张自忠简介-相反数

用方程解“牛吃草等问题”
“牛吃草问题”是世界著名的大科学家牛顿所著的《普通算 术》一书中的一道题目，解决此类问题一般采
用比较法。但本人认为用方程解此类难题更容易。因为多年 来我一直在探索从小学二年级起，特别是在三、
四年级就着力“灌输”方程法解应用题的思想和做法，使 学生在五、六年级时，能达到用代数思维解应用题
难题的水平。我的教学取得了令人满意的成果。下面以 “牛吃草问题”难题为例介绍我的做法。
基本题
题1 牧场上一片牧草，可供27头牛吃 6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，那么它可
供21头牛吃多少周？
在解 题之前首先要弄清楚几个不变的量即：“牧场上原有的草量”，及“每周新生长的草量”，和“每头牛每周
吃的草量”。然后我把牛的头数进行分工，即一部分牛吃牧场上原有的草，一部分牛吃牧场上新生长的草。分二步做完，第一步先求出每周新生长的草量可供多少头牛吃，第二步再求问题。具体做法如下：
第一步： 解：设每周新生长的草量可供X头牛吃，则牧场上原有的草量
每天可供（27-X）头牛吃，或（23-X）头牛，可列表：


一片牧草
一片牧草
牧场上原有的草量
每周（27-X）头牛吃
每周（23-X）头牛吃
吃草的周数
6周吃完
9周吃完

根据牧场上原有的草量不变列方程：（27-X）×6=（23-X）×9
162-6X=207-9X
X=15
即每周新生长的草量，可供15头牛吃。
第二步：解：设供21头牛吃Y周。可列表：


一片牧草
一片牧草
牧场上原有的草量
每周（27-15）头牛吃
每周（21-15）头牛吃
吃草的周数
6周吃完
Y周吃完

根据牧场上原有的草量不变列方程：
（21-15）×Y=（27-15）×6 或（21-15）×Y=（23-15）×9
Y=12 Y=12
答：可供21头牛吃12周。
引伸题
题2 有一个牧场长满草，草每天匀速生长，这个牧场上的草可供 17头牛吃30天，可供19头牛吃24天。
现在有若干头牛在吃草场上的草，6天过后，4头牛死亡，余下的牛继续吃草，吃了2天把草吃光。求原
来有多少头牛？
第一步： 解：设每天新生长的草量可供X头牛吃，则牧场上原有的草量
每天可供（17-X）头牛吃，或（19-X）头牛，可列表：


一片牧草
一片牧草
牧场上原有的草量
每天（17-X）头牛吃
每天（19-X）头牛吃
吃草的天数
30天吃完
24天吃完
根据牧场上原有的草量不变列方程：（17-X）×30=（19-X）×24
X=9

即每天新生长的草量，可供9头牛吃。
第二步：解：设原来有Y头牛。可列表：


一片牧草
一片牧草
牧场上原有的草量
每天（17-9）头牛吃
每天（Y-9）头牛吃
每天（Y-4-9）头牛吃
吃草的天数
30天吃完
吃6天
吃2天

根据牧场上原有的草量不变列方程：
（Y -9）×6+（Y –4-9）×2=（17-9）×30
或（Y -9）×6+（Y –4-9）×2=（19-9）×24
Y=40
答：原来有40头牛。
提高题
题3 有12头牛28天可以吃尽0.1公顷牧场 上的全部牧草，21头牛63天可以吃尽0.3公顷牧场上的全部
牧草。问多少头牛126天可以吃尽0 .72公顷牧场上的全部牧草（每公顷牧场上原有的草量相等，每公顷牧
场上每天生长的草量相等，每头 牛每天吃草量相等）？
说明：既然每公顷牧场上原有的草量相等，我们就可以设每公顷每天新生长的草 量可供X头牛吃，则根据
每公顷牧场上原有的草量相等列方程。
第一步： 解：设每公顷每天新生长的草量可供X头牛吃，则每公顷牧场上原有的草量每天可供 头牛吃，
或头牛吃。可列表：

面积（公顷）

0.1

0.3
每公顷牧场上原有的草量
每天 头牛吃
每天 头牛吃
吃草的天数

28天吃完

吃63天

根据牧场上原有的草量不变列方程： ×28= ×63
X=30
即每公顷每天新生长的草量，可供30头牛吃。
第二步：解：设有Y头牛126天可以吃尽0.72公顷牧场上的全部牧草。
可列表：

面积（公顷） 每公顷牧场上原有的草量 吃草的天数

0.1

0.72
每天 头牛吃
每天 头牛吃

28天吃完

126天吃完

根据牧场上原有的草量不变列方程：
×126= ×28 或 ×126= ×63
Y=36 Y=36
答：36头牛126天可以吃尽0.72公顷牧场上的全部牧草。
扩展题

题4 快、中、慢3辆车同时从同一点出发，沿着一条公路追赶前面的一个骑车人，这 3辆车分别用6分
钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车的速度是每小时24千米，中车的 速度是每小时20千米，
问慢车的速度是多少？
分析 这是一个行程问题，所以应注意等式：路程=速度×时间
现在约定：路程以千米为单位，速度以每分钟 多少千米为单位。对比“牛吃草”问题，3车出发时骑车人离3
车出发点的路程，相当于“原有的草量” ；骑车人从3车出发开始又进行的路程，相当于“新长的草量”。解
法如下：
第一步：解：设 骑车人每分钟X千米，则快车每分钟追（24-X）千米、中车每分钟追（20-X）千米。可列
表：


骑车人离3车出发点的路程 追的时间

6分钟

10分钟

每分钟追 千米
快车

每分钟追 千米。
中车
根据骑车人离3车出发点的路程相等列方程： ×6= ×10
X=
即骑车人每分钟 千米。
第二步： 解：设慢车每分钟Y千米，可列表：

快车
慢车
骑车人离3车出发点的路程
每分钟追 千米
每分钟追 追千米。
追的时间

6分钟

12分钟
根据骑车人离3车出发点的路程相等列方程： ×12= ×6
Y=19
答：慢车的速度是19千米时。
总之牛吃草问题看上去是一道变化的题目，但是只要找到不变量，合理的假设题目就迎刃而解。