的天数

草的生长 速度

吃的天数；
⑷吃的天数

原来的草量

( 牛的头数

草的生长速度)；
⑸牛的头数

原来的草量

吃的天数

草的生长速度．
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检 票口检票问题等等，只有理解了“牛吃
草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问 题．
例题精讲

模块一、一块地的“牛吃草问题”
【例 1】 牧场上 有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么
它可供多少头牛吃18周？





【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头 牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它
可供几头牛吃20天？
6-1-10.牛吃草问题（一）.题库 学生版 page 1 of 8

【巩固】 牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把
草吃完，则 头牛96天可以把草吃完．
【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完 ．假定草的生长量
每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?




【例 2】 青青一牧场，牧草喂牛羊； 放牛二十七，六周全吃光。 改养廿三只，九周走他
方；若养二十一，可作几周粮？（注：“廿”的读音 与“念”相同。“廿”即二
十之意。）题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完， 或者
23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场
的草每天 都在生长）






【巩固】 牧场上长满 牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15
头牛吃10天．供25头牛可吃 几天？





【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧 场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知
某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15 头牛吃6天．照此计算，可以供
多少头牛吃10天？






【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少 。如果某
块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃
12 天
？






6-1-10.牛吃草问题（一）.题库 学生版 page 2 of 8

【例 4】 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天 以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可
供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11 头牛吃几天？






【巩固】 由于天气 逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某
块草地上的草可供25头牛吃4天 ，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多
少天
？




模块二、牛羊一起吃草的“牛吃草问题”
【例 5】 一块匀速生长的草地，可供 16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头
牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这 块草地可供10头牛和75只羊一
起吃多少天？







【巩固】 有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完， 70只羊16
天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头
牛和20只羊多少天可将草吃完?







【巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供6 0
只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊
一起吃可 以吃几天？







【巩固】 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者
6-1-10.牛吃草 问题（一）.题库 学生版 page 3 of 8

可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于1头牛的吃 草量，那么8头牛与
48只羊一起吃，可以吃多少天?







【例 6】 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃 尽；如果让马和羊去吃，
20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草 量
的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草
吃尽？






【巩固】 现在有牛、羊、马吃一块 草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要
60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛 、羊一起吃草的速度为马吃草的速
度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?



模块三、“牛”吃草问题的变例
【例 7】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只 猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内
吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃 ？（假定野果生长的速
度不变）






【例 8】 早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干
人前来进口处准备进站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如
果设立8个检票口，7 分钟可以放完旅客．现要求5分钟放完，需设立几个检票
口?






6-1-10.牛吃草问题（一）.题库 学生版 page 4 of 8

【巩固】 某超市平均每小时有60人排队付款，每一个收银台每小时能应付80人，某 天某
时段内，该超市只有一个收银台工作，付款开始4小时就没有顾客排队了，如果
当时有两个 收银台工作，那么付款开始__________小时就没有人排队了。






【巩固】 2006年夏天，我国某地区遭遇了严重干旱，政府为了解 决村名饮水问题，在山下
的一眼泉水旁修了一个蓄水池，每小时有40立方米泉水注入池中。第一周开动 5
台抽水机2.5小时就把一池水抽完，接着第二周开动8台抽水机1.5小时就把一
池水抽完 。后来由于旱情严重，开动13台抽水机同时供水，请问几小时可以把这
池水抽完？






【例 9】 一水库原有存水量一定，河水每天 均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台
同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要 多少台同样的抽水机？






【巩固】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘
完；如5人淘水，8 小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？









【巩固】 北京密云水库建有
10
个泄洪 洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在
以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的 速度，假设每个闸门泄洪的
速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，
30
个小时以后水 位降至安全线；若同时
打开两个泄洪闸，
10
个小时后水位降至安全线．根据抗洪形势 ，需要用
2
个小时
使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个 ？





6-1-10.牛吃草问题（一）.题库 学生版 page 5 of 8

【巩固】 有一个蓄水池装了
9
根相 同的水管，其中一根是进水管，其余
8
根是出水管．开始
时，进水管以均匀的速度不停 地向蓄水池注水．后来，想打开出水管，使池内的
水全部排光．如果同时打开
8
根出水 管，则
3
小时可排尽池内的水；如果仅打开
5
根出水管，则需
6小时才能排尽池内的水．若要在
4.5
小时内排尽池内的水，那么
应当同时打开多 少根出水管？







【例 10】 一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始
进水管以均匀的 速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把
出水管也打开，使池内的水再全部排光。 如果把8根出水管全部打开，需要3小
时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。 问如果想要在8
小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？







【巩固】 火车站的检票处检票前已有一些人等待检票进站 ，假如每分钟前来检票处排队检
票的人数一定，那么当开一个检票口时，27分钟后就无人排队；当开两 个检票口
时，12分钟就无人排队．如果要在6分钟后就无人排队，那么至少需要开
个检票口．





【例 11】 仓库里原 有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽
车运货出仓，如果每天用4辆汽车 ，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则
6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多 少天运完？








【巩固】 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水
6 -1-10.牛吃草问题（一）.题库 学生版 page 6 of 8

放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在 打开13个水龙头，
问要多少时间才能把水放空？
【巩固】 一只船发现漏水时，已经进了一 些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分
钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么， 5人淘水几分钟可以把水淘
完？





【巩固】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水
阀及 一个排水阀，则
30
分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水
阀，则< br>10
分钟把水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要
多少分钟才能 排完水池的水？






【巩固】 一个蓄 水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的
水时，如果打开9个出水口， 9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小
时可以把水排空．如果是一满池水，打开全部出水口 放水，那么经过 时
分水池刚好被排空．






【例 12】 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在 匀速减少，为了保证水库的水量，政
府决定从上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水， 已知这两个
水库的每个闸门放水量是相同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时
可以 使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的4个闸门40小
时可以使官厅水库水量达到原 来的标准，如果24小时使官厅水库水量达到原来
的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门?







【例 13】 甲、乙、 丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12
个工人，5小时可将甲仓库内面 粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，
3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送 机，如果要用2小时把丙
仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同，每台皮带
输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)

6-1-10.牛吃草问题（一）.题库 学生版 page 7 of 8

【例 14】 画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的
观众一样多， 如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8
点45分就没有人排队。求第一个观众 到达的时间。





【巩固】 画展9点开门，但早 有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观
众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不 再有人排队；如果开5个入场口，9
点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．







【例 15】 假设地球上新生成的 资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110
亿人生活90年；或供90亿人生活210 年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最
多能养活多少人？
6-1-10.牛吃草问题（一）.题库 学生版 page 8 of 8