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四年级数学思维训练之牛顿问题20161023-30
探索乐园
牛顿问题
牛顿问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。英国著名的物理学< br>家学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供
给10 头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可
以吃几天？
例1： 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5
天可以把草吃完？
分析与解： 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。 求“多少头
牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每
头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
（1）求草每天的生长量
因为，一方 面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20
天内的草总 量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量
由此可知 （20－10）天内草的生长量为
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5 天内草总量
5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5
因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）
答：需要25头牛5天可以把草吃完。
例题2：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这 片青草供给10头牛吃，可以吃22天，
或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给15头牛吃，可 以吃几天？
解题关键：
牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环
节主要有四步：
1、求出每天长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；
4、最后求出可吃天数
分析与解：
这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。 把10头牛22
天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60， 是60头牛
一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中头吃掉新长出的草，
用其余头数吃 掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。

设一头牛一天吃的草为一份。
那么10头牛22天吃草为1×10×22=220份，16 头牛10天吃草为1×16×10=160
份
（220-160）÷（22-10）=5份，说明牧场上一天长出新草5份。
220-5×22=110份，说明原有老草110份。
综合式：110÷（15-5）11天，算出一共多少天。
练习题：
1、一只船 有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12
个人淘水，3小时可以淘 完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以
淘完？

2、牧 场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10
天。可供25头牛 吃几天？

3、一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周，或供23 头牛吃9
周。那么可供21头牛吃几周？

4、一片牧场可供24头牛吃6周，20头牛吃10周，这片牧场可供18头牛吃几周？
< br>5、有一水井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用3架抽水机来抽水，
36分 钟可以抽完，如果使用5架抽水机来抽水，20分钟可抽完。现在12分钟内要抽完井水，
需要抽水机多 少架？

6、有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，如用10台抽水机需抽 8小时；
如用8台抽水机需抽12小时。那么，如果用6台抽水机，需抽多少小时？

7、博物馆开门前应有参观的观众排队等候，每分钟来参观的人数一样多。打开4道门让人
们进馆参观 ，30分钟就不再有排除的现象；打开5道门时，20分钟就不再有排除现象。如
果同时打开7道门，需 要几分钟不再有排队的现象？

附：牛顿问题练习题

1、 有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？



2、有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？



3、如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛 吃28公亩牧场的草，84天
可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？



4、有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后 ，用2台抽水机排水，
则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果 计划用10
分钟将水排完，需要多少台抽水机？



5、有一水 池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台
抽水机需抽12小时， 如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？



6、林子里有猴子喜欢吃的 野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，
问如果有33只猴子一起吃，则需要 几周吃光？（假定野果生长的速度不变）



7、物美超市的收银台平均 每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付
80名顾客付款。某天某时刻，超市如果 只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排
除了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时 就没有顾客排队了



8、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。 先打开进水管，等水池存了一些水后，再
打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空； 如果同时打开3个出水管，
那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？

9、由于天气逐渐冷起来，牧场 上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草
地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头 牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？



10、自动扶梯以 均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分
钟走20级梯级，女孩每分钟走 15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分
钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？



11、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样 多。从开始检票到等候
检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。 如果同时
打开7个检票口，那么需多少分钟？



12、有 一片牧场，已知饲牛27头，6天把草吃尽。饲牛23头，则9天吃尽。如果饲牛21
头，问几天吃尽？



13、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果1 2人淘水，3小时淘完；
如5人淘水，10小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？



14、.一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续 20天可抽干；6台同样的
抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？




15、画展9点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观 众来到时起，每分钟来的观众人
数一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个检 票口，9点5分就
没人，那么第一个观众到达时间是8点多少分？

16、富农饲料 厂除原有的一批饲料外，每天都生产相同数量的饲料供应周围的养鸡场。现
在用5辆汽车拉厂里的饲料1 0天可以拉完，如果再增加7辆汽车拉3天可以拉完。现在要
求在2天内拉完所有饲料，需要多少辆车？

17、一个水果仓库，原来库存了一批水果。现在每天 都运进相同数量的水果。如果用汽车
把水果全部运走，用32辆汽车16天可以运完；用48辆汽车8天 可以运完。如果要4天运
完，需要多少辆汽车？



18、有一 片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果
派19人去割草，则 24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

19、李村组织农民抗旱，从 一个有地下泉的池塘担水浇地。如果50人担水，20小时可把池
水担完。如果70人担水，10小时可 把池水担完。现有130人担水，几小时可把池水担完？


二、“末同首和十”速算法
请你运用第一讲介绍的“首同末和十”的速算方法来推出“末同首和十”的速算方法。
1、先笔算下面一至两道题，自己总结速算技巧。
78×38＝ 43×63＝ 27×87＝ 79×39＝
2、通过笔算，结合“首同末和十”的速算方法，我们总结出“末同首和十”的速算方法为：
积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。
仍注意：如果“尾×尾”只有一位则在前面补“0”。
3、热炒热卖（请你在一分钟内完成下面的题目，看谁做得又对又快？）
86×26＝ 39×79＝ 27×87＝ 49×69＝
42×62＝ 54×54＝ 33×73＝ 14×94＝
4、1分钟速算习题练习
27×87= 14×94= 86×26=
63×43= 75×35= 98×18=
56×56= 54×54= 59×59=
58×58= 67×47= 46×66=
42×62= 83×23= 35×75=
71×79= 13×17= 43×63=
42×48= 55×55= 5.9×5.9=
25×85= 26×86= 47×67=
84×24= 39×79= 18×98=
65×45= 34×74= 43×63=
6.1×4.1 = 3.9×0.79=
1.8×0.98= 0.65×0.45=
340×740= 430×63=
7.6×36= 270×870=
4500×65= 0.39×0.79=